【文档说明】重庆市南开中学2024-2025学年高三上学期第二次质量检测（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，790.507 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市高2025届高三第二次质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合

sin,3xAyyxByy====∣∣，则AB=（）A(0,1B.0,1C.)1,0−D.1,0−【答案】A【解析】【分析】分别运用正弦函数和指数函数的性质求出()1,1,0,,AB=−=+再求交集即可.【详解】()1,1,0,,AB=−=+(0,1AB

=.故选：A2.函数()232xfxxx=−−的定义域为（）A.()(),21,−−+B.()2,1−C.(),21,−−+D.2,1−【答案】B【解析】【分析】根据函数()fx解析式有意义，列

出不等式220xx−−，结合一元二次不等式的解法，即可求解..的【详解】由函数()232xfxxx=−−有意义，则满足220xx−−，即22(1)(2)0xxxx+−=−+，解得2<<1x−，所以函数()f

x的定义域为(2,1)−.故选：B.3.已知tan2=，则1cos2sin2+=（）A.3B.13C.2D.12【答案】D【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos11sin22sincos

tan2+===.故选：D.4.已知命题p：角与角的终边关于直线yx=对称，命题π:2q+=，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解

析】【分析】根据角终边的对称性，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若角与角的终边关于直线yx=对称，则π2π,2kk+=+Z，而当π2+=时，角与角的终边关于直线yx=对称，所以p是q的必要不充分条件.故选：B5.已知(

)ee2xxfxx−=−−，若不等式()()3sincos0fxfxa+−对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A.()2,−+B.(),2−−C.()2,+D.(),2−【答案】C【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断()fx为𝑅上的奇函数，利用导数判断()

fx的单调性，结合函数奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】()()(),fxfxfx−=−为𝑅上的奇函数，()()ee22e?e20,xxxxfxfx−−=+−−=为𝑅上的单调递增函数，当且仅当𝑥=0时等号成立，故原不等式等价于()()()

3sincoscosfxfxafax−−=−，即3sincosxax−，故π3sincos2sin6axxx+=+，又π2sin26x+，所以2a.故选：C6.人教A版《数学必修第二册》第102页指出，“以直角三角形的一条直角边所在

直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circularcone）.”若一个直角三角形的斜边长为3，则按以上步骤所得到圆锥的体积的最大值为（）A.π2B.2π3C.3π2D.2π【答案】B【解析】【分析】设直角边利用

圆锥体积公式及导数研究函数的单调性与最值计算即可.【详解】设直角三角形的两条直角边分别为,rh，则223rh+=，则圆锥体积()()223111ππ3π3333Vrhhhhh==−=−，记()()33,0,3fhhhh=−，则()233fhh=−，易得()fh在()0,1单调

递增，()1,3单调递减，()()12fhf=，故max2π3V=.故选：B7.如图，直线2y=与函数()()()2sin0fxx=+的图象相交，,,MNP为相邻的三个交点，且π3MNNP−=，若π9−为()fx的一个零点，则()fx的解析式可以为（）A.()π

2sin9fxx=+B.()π2sin26fxx=+C.()π2sin33fxx=+D.()4π2sin49fxx=+【答案】C【解析】【分析】设点结合函数值得出()21π2xx−=，再结合周期得出3MNNP=，进而得出3=，再带入

点π,09−,得出π3=即可得出解析式.【详解】设函数()fx的周期为2πT=，设()()1212,2,,2,NxPxxx，则()()122sin22sin2xx+=+=，所以12π

2π4,Z3π2π4xkkxk+=++=+，所以()21π2xx−=，所以21π12π1244NPxxT=−===.因为MPT=，所以1344MNMPNPTTT=−=−=，可得2π3,MNNPMNNP=+=，所以ππ33MNNP−===，则()()2sin

3fxx=+，又ππ2sin093f−=−=，得()ππZ3kk−=，取π3=即可.故解析式为()π2sin33fxx=+.故选：C8.已知锐角满足()()()cos70sin40c

os500+++++=，则sin的值为（）A.13B.12C.33D.32【答案】D【解析】【分析】先应用两角和差公式运算，再结合诱导公式化简，最后应用同角三角函数关系及辅助角公式计算化简得tan3=,求出角及正弦值.【详解】由题意，有c

oscos70sinsin70sincos40cossin40coscos50sinsin500−+++−=，即()()sinsin70coscos70sin40cos50cossin202sin40=++=+，得sin202sin40tansin70+=(

)()1313cos10sin102cos10sin10sin30102sin30102222sin70sin70−++−++==3333cos10sin10sin10cos102222sin70sin70++==()133sin10cos103sin10cos60cos1

