【文档说明】福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末数学冲刺卷试题（二） 含解析.docx，共(19)页，1.222 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷（二）一、单项选择题.（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数()()1i2i3i−−++等于（）A.1i−+B.1i−C.iD.i−【答案】A【解析】【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解.

【详解】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i−−++=−+−−+=−+故选：A.2.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图ABCD，且ADy轴，ABxP轴，则原四边形ABCD的面积是（）A.14B.10

2C.28D.142【答案】C【解析】【分析】方法一：利用斜二测画法，将直观图还原为原图，并由此计算出四边形ABCD的面积.方法二：利用原图和直观图面积的关系，计算出四边形ABCD的面积.【详解】（方法一

）还原平面图形，如图左所示，延长DA，交x轴于E，如图右所示，画出平面直角坐标系，取OEOE=，过点E作EFy轴，在EF上截取2EAAE=，28ADAD==，再过点D作DCx∥轴，过点A作ABx轴，并截取2DC

DC==，5ABAB==.连接BC，可得直观图ABCD的原平面图形ABCD.由作出的图形可知，1(25)8282ABCDS=+=四边形.（方法二）因为4AD=，所以梯形ABCD的高为22，故122(25)722ABCDS

=+=，则2228ABCDABCDSS==四边形梯形.故选：C【点睛】本小题主要考查斜二测画法中的计算，属于基础题.3.底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）A.3B.1C.32D.13【答案】A【解析】【分析】根据棱柱体积公式求得结果.

【详解】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是23(2)134=故选：A【点睛】本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在ABC中，45,2,3Aab===，则B=（）A.60B.60或1

20C.45D.135【答案】B【解析】【分析】由正弦定理sinsinabAB=即可求出sinB，进而求出B.【详解】由正弦定理可得sinsinabAB=，23sin32sin22bABa===，()0,πB

，π3B=或2π3.故选：B.5.在一个随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（）A.A与BC+是互斥事件，也是对立事件B.BC+与D是互斥事件，也是对立事件C.AB+与CD+是互斥事件，但不是对立事件

D.AC+与BD+是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.1，0.1，0.4

，0.4，所以A与BC+是互斥事件，但()()()()()0.61PAPBCPAPBPC++=++=，所以A与BC+不是对立事件，故A错；BC+与D是互斥事件，但()()()()()0.91PDPBCPDPBPC++=++=，所以BC+与D不是对立

事件，故B错；AB+与CD+是互斥事件，且()()()()()()1PABPCDPAPBPCPD+++=+++=，所以也是对立事件，故C错；AC+与BD+是互斥事件，且()()()()()()1PACPBDPAPBPCPD+++=+

++=，所以也是对立事件，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.6.下列命题中正确的是（）A.正方形的直观图是正方形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面

与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】【分析】选项A，正方形的直观图是平行四边形；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项C，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．【详解】

解：选项A，正方形直观图是平行四边形，故A错误；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相

邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．7.一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，

若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A.17.2，3.6B.54.8，3.6C.17.2，0.4D.54.8，0.4【答案】C【解析】【分析】根据均值和方差的公式计

算可结果.【详解】设一组数据为ix(1,2,3,,)in=，平均数为x，方差为21s，所得一组新数据为iy(1,2,3,,)in=，平均数为y，方差为22s，则350iiyx=−(1,2,3,,)in=，121.6nyyyyn+++==，所以123503503501.6nxxxn−+−

++−=，所以3501.6x−=，所以51.617.23x==，由题意得22222121()()()3.6nsyyyyyyn=−+−++−=，所以222121(3501.6)(3501.6)(3501.6)3.6nxxxn−−+

−−++−−=，的所以2221219(17.2)(17.2)(17.2)3.6nxxxn−+−++−=所以2221219()()()3.6nxxxxxxn−+−++−=，所以2193.6s=，所以210.4s=

.故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.8.如图，四面体ABCD中，4CD=，2AB=，E，F分别是,ACBD的中点，若EFAB⊥，则EF与CD所成的角的大小是（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答

案】A【解析】【分析】根据已知，结合图形，利用中位线，把异面直线所成角的问题转化为三角形的夹角，根据等角定理以及三角形的性质求解.【详解】如图，取AD中点G，连接EG、FG，因为E，F分别是,ACBD中点，所以//EGCD，//FGAB，又4CD=，2AB=，所以2EG=，1

FG=，因EFAB⊥，所以EFFG⊥，所以在RtEFG△中，1sin2FEG=，所以π6FEG=，因为//EGCD，根据等角定理可知，的为EF与CD所成的角的大小是π6，故B，C，D错误.故选：A.二、多项选择题.（

本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A.至少有一个白球与都是白球B.恰有一个红球与白、黑球各一个C.至少一个白球与至多有一个红球D.至少有一个红球与

两个白球【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生

，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件的判断，根

据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.10.已知向量()()()2,112,,,,1abcmn==−=−−，其中,mn均为正数，且()abc−∥，下列说法正确的是（）A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影为55

