【文档说明】湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.436 MB，由小赞的店铺上传

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2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷高三年级数学试卷总分：150分时量：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合1,2,3A=，2|220Bxxx=−−，则AB=（）A.1B.1,2C.1,2,3D.【答案】B【解析】【分析】化简集合B，结合交集概念即可

得解.【详解】因为1,2,3A=，2|220|1313Bxxxxx=−−=−+，所以{1,2}AB=.故选：B.2.复数24i1iz−=+，则z的虚部为（）．A.3B.3−C.3−iD.1−【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】复数()()()()2

4i1i24i26i13i1i1i1i2−−−−−===−−++−，所以z的虚部为3−故选：B.3.已知向量(1,2),(3,1)ab=−=−，则a在b上的投影向量为（）A.31,22−B.1,12−C.525,55−D.31010,1010−

【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.的【详解】根据题意，a在b上的投影向量为：5131,222||||1010abbbbbb===−.故选：A4.已知函数()()2ln1fxxax=−+−在2,3上单调递减，则a的取值范围是（）A.(,4−B.)

6,+C.10,43D.10,43【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：由于函数()()2ln1fxxax=−+−在2,3上单调递减，lnyx=在定义域内是增函数，

所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：21yxax=−+−在2,3上单调递减，且0y，所以22a且9310a−+−，解得：1043a.故a的取值范围是10,43故选：C.【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.5.已知函数()

3lnfxxtx=−存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A.e,3+B.e,3−C.()3e,+D.(),3e−【答案】C【解析】【分析】采用参变分离法，将函数()3lnfxxtx=−存在两

个零点转化为函数3yt=与函数ln()xgxx=的图象有两个交点，利用导数探究函数ln()xgxx=的图象及趋势特征即得参数范围.【详解】由()3ln0fxxtx=−=，0x，可得：3lnxtx=，令ln()xgxx=，依题意，

函数()3lnfxxtx=−存在两个零点，等价于函数3yt=与函数ln()xgxx=的图象有两个交点.又21ln()xgxx−=，当0ex时，()0gx，()gx单调递增；当ex时，()0gx，()gx单调递减，故ex=时，()gx取得极大值1e，且当0x+→时，(

)gx→−，当x→+时，()0gx+→，故要使函数3yt=与函数ln()xgxx=的图象有两个交点.，需使30et，解得3et.故选：C.6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

（）A.13B.25C.23D.45【答案】C【解析】【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率

为1025103=+.故选：C.7.如图，在OAB△中，C是AB的中点，P在线段OC上，且2=OCOP.过点P的直线交线段,OAOB分别于点N，M，且,OMmOBONnOA==，其中,[0,1]mn，则mn+的最小值为（）A.12B.23C.1D.34【答案】C【解析】【分析】依题意可得1144

OPONOMnm=+，再根据平面向量共线定理得到11144nm+=，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：1()2OCOAOB=+uuuruuruuur，则11122OPONOMnm=+，1144OPONOMnm=+，又P，M，N共线，∴11144nm+=.又

,[0,1]mn，∴()1111112214444mnmnmnmnnmnmnm+=++=++++=，当且仅当12mn==时取等号，故选：C.8.已知函数()3

sincos(0)fxxx=−在π0,3上存在最值，且在2π,π3上单调，则的取值范围是（）A.20,3B.58,23C.51,3D.111

7,46【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对π0,3x进行最值分析，对区间2π,π3x上进行单调分析；【详解】因为()π3sincos2sin6fxxxx=−=−，当π03x时，因为0

，则ππππ6636x−−−，因为函数()fx在π0,3上存在最值，则πππ362−，解得2，当2ππ3x时，2πππππ3666x−−−，因为函数()fx在2π,π3上单调，则()2πππππ,ππ,π36622kkk−−−+

Z，所以2ππππ,362ππππ,62kk−−−+其中kZ，解得()312223kkk−+Z，所以312223kk−+，解得73k，又因为0，则0,1,2k．当0k=时，203

；当1k=时，513；当2k=时，5823．又因为2，因此的取值范围是58,23．故选：B．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；二、多选题（每

小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列说法中，正确的命题有（）A.已知随机变量服从正态分布()22,,(4)0.84NP=，则24()0.34P=B.以模型kxyce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ˆlnzy=，求得线性回

归方程为ˆ0.34zx=+，则c，k的值分别是4e和0.3C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好D.若样本数据1210,,,xxx的方差为2，则数据121021,21,,

21xxx−−−的方差为16【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.【详解】对于A，因()22,N，且(4)0.84P

=，于是得(24)(4)(24)0.840.50.34PP=−=−=，故A正确；对于B，由kxyce=得lnlnyckx=+，依题意得0.3,ln4kc==，即4ec=，故B正确；对于C，在

做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；对于D，依题意121021,21,,21xxx−−−的方差为2228=，故D不正确．故选：ABC.10.已知函数()()213sincossin02fxxxx

=−+，若将()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，则下列结论正确的是（）A.2=B.将()fx的图象向右平移π12个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C.()fx的图象关于点7π,012−对称D.()fx在3ππ,4−−

上单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可.【详解】

因为()213sincossin2fxxxx=−+，所以()31sin2cos222fxxx=+，所以()πsin(2)6fxx=+，而将()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，所以22

=，解得1=，故A错误，此时()πsin(2)6fxx=+，向右平移π12个单位长度后，设得到的新函数为()gx，()ππsin(2())sin2126gxxx=−+=，由正弦函数性质得()gx是奇

函数，故B正确，令π2π,Z6xkk+=，解得ππ,Z212kxk=−，当1k=−时，7π12x=−，所以()fx图象关于点7π,012−对称，故C正确，由题意得()1π2f−=−，5π16f−=，123π43f=−，所以(

)fx在3ππ,4−−上不单调，故D错误.故选：BC11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P是线段1BC上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥1AAPD−的体积为定值B.1AP∥平面1ACDC.1A

PBP+的最小值为22D.当1A，C，1D，P四点共面时，四面体111BPAC的外接球的体积为3π2【答案】ABD【解析】【分析】A选项，求出1AADS为定值，且P到平面11ADDA的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行；C

选项，将两平面展开到同一平面，连接1AB，交1BC于点P，此时1APBP+最小，最小值即为1AB的长，由勾股定理得到最小值；的D选项，点P在点B处，1A，C，1D，P四点共面，四面体111BPAC的外接球即正方体

的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积.【详解】对于A，因为111//,BCADBC不在平面11ADDA内，1AD平面11ADDA，所以1//BC平面11ADDA，又1PBC，所以点P到平面11

ADDA的距离为1，又1AADS为定值，故11AAPDPAADVV−−==定值，A正确；对于B，因为11//ADBC，1AD平面1ADC，1BC平面1ADC，所以1//BC平面1ADC，同理可知11//AC平面1ADC，又1111BCACC=，111,BC

AC平面11ACB，所以平面11ACB∥平面1ACD，由于1AP平面11ACB，故1AP∥平面1ACD，B正确.对于C，展开两线段所在的平面，得矩形11ABCD及等腰直角三角形11BBC，连接1AB，交1BC于点P，此时1APBP+最小，最小值即为1AB的长，过点1B作1BN⊥A

B，交AB的延长线于点N，其中11121,2,2ABADBCBNBN=====，故212AN=+，又勾股定理得222111212222ABBNAN=+=++=+，C正确；对于D，点P在点B处，1A，C，1D，P四点共面，四面

体111BPAC的外接球即正方体的外接球，故外接球的半径为222111322++=，所以该球的体积为343ππ32R=，D正确.故选：ABD【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球

或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.三、填空题（每小题5分，共15分）12.记nS为等差数列{}na的前n项和，若347aa+=，2535aa+=，则10S=________.【答

案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,ad，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列na为等差数列，则由题意得()1111237345adadadad+++=+++=，解得143ad=−=，则()10110910104453952Sad=

+=−+=故答案为：95.13.数列na的前n项和为nS，若()111,3NnnaaSn+==，则na=_____________．【答案】()()211342nnn−=【解析】【分析】降次作差得14nnaa+=，再利用等比数列通项公

式即可得到答案.【详解】()13nnaSn+=N①，()132nnaSn−=②，两式相减得()1133nnnnnaaSSa+−−=−=，故14nnaa+=，2n，令13nnaS+=中1n=得，2133aS==，所以()2224423nnnaan−−==，而11a=

不适合上式，故答案为：()()211342nnn−=..14.已知椭圆：2221(1)xyaa+=的左、右焦点分别为12FF、，点P是y轴正半轴上一点，1PF交椭圆于点A，若21AFPF⊥，且2APF的内切圆半

径为1，则该椭圆的离心率是______．【答案】63##163【解析】【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得212AFAF−=，结合椭圆的定义以及勾股定理可得222,3ca==，即可求得椭圆的离心率.【详解】如

图，2APF的内切圆与三边分别切于点,,EFG，若21AFPF⊥，则22,,1PGPFEFFFAGAE====，因为12PFPF=，则12GFFF=，可得112GAAFAEAFEF+=+=，则1222AEAFAEEFAF+=+=，可得2122AFAFAE−==，因为()22221

2211224AFAFAFAFAFAFc+=−+=，即212424AFAFc+=，可得21222AFAFc=−，又因为()()221221124AFAFAFAFAFAF+=−+，即()2244422ac=+−，可得2221ac=−，且

22221abcc=+=+，解得222,3ca==，所以椭圆的离心率是2263cceaa===．故答案为：63.【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．焦点

三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题（共77分）15.在ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，A为钝角，7a=，3sin2co

s7BbB=．（1）求A；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABCV存在，求ABCV的面积．条件①：7b=；条件②：13cos14B=；条件③：5sin32cA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2

）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A=；（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为1534.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin14B=，

再代入式子得3b=，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c=，再利用正弦定理得到53sin14C=，再利用两角和的正弦公式即可求出sinB，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得32s

incoscos7BBbB=，因为A为钝角，则cos0B，则32sin7Bb=，则27sinsinsin37baBAA===，解得3sin2A=，因为A为钝角，则2π3A=.【小问2详解】选择①7b=，则333sin7141

42Bb===，因为2π3A=，则B为锐角，则3B=，此时πAB+=，不合题意，舍弃；选择②13cos14B=，因为B为三角形内角，则21333sin11414B=−=，则代入32sin7Bb=得3332147b=

，解得3b=，()2π2π2πsinsinsinsincoscossin333CABBBB=+=+=+3131335321421414=+−=,则1153153sin7322144ABCSabC===.选择③5sin32cA=，则有353

22c=，解得5c=，则由正弦定理得sinsinacAC=，即75sin32C=，解得53sin14C=，因为C为三角形内角，则25311cos11414C=−=，则()2π2π2πsinsinsinsincos

cossin333BACCCC=+=+=+3111533321421414=+−=，则1133153sin7522144ABCSacB===△16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关

，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概

率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++.()2Pk0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（

1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜

欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H:假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286−==，依据小概率值0.001=的独立性检验，

没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5XB3213283236(0),(1)C512555125PXPX=

=====，23233254327(2)C,(3)551255125PXPX======.X的分布列为X0123P812536125541252712539()355E

X==.17.如图所示，在三棱锥PABC−中，PA与AC不垂直，平面PAC⊥平面ABC，PAAB⊥．（1）证明：ABAC⊥；（2）若2PAPCABAC====，点M满足3PBPM=，求直线AP与平面ACM所

成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）由平面PAC⊥平面ABC，再作PDAC⊥，可证明PD⊥平面ABC，从而可得PDAB⊥，又因为PAAB⊥，所以可证明AB⊥平面PAC，即可证明ABAC⊥；（2）利用（

1）以A为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形PAC和等腰直角三角形ABC，标出各点的空间坐标，对于点M满足3PBPM=，可用向量线性运算求出2223,,333AM=，最后利用空间向量法来解决直线AP与平面ACM所成角的正弦值．【小问1详解】证明：在平面PAC中

，过点P作AC的垂线，垂足为D．因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC平面ABCAC=，PD平面PAC，所以PD⊥平面ABC．又因为AB平面ABC，所以PDAB⊥，又PAAB⊥，PAPDP=，PD

平面PAC，PA平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AC平面PAC，故ABAC⊥．【小问2详解】由（1）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0),(2,0,0),(0,1,3),(0

,2,0)ABPC，故(2,1,3)PB=−−，(0,2,0)AC=，又因为1213,,3333PMPB==−−，所以()21322230,1,3,,,,333333AMAPPM=

+=+−−=即2223,,333AM=．设平面ACM的一个法向量(,,)mxyz=，则20,22230,333mACymAMxyz===++=令1z=，则(3,0,1)m=−．又因为(0

,1,3)AP=，设直线AP与平面ACM所成角为，则33sincos,224mAPmAPmAP====，所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为34．18.已知直线210xy−+=与抛物线2:2(0)Cypxp=交于,AB两点，且||415AB=．

（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，0FMFN=，求MFN△面积的最小值．【答案】（1）2p=（2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；

（2）设直线MN：xmyn=+，()()1122,,,,MxyNxy利用0FMFN=，找到,mn的关系，以及MFN△的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,AABBAxy

Bxy，由22102xyypx−+==可得，2420ypyp−+=，所以4,2ABAByypyyp+==，所以()()()222554415ABABABABABABxxyyyyyyyy=−+−=−=+−=，即2260pp−−=，因为0p，解得：2p=．【小

问2详解】因为()10F,，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：xmyn=+，()()1122,,,MxyNxy，由24yxxmyn==+可得，2440ymyn−−=，所以，12124,4yymyyn+==−，22161600mnmn=++，因为0FMFN=，所

以()()1212110xxyy−−+=，即()()1212110mynmynyy+−+−+=，亦即()()()()2212121110myymnyyn++−++−=，将12124,4yymyyn+==−代入得，22461mnn=−+，()()22410mn

n+=−，所以1n，且2610nn−+，解得322n+或322n−．设点F到直线MN的距离为d，所以211ndm−=+，()()22222121212111616MNxxyymyymmn=−+−=+−=++()222146116211mnnnmn

=+−++=+−，所以MFN△面积()2221112111221nSMNdmnnm−==+−=−+，而322n+或322n−，所以，当322n=−时，MFN△的面积()2min2221282S=−=−．【

点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,mn的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形

状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n+

层球数比第n层球数多1n+，设各层球数构成一个数列{𝑎𝑛}.（1）求数列{𝑎𝑛}通项公式；（2）求()()ln11xfxxx=+−+的最小值；（3）若数列{𝑏𝑛}满足()2ln22lnnnnban=−，对于*Nn，证明

：11232nnbbbbn+++++.的的【答案】（1）()12nnna+=；（2）0；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得1nnaan−−=()2n，再利用累加法计算即得.（2）

利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值.（3）由（2）令1xn=*()nN即可得到11ln(1)1nn++，从而得到()12nnbn+，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】依题意，12341,3,6,10,aaaa====，则有213212,3,,nnaaaaaan−−

=−=−=，当2n时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()()112212nnnnn+=+−+−+++=，又11a=也满足，所以()12nnna+=.【小问2详解】函数()()ln11xfxxx=+−+

的定义域为(1,)−+，求导得2211()1(1)(1)xfxxxx=−=+++，当10x−时，()0fx，当0x时，()0fx，则函数()fx在(1,0)−上单调递减，在(0,)+

上单调递增，因此min()(0)0fxf==，所以函数()fx的最小值为0.【小问3详解】由（2）知，当0x时，()ln11xxx++，令1xn=()*nN，则11ln(1)01nn++，则()222222(1)2(1)1ln(2)2lnln1lnln[]ln(1)nnnnn

nnbnnnannnnnn====++−+−+，因此()12312322324212nnbbbbn+++++++++，令()12322324212nnTn=+++++，于是()2341222324212nnTn+=+++++，两a式相减得()123

12222212nnnTn+−=+++++−+()()11212212212nnnnn++−=+−+=−−，因此12nnTn+=，所以11232nnbbbbn+++++.【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1xn=()*nN

得到11ln(1)1nn++，从而得到()12nnbn+.