0sin6022sin70sin70++==()3sin10603sin70+==\为锐角，π3sin32==.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分..9.关于函数()()lnee2xxfx−=+−，以下说法正确的是（）A.()fx为奇函数B.()fx为偶函数C.()fx在区间()0,+单调递增D.()fx在区间()0,+单调递减【

答案】BC【解析】【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误；根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误.【详解】由e0,e0xx−，则ee2xx−+，当0x=时，等号成立，则(

)fx的定义域为0xx，()()()()lnee2,xxfxfxfx−−=+−=为偶函数，故A错误，B正确；当0x时，函数e1xt=且单调递增，函数120utt=+−且单调递增，函数lnyu=单调递增，函数()yfx=在()0,+单调递增，故C正确，D错误.故选：BC

.10.已知π,0,2，4tan23=−，()tan7+=，则以下说法正确的是（）A.tan2=B.1tan3=C.π4=+D.π4=−【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角的正切公式及两角和的正切公式进行求值判断.【详解】π,0,2

，由22tan4tan21tan3==−−，解得tan2=或1tan2=−（舍），故A正确；由()tantantan71tantan++==−，解得1tan3=，故B正确；由()tantantan11tantan−−==

+，且πππ,,224−−−=，故C错误，D正确.故选：ABD11.已知直线3π4x=是函数()()πsin03fxx=+图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（）A.的最小值为29B.π不可能是()fx零点C.若()fx在区间3π,π4

上有且仅有2个对称中心，则389=D.若()fx在区间()π,2π上单调递减，则29=【答案】ABD【解析】【分析】根据对称性可得122,9kk+=Z，即可求解A，根据πππ,3mm+=Z即可求解B，利用对称性与周期的关系可得33π5π444TT−即

可求解C，利用单调性与周期的关系即可求解D.【详解】直线3π4x=是函数图象的一条对称轴，则3ππππ,432kk+=+Z，解得41122,369kkk+=+=Z，又0，则的最小值为29，故A正确；假

设π是()fx的零点，则πππ,3mm+=Z，解得193,39mmm−=−=Z，与1229k+=，kZ矛盾，假设不成立，故B正确；设函数()fx的周期为2π,T=直线3π4x=是函数图象的一条对称轴，()fx在区间3π,π4上有且仅有2个对称中心，33π

5π444TT−，即32ππ52π444，解得610，又122627486,,,,9999kk+==Z，故C错误；的()fx在区间()π,2π上单调递减，则必有π2ππ2T−=

，即201,9=，此时()()2π2π5π7ππ3πsin,,,,93939922fxxxfx=++符合题意，故D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12

.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad【解析】【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由24Rl+=，112lR=求解.【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则24Rl+=．①由扇形的面积公式12SlR=，得

112lR=．②由①②得1R=，2l=，∴2radlR==．∴扇形的圆心角为2rad．故答案为：2rad13.已知直线2ykx=−与曲线1yxx=−相切，则k=______.【答案】2【解析】【分析】设出切点，求导，根

据点斜式求解切线方程，代入0,2xy==−可得01x=，即可求解.【详解】()211fxx=+，设切点横坐标为0x，曲线1yxx=−在0x处的切线方程为()0020011:1lyxxxxx−−=+−

，将0,2xy==−代入，得()002001121xxxx−−−=+−，解得01x=，则20112kx=+=.故答案为：214.在ABCV中，2ABAC=.（1）若3BC=，则AB

CV面积的最大值为______；（2）若点MN､满足：,2AMMBANNC==，则CMBN的取值范围为______.【答案】①.3②.30,4【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求得角A余弦值，再根据三角函数恒等变换可求得sinA，再根据三角形面积公式以及不等式性质可求得；

（2）根据余弦定理可求得22,CMBN，将两式相除再根据()cos1,1A−，代入可求得22CMBN取值范围，再开方即可求得.【详解】（1）设三角形角,,ABC的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，有3,2acb==，所以由余弦定理，可得22222(2)359cos224bbbAbbb+−

−==，则三角形面积2242211593sin211092244bSbcAbbbbb−==−=−+−，当25b=时，S取得最大值3，此时3,5,25abc===符合题意.故答案为：3（2）由题意，2,3AMbANb==，由余弦定理，可得()22222cos21cosCMbb

bbAbA=+−=−，()2222228(2)22cos53cos339BNbbbbAbA=+−=−，所以()2291cos912,cos1,15453cos439cos3CMAABNAA−==

−−−−+，则2290,16CMBN，即30,4CMBN.故答案为：30,4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A

BCV中，角,,ABC的对边分别为,,aba，且满足22cosabcA=−.（1）求角C；（2）若54,sinsin8cAB==，求ABCV的面积.【答案】（1）π3（2）1033【解析】【分析】（1）由222cos2bcaAbc+−=代入即可求解；（2）由（1）