C.24mn+=D.mn的最大值为2【答案】CD【解析】【分析】通过求出ab，向量a在b方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.【详解】由题意，,mn均为正数，()()()2,112,,,,1abcmn==−=−−，A项，∵2110ab

=−=，∴a与b的夹角不为钝角，A错误；B项，∵()2212211abb==+−，∴向量a在b方向上的投影为22，B错误；C项，∵()1,2ab−=，()abc−∥，∴()22mn−=−，即24mn+=，C正确；D项，∵4222mnmn=+，即2mn，当且仅当22mn==

时等号成立，∴mn的最大值为2，D正确；故选：CD.11.下列关于复数的说法，其中正确的是（）A.复数()i,zababR=+是实数充要条件是0b=B.复数()i,zababR=+是纯虚数的充要条件是0bC.若1z，2z互为共轭复数，则12zz是实

数D.若1z，2z互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称【答案】AC【解析】【分析】根据复数的分类，共轭复数的定义与复数的几何意义判断．【详解】根据复数的分类，0,0ab=时，abi+才是

纯虚数．A正确，B错误，1i(,)zababR=+，则21izzab==−，所以2212(i)(i)zzababab=+−=+是实数，C正确；的当1z是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错．故选：

AC．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A.AC⊥B1EB.B1C∥平面A1BDC.三棱锥C1﹣B1CE的体积为13D.异面直线B1C与BD所成的角为45°【答案】AB【解析】【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从

而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由1111CBCEBCCEVV−−=进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果【详解】解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1

，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为111111111326

CBCEBCCEVV−−===，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.故选：AB.【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的

计算等知识，考查推理能力，属于中档题三、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为1x，2x，3x，4x，5x（单位：万只），若这组数据1x，2x，3x，4x，5x的方差为1.44，且21x，22x，23x，24x，25x

的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只．【答案】1.6##85【解析】【分析】由平均数定义可知()2222122345145xxxxx+++=+，再根据方差的公式即可求得结果.【详解】由已知得()2222122

345145xxxxx+++=+，即22212520xxx+++=，设1x，2x，3x，4x，5x的平均数为x，根据方差的计算公式有()()()22212511.445xxxxxx−+−++−=，∴()()2222125125257.2xxxxxxxx+++−++++=，即2220

1057.2xx−+=，又0x，∴1.6x=．故答案为：1.6．14.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若7CEDE=−，3BFFC=，则AF·BE=_____.【答案】11−【解析】【分析

】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可．【详解】以A为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若7CEDE=−，3BFFC=所以(0,0)A，(4,0)B，(

1,4)E，(5,1)F，所以(5,1)AF=，(3,4)BE=−，则15411AFBE=−+=−．故答案为：11−【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．15.在△ABC中

，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcosCccosBacosB+=，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.【答案】6223+【解析】【分析】根据余弦定理，将已知等式化为边的关系，再结合余弦定理，求出角B，再次应用余弦定理，求出c边，运用面积公式，即可

求解.【详解】解：∵coscos2cosbCBaB+=，由余弦定理可得2222222222222abcacbacbbcaabacac+−+−+−+=，化简得222122acbac+−=，即1cos2B=，∵0B，∴3B=.又∵a=4，b=6，代

入2222cosbacacB=+−，得24200cc−−=，解得226c=+或226c=−（舍去），∴113sin4(226)6223222SacB==+=+.故答案为:6223+【点睛】本题考查余弦定理边角互

化，解三角形以及求三角形的面积，属于中档题.16.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm3.【答案】1232

−【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为23622=1234圆柱体积为21()222=所求几何体体积为1232−故答案为：1232−【点睛】本

题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知向量()sin,cosaxx=，()3,1b=−，0,x.（1）若ab⊥，求x的值；（2）记()fxab=，求()

fx的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】（1）6x=；（2）23x=时，()fx取到最大值2，0x=时，()fx取到最小值1−.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得3tan3x=，结合x的范围可求得x的值；（2）将函数化简为()2sin6fxx=−，

根据x的范围可求得6x−的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为ab⊥，所以sinco30sbxxa=−=，于是sintans33coxxx==，又0,x，所以6x=；（2）()()()sin,3,1cosfxaxbx=

=−3sincosxx=−2sin6x=−.因为0,x，所以5,666x−−，从而12sin26x−−于是，当62x−=，即23x=时，()fx取到最大值2；当66x−=−，即0x=时，()f

x取到最小值1−.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.18.关于x的方程2(2)10xaixai+−−+=有实根，求实数a的取值范围

.【答案】1a=.【解析】【分析】设0x是其实根，代入原方程，利用复数相等的定义求解.【详解】设0x是其实根，代入原方程变形为200021()0xaxaxi++−+=，由复数相等的定义，得20002100xaxax++=+=，解得1a=.19.某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，

以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率6070x0.157080xm0.458090x60n90100x请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）求上表中的数据m、n的

值；（2）通过计算，补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？（4）如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的

概率？【答案】（1）90m=，0.3n=；（2）图见解析；（3）7080分；（4）25.【解析】【分析】（1）根据频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得m、n的值；（2）计算出70至80分段以及90至100分段的人数，由此可补充条形图；

