【文档说明】福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024学年高一下学期7月期末联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(29)页，1.967 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年福建省福州市九校联盟高中一年数学科试卷命题学校：闽清一中命题教师：高一集备组审核教师：徐杰霞、孙晓丽考试时间：7月5日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z满足i34iz=−，则||z为（）A.16B.25C4D.52.已知向量()1,2a=r，()4,3b=，则()2aab−=（）A.0B.1C.-1D.-33.设m、n是不同

的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若⊥，//m，则m⊥B.若n⊥，n⊥，则//C.若⊥，m⊥，则//mD.若m⊥，mn⊥，则//n4.从1，3，5，7这4个数

中随机取出2个不同数ab，，则abab+的概率为（）A.13B.12C.23D.165.《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为π4，则此方亭的体积为（）

A.2023B.82C.2823D.22236.函数()1ln1xfxx+=−的大致图象为（）.的A.B.C.D.7.如图，某观察站B在城A南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2k

m之后到达D处，此时B，D间的距离为31km．要达到A城，这个人还要走（）A.6kmB.193kmC.132kmD.7km8.在平面四边形ABCD中，ABC为正三角形，ADCD⊥，2ADCD==，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体BACD−，若四面体

BACD−外接球的球心为O，当四面体BACD−的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）的A.217B.2217C.22121D.42121二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()ππsin2cos244fxxx=+++，则（）A.()yfx=是偶函数B.()yfx=的对称轴是π,2kxk=ZC.()yfx=在区间ππ,32上单调递减D.(

)yfx=的最小值是2−10.在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出卡片上的数字为x，甲表示事件“x为偶数”，乙表示事件“x为质数”，丙表示事件“x能被3整除”，丁表示事件“6x”，则（）A.甲与丙为互斥事件B.乙与丁相互独立C.丙与丁相互独立D.(P甲乙

)(P=乙丙）11.已知棱长为2m的正方体1111ABCDABCD−中，下列结论中正确的是（）A.若点P在线段1BC上运动，异面直线AP与1DD所成的角范围为ππ,32B.若点P在线段1BC上运

动，1CPAP+的最小值(62)m+C.若将正方体1111ABCDABCD−视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器D.若点P在11ACB△的内部及边界上运动，且2143DP=m,则动点P的轨迹长为22π3m第Ⅱ卷三、填空题：本题

共3小题，每小题5分，共15分.12.一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百的分位数为________.13.2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列

入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率

分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______．14.在长方形ABCD中，8AB=，6AD=，点E，F分别为边BC和C

D上两个动点（含端点），且5EF=，设BEBC=，DFDC=，则AEAF的最小值为________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，23coscoscos3aCcAbB+=.（1）求B；（2）若12

,aD=为BC边的中点，且3AD=，求b的值.16.已知四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，//ABDC，90DAB=，PA⊥平面ABCD，且112PAADDCAB====，M是棱PB上的动点.（1）求证：平面PAD⊥平面P

CD；（2）若//PD平面ACM，求PMMB的值.17.2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的

校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如

图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．的（1）求a，b的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数；（2）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和20，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为82和50

，求样本中这两组面试成绩的方差；（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．18.如图，直三棱柱111ABCABC−中，1ABACAA==，2BCAB=，点D是B

C中点．（1）求证：AD⊥平面11BCCB；（2）求证：1//AB平面1ADC；（3）求二面角1AABD−−的余弦值．19.已知函数()yfx=的定义域为D，如果存在区间,abD，使得|(),,,==yyfxxabab，则称区间[],ab为函数()yfx=的

一个和谐区间．（1）直接写出函数3()fxx=的所有和谐区间；（2）若区间0,m是函数3()22=−fxx的一个和谐区间，求实数m的值；（3）若函数2()2()=−+fxxxmmR存在和谐区间，求实数m的取值范围．2023-2024学年福建省福州市九校联盟高中一年数学科试

卷命题学校：闽清一中命题教师：高一集备组审核教师：徐杰霞、孙晓丽考试时间：7月5日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在

复平面内，复数z满足i34iz=−，则||z为（）A.16B.25C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算可得43iz=−−，即可由模长公式求解.【详解】由i34iz=−可得()()()34ii34i43iiiiz−−−===−−−，故()()223

|54|z−+−==，故选：D2.已知向量()1,2a=r，()4,3b=，则()2aab−=（）A.0B.1C.-1D.-3【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用向量的数量积和向量模的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由向量()1,2a=r，()4,3b=，可得5a=，且1423