结合正弦定理可得ab，再由面积公式即可求解.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos222bcaabcAbcbc+−=−=−，即222abbca=−+，2221cos,222abcabCabab+−===()π0,π,3CC=；【小问2详解】由正弦定理可得：82

sin3cRC==，则5sinsin228abABRR==，解得40,3ab=11403103sin22323SabC===16.在减肥界，碳水化合物一直是个备受争议的角色.俗话说，减肥八分靠吃，两分靠动.而在吃上，“少吃碳水”被奉为圭臬，米饭､馒头､面条……这些传统主食，早已成了

减肥人士眼中的洪水猛兽.相对应地，在谈及身边肥胖情况越来越普遍时，主食也就理所当然被归成了“罪魁祸首”.世界卫生组织的标准中，BMI.大于等于228kg/m的成人属于肥胖人群.某健身机构为研究碳水化合物与肥胖是

否有关联，在该机构的健身学员中随机抽取200名学生调查，列表如下：肥胖碳水合计不控制碳水摄入控制碳水摄入肥胖4060不肥胖合计135200（1）完善列联表，根据概率值0.05=的独立性检验，分析不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风险；（2）以样本频率估计概率，从该健身机构

肥胖的学员中随机抽取5名学生，用()P表示这5名学生中恰有名不控制碳水摄入的概率，求()P取最大值时的值.附：参考公式：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.临界值表

：0.10.050.010.0050.001ax2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，会增加（2）2【解析】【分析】（1）利用独立性检验求解；（2）利用超几何分布概率模型求出0,1,2

,3,4,5=的概率即可求解.【小问1详解】肥胖碳水合计不控制碳水摄入控制碳水摄入肥胖4060100不肥胖2575100合计65135200设0H：不控制碳水化合物摄入与肥胖无关，22200(40756025)5.1283.84165135100100

−=，根据小概率值0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为不控制碳水化合物摄入与肥胖有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，根据表中的数据计算，不控制碳水化合物摄入中肥胖和不肥胖的频率

分别为400.61565和250.38565，控制碳水化合物摄人中肥胖和不肥胖的频率分别为600.444135和750.556135，由于0.6151.40.444，可见，在被调查者中，不控制碳水化合物摄入中肥胖

的频率是控制碳水化合物摄入中肥胖的频率的1.4倍，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为不控制碳水摄入会增加变肥胖的风险.【小问2详解】从肥胖的学员中任意抽取1名学生为不控制碳水的概率4021005P==，则25,5B.()()54153243238100,1C53125553

125PP======，()()23322355231080237202C,3C553125553125PP======，()()4545232402324C,555312553125PP====

==.2=时，()P有最大值10803125.17.已知函数()()226sincos2cos02222xxxfx=+−，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为π2.（1）求函数()fx的解析式，并求出它的单调递减区间；（2）将函数()yfx=的图

象向左平移π24个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，当150,π4x时，求方程()1sin2gxx+=的所有根之和.【答案】（1）()π2sin26fxx=+，()π2ππ,π63kkk++Z

（2）9π【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式得π()2sin6fxx=+，根据两条相邻的对称轴之间的距离为π2可确定函数的解析式，进而可求单调递减区间；（2）根据函数图象的变换得到()sincosgxxx=+，从而转化为求方程sincos12sincosxxxx

++=的所有根之和，利用三角换元结合正弦函数图象的对称性即可求解.【小问1详解】()2261cos26sincos2cossin22222222xxxxfxx+=+−=+−31π2sincos2sin226xxx=+=

+图象中两条相邻的对称轴之间的距离为ππ2π,,π222TT===，由()π0,2,2sin26fxx==+.令()ππ3π2π22π262kxkk+++Z，得()π2πππ63kxkk++

Z，∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为()π2ππ,π63kkk++Z.【小问2详解】𝑦=𝑓(𝑥)图象向左平移π24个单位长度得π2sin24yx=+，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得()π2sinsincos4gxxxx=+=+

.由()1sin2,sincos12sincosgxxxxxx+=++=.令sincostxx=+，则22sincos1xxt=−，220,1ttt−−==−或2t=（舍）.由15ππ0,π,,4π444xx+，令π4ux=+，则2sin

1yu==−，结合正弦函数对称性可得所有根之和12343π7π2210π22uuuu+++=+=，1234π10π49π4xxxx+++=−=.18.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的实轴长为4，渐近线方程为12yx=.（1）求

双曲线C的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为12AA､，过点()3,0B作与x轴不重合的直线l与C交于PQ､两点，直线1AP与2AQ交于点S，直线1AQ与2AP交于点T.（i）设直线1AP的斜率为1k，直线