（3）根据中位数的定义以及条形图可得出中位数所在的分数段；（4）计算出比赛成绩在80分的选手所占的频率，由此可得出结论.【详解】（1）总人数302000.15==（人），2000.4590m==，600.3200n==；（2）由（1）的计算知70至8

0分段的人数为90人，90至100分段的人数为20030906020−−−=人，补全条形图如下图所示：（3）比赛成绩在60~70的人数为30100，比赛成绩在60~80的人数为3090120100+=，因此，比赛成绩的中位数落在70~80分；（4）恰好抽中获奖选手的概

率为：602022005+=.【点睛】本题考查条形图应用，同时也考查了中位数、频率的计算以及条形统计图的完善，属于基础题.20.已知函数()23sincosfxxx=223sincos2xx−−+.（1）当0,2x时，求()fx的值域；（2）若ABC

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足3ba=，sin(2)sinACA+22cos()AC=++，求()fB的值.【答案】(1)1,2−；(2)1.【解析】【详解】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦

函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简()sin2sinACA+()22cosAC=++得sin2sinCA=，由正弦定理得2ca=，再根据余弦定理得3B=，代入()()fxfB得值.试题解析：（1）()23sincosfxxx=223sincos2xx−−+23sin22si

n1xx=−+3sin2cos2xx=+2sin26x=+0,2x，∴72,666x+，1sin2,162x+−，∴()1,2fx−.（2）∵由题意可得()sinAAC++()2sin2sin

cosAAAC=++有，()()sincoscossinAACAAC+++()2sin2sincosAAAC=++，的化简可得：sin2sinCA=，∴由正弦定理可得：2ca=，∵3ba=，∴余弦定理可得：222cos2acbBac+−=222431222aaa

aa+−==，∵0B，∴3B=，所以()1fB=.21.如图所示，在长方体1111ABCDABCD−中，11,2ADAAAB===，点E是AB的中点.（1）证明：1//BD平面1ADE；（2）证明：11DEAD⊥；（3

）求二面角1DECD−−的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22.【解析】【分析】（1）连接1AD交1AD于点O，连接EO，易得1//OEBD，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由长方体的特征得到1ABAD⊥，再由11ADAD⊥，利用线面垂直的判定定理证得1AD⊥平面1

ADE即可.（3）易得CEDE⊥，再由1DD⊥平面,ABCDCE平面ABCD，得到1CEDD⊥，可得CE⊥平面1DDE，由1DED是二面角1DECD−−的平面角求解.【详解】（1）如图所示：连接1AD交1AD于点O，连接EO，则O为1AD的中点.∵E是AB的中点

，∴1//OEBD又OE平面1ADE，1BD平面1ADE，∴1//BD平面1ADE.（2）由题意可知，四边形11ADDA是正方形，∴11ADAD⊥.∵AB⊥平面11ADDA，1AD平面11ADD

A，∴1ABAD⊥.∵AB平面1ADE，1AD平面1ADE，1ABADA=，∴1AD⊥平面1ADE.又1DE平面1ADE，∴11ADDE⊥，即11DEAD⊥.（3）在CED△中，2CD=，222DEADAE=+=，222CECBBE

=+=，∴CEDE⊥∵1DD⊥平面,ABCDCE平面ABCD，∴1CEDD⊥.∵1DD平面1DDE，DE平面1DDE，1DDDED=，∴CE⊥平面1DDE.又∵1DE平面1DDE，∴1CEDE⊥.∴1DED是二面角1DECD−−的平面角.在A1DED中，∵190DDE=，11=DD

，2DE=，∴1112tan22DDDEDDE===，∴二面角1DECD−−的正切值为22.【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线

段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．22.如图所示，已知

在三棱锥ABPC−中，,APPCACBC⊥⊥，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB△为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若4,20BCAB==，求三棱锥DBCM−的体积．【答案】（1）见详解；（2）见详解

；（3）107【解析】【分析】(1)先证DMAP∥，可证//DM平面APC.(2)先证AP⊥平面PBC，得⊥APBC，结合ACBC⊥可证得BC⊥平面APC.(3)等积转换，由DBCMMDBCVV−−＝，可求得体积.【详解】证明：因为M为A

B的中点，D为PB的中点，所以MD是ABP的中位线，MDAPP.又MDË平面APC，AP平面APC，所以MDP平面APC.（2）证明：因为PMB△为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB⊥.又MDAP

P，所以APPB⊥.又因为APPC⊥，PBPCP＝，所以AP⊥平面PBC.因为BC平面PBC，所以⊥APBC.又因为BCAC⊥，ACAPA＝，所以BC⊥平面APC.(3)因为AP⊥平面PBC，MDAPP，所以MD⊥平面

PBC，即MD是三棱锥MDBC−的高.因为20AB=，M为AB的中点，PMB△为正三角形，所以310,532PBMBMDMB====.由BC⊥平面APC，可得BCPC⊥，在直角三角形PCB中，由104PBBC＝，＝，

可得221PC＝.于是1114221221222BCDBCPSS=△△＝＝.112215310733DBCMMDBCBCDVVSMD−−=g△＝＝＝获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com