10ab=+=，则()22225100aabaab−=−=−=.故选：A.3.设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若⊥，//m，则m⊥B.若n⊥，n⊥，则//C.若⊥，m⊥，则//mD.若m⊥，mn⊥

，则//n【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.【详解】对于A,如上图正方体中，设平面11ABBA为，平面1111DCBA为，CD为m，满足⊥，//m，此时//m，故A错误；对于B，因为n⊥，n⊥，α

、β是不同平面，则必有//，故B正确；对于C，如上图正方体中，设平面11ABBA为，平面1111DCBA为，11AD为m，满足⊥，m⊥，此时m，故C错误；对于D，如上图正方体中，设平面11ABBA为，11AD为m，11AB为

n，则满足m⊥，mn⊥，此时n，故D错误.故选:B.4.从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数ab，，则abab+的概率为（）A.13B.12C.23D.16【答案】B【解析】的【分析】列举所有的基本事件，即可根据古典概型的概率公

式即可求解.【详解】从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数ab，，所有的基本事件有()()()()()()1,3,1,5,1,7,3,5,3,7,5,7共有6种情况，abab+包含的基本事件有()()()1,3,1,5

,1,7共有3种情况，故概率为3162=故选：B5.《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为π4，则此方亭的体积为（）A.2023B.82C.2823D.2223【答案】

C【解析】【分析】根据题意找到侧棱与下底面所成的角，求出侧棱长，求出正四棱台的高即可求出此方亭的体积.【详解】如图，,ACBD分别是正四棱台不相邻两个侧面高，AF是一条侧棱，过A作AECD⊥，连接EF,所以AE是正四棱台的高

，所以π4AFE=，因为224242()()222EF−−=+=，所以122AE==，所以方亭的体积为22222282(2424)33++=.故选：C.的6.函数()1ln1xfxx+=−的大致图象为（）A.B.C

.D.【答案】D【解析】【分析】先得到函数的定义域，进而判断出函数为奇函数，再求出()2ln30f=，选出正确答案.【详解】()1ln1xfxx+=−的定义域为()()(),11,11,−−−+，关于原点对称，由()()11lnln11xxfxfxxx−+−==−=−+−，可知函数()

fx为奇函数，则图象关于原点对称，排除选项A，C；又()122lnln3012f+==−，所以函数()fx的图象对应选项D.故选：D．7.如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向

是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为31km．要达到A城，这个人还要走（）A6kmB.193kmC.132kmD.7km【答案

】A【解析】【分析】先在BCD△中利用余弦定理求出cosBDC，则可得cosADB，再利用同角三角函数的关系求出sinADB，然后在ADB中利用正弦定理可求出结果.【详解】由题意得，在BCD△中，7,2,31BCCDBD===，由余弦定理得2222231277cos22312231BDCD

BCBDCBDCD+−+−===−,因为πBDCADB+=，所以7cos231ADB=，因为0πADB，所以253sin1cos231ADBADB=−=，在ADB中，60,31BAD

BD==，由正弦定理得()5317333sinsin602223123131ABDADB=+=+=，由正弦定理得sinsinADBDABDBAD=，所以3133sin6sinsin6031BDADABDBAD===.故选：A8.在平面四边形ABCD中，ABC为正三角形

，ADCD⊥，2ADCD==，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体BACD−，若四面体BACD−外接球的球心为O，当四面体BACD−的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）.A.217B.2217C.22121D.

42121【答案】C【解析】【分析】根据四面体BACD−的体积最大时，求出点O位置，利用等体积转换法即可求出点O到平面ABD的距离.【详解】由题意可知当平面ABC⊥平面ADC时四面体BACD−的体积最大时，因为ABC为正三角形，ADCD⊥，2ADCD==，所

以22242ADCDACAC+===，则2ACABBC===，当平面ABC⊥平面ADC时，取线段AC中点E，则点E为直角三角形ADC的外心，连接BE，则易知BE⊥平面ADC，所以四面体BACD−外接球球心在BE上，因为ABC为正三角形，所以四面体BA

CD−外接球球心即为ABC的中心O，则23BOBE=，设点E到面ABD的距离为h，点O到面ABD的距离为23h，由BADEEABDVV−−=得1133ADEABDSBESh创=创，因为ABC边长为2，所以3

BE=，2111122222ADEADCSS=?创=，ABD△中，222,2,2ABADBDDEBE===+=，所以11472222ABDS=创=，则111721332327hh创=创?，所以点O到面ABD的距离为2221321h

=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()ππsin2cos244fxxx=+++

，则（）A.()yfx=是偶函数B.()yfx=的对称轴是π,2kxk=ZC.()yfx=在区间ππ,32上单调递减D.()yfx=的最小值是2−【答案】ABC【解析】【分析】根据

三角恒等变换的化简计算可得()2cos2fxx=，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可.【详解】ππ22()sin(2)cos(2)(sin2cos2)(cos2sin2)2cos24422fxxxxxxxx=+++=++−=.A：()()fxfx=−−，所以()fx为偶函数，故A正确

；B：ππ()2cos(2)2cos(π)222kkfk===，所以π2kx=为()fx的对称轴，故B正确；C：由ππ32x，得2π2π3x，所以()fx在ππ(,)32上单调递减，故C正确；D：由1cos21x−，得()[2,2]fx−，即()fx的最小值为2−，故D

错误.故选：ABC10.在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为x，甲表示事件“x为偶数”，乙表示事件“x为质数”，丙表示事件“x能被3整除”，丁表示事件“6x”，则（）A.甲与丙为互斥事件B.乙与丁相互独立C.丙与丁相互独立D.(P甲乙)(

P=乙丙）【答案】CD【解析】【分析】求出事件甲，乙，丙，丁所包含的基本事件，结合选项可得答案.【详解】由已知，该试验的样本空间为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．甲2,4,6,8,10,12=，乙{2,3,5,7,11}=，丙

3,6,9,12=，丁7,8,9,10,11,12=．对于A，因为甲丙6,12=，故甲与丙不互斥，错误；对于B，乙丁7,11=，所以(P乙丁1)6=，又P（乙）512=，P（丁）1

2=，所以P（乙）P（丁）P（乙丁），故乙与丁不相互独立，错误；对于C，丙丁9,12=，所以P（丙丁）16=，又P（丙）13=，P（丁）12=，P（丙）P（丁）=P（丙丁），故丙与丁相互独立，正确；对于D，甲乙

2=，乙丙3=，故P（甲乙）=P（乙丙）112=，正确．故选：CD.11.已知棱长为2m的正方体1111ABCDABCD−中，下列结论中正确的是（）A.若点P在线段1BC上运动，异面直线AP与1DD所成的角范围为ππ,32B.若点P在线段1BC上运动，

1CPAP+的最小值(62)m+C.若将正方体1111ABCDABCD−视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器D.若点P在11ACB△的内部及边界上运动，且2143DP=m,则动点P的轨迹长为

22π3m【答案】BCD【解析】【分析】当点P运动到点1B的位置时，此时1π4AAP=，可判定A不正确；把11BCC△沿着1BC展开，使得1ABCV与11BCC△在同一平面上，利用余弦定理，求得62AC=+，可判定B正确；根据圆柱的底面半径和高，与正方体的棱长间的

关系，可判定C正确；证得1BD⊥平面11ABC，求得223OP=，结合三角形与圆的性质、弧长公式，可判定D正确.【详解】对于A中，在正方体1111ABCDABCD−中，可得11//AADD，所以异面直线AP与1DD所

成的角就是直线AP与1AA所成的角，即为1AAP当点P运动到点1B的位置时，此时111π4AAPAAB==，所以A不正确；对于B中，正方体1111ABCDABCD−中，把11BCC△沿着1BC展开，使得1ABCV与11BCC△在同一平面上，其中1ABCV为边长为22的等边

三角形，11BCC△为直角边为2的等腰直角三角形，如图所示，可得11ππ7π3412ABC=+=，则11ππππ26coscoscossinsin34344ABC−=−=，连接AC，在11ABC△中，可得22211111112

coscosACABBCABBCABC=+−226842222843(62)4−=+−=+=+，所以62AC=+，即1CPAP+的最小距离为62+，所以B正确；在对于C中，因为2.4m2m，可知底面正

方形不能包含圆柱的底面圆，如图所示，过1AC的中点O作1OEAC⊥，设OEACE=I，可得1122,2,23,3ACCCACOA====，则11tanCCOECACACAO==，即2223OE=，解得62OE=，且263()1.222=，以1AC为轴可以对称放置底面直径为2.4m圆柱，若

底面直径为2.4m的圆柱，与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为1O，与正方体的下底面的切点为M，可知11ACOM⊥，11.2mOM=，则1111tanCCOMCACACAO==，即121.222AO=

，可得11.22AO=，根据对称性可知圆柱的高6232221.73221.21.4140.07040.015−−=，所以底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱能够被整体放入正方体内，所以C正确.对于D中，连接1BD和11