2AQ的斜率为2k，若12kk=，求的值；（ii）求2AST的面积的取值范围.【答案】（1）2214xy−=（2）（i）15−；（ii）2522,,933+【解析】【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；（2）设直线l方程及PQ、坐标，联立双曲线方

程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出ST、坐标，并求出ST，利用三角形面积公式及2t范围计算即可.【小问1详解】由题意知：124,2baa==，解得2,1ab==，双曲线方程为2214xy−=.【小问

2详解】因为直线l斜率不为0，设直线l方程为3xty=+，易知()()122,0,2,0AA−，设()()1122,,,PxyQxy，联立2214xy−=，得()224650tyty−++=，则212212240Δ06454ttyyty

yt−+=−−=−，且()121256yyyyt=−+，（i）()()21121121212121223222325tykyxytyyykxytyytyyy+−−+====++++()()121121212255165525556yy

yyyyyyyy−++−===−−+−++；（ii）由题可得：()()2211:2,:2AQykxAPykx=−=+.联立可得：()2112124410,333skkxSkkk+==−，即()1

1104,332ySx+，同理()22104,332yTx+.()()()121212121212125101010532235535256yyyyyySTxxtytytyytyy−=−=−=++++−++++()()21212212424563y

yyyttyy+−==+++，故22212529ASTASSSTxxt=−=+，20t且24t，22522,,933ASTS=+.【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出PQ、纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量.19.若函

数()fx对其定义域内任意()1212,xxxx满足：当()()12fxfx=时，有21xx为同一常数，则称函数()fx具有性质V.（1）请写出一个定义域为()0,+且具有性质V的函数()fx；（2）已知,ab+R，函数()()0bgxaxxx=+，当()()()

1212gxgxxx=时，证明：122bxxa+；（3）设函数()()()()1221ln,0hxxxhxhxxx=−=，（i）判断函数()hx是否具有性质V；（ii）证明：2122xx.【答案】（1）()log(0afxxa=且1)a（答案不唯一）（2）证明见解析（3）（

i）不具有；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，结合对数的运算性质，可得答案；（2）由题意，建立方程组，根据韦达定理，结合基本不等式，可得答案；（3）（i）由题意建立方程，利用等量代换化简方程，结合

变量任意性，可得答案；（ii）利用导数可得函的数ℎ(𝑥)的单调性，利用分类讨论思想，根据等量关系建立方程构造函数，结合新函数的单调性，可得答案.【小问1详解】()log(0afxxa=且1)a（答案不唯一）.由()()1

2fxfx=，则12loglogaaxx=，易知12loglogaaxx=−，12loglog0aaxx+=，可得12log0axx=，解得121xx=.【小问2详解】令()()111222,baxnxgxgxnbaxnx+===+=，即21122200axnxbaxn

xb−+=−+=，12,xx是20axnxb−+=的两个不等实根，12bxxa=，又120,0xx>>且121212,22bxxxxxxa+=.【小问3详解】（i）设1212,0xxxx

m=，且m为常数，由()()12hxhx=得()11mhxhx=，即111111111lnlnlnln,2lnln0mmmmxxmxxxmxxxx−=−=−+−+−=对任意1>0x成立，即111

2lnlnmxxmx−+−恒为常数0，显然矛盾，函数ℎ(𝑥)不满足性质V.（ii）由()lnhxxx=−，求导可得()111xhxxx−=−=，当01x时，ℎ′(𝑥)<0，当1x时，ℎ′(

𝑥)>0，函数ℎ(𝑥)在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，由()()12hxhx=，有1201,1xx，①当22x时，()()()1112222222222222222222222lnlnlnln3lnln2hxhxxxxxxxxxxxx

−=−−−=−−−=−−+，令()223lnln2ptttt=−−+，则()()232333(2)143341ttttpttttt−+−+=+−==，当2t时，()()0,ptpt在)2,+单调递增，()()333e22ln2ln022

16ptp=−=，22x时，()12220hxhx−，即()1222hxhx，()122201,01,xhxx在(0,1)上单调递减，1222xx，故2122xx.②当212x时，只需证明121xx.()()()11122222222

22111111lnlnlnln2lnhxhxxxxxxxxxxxx−=−−−=−−−=−−，令()12lnqtttt=−−，则()222221221(1)10tttqtt

ttt−+−=+−==，当1t时，()()0,qtqt在(1,+∞)单调递增，()()10qtq=，212x时，()1210hxhx−，即()121hxhx，

()12101,01,xhxx在(0,1)上单调递减，121xx，故121xx，又221212,2xxx.综上所述：2122xx.【点睛】关键点点睛：本题第三问的解题关键在于利用等量关系构造函数，利用题目中的等量关系，建立方程，结合换元

法，明确方程中的唯一变量，构造新函数，即可解决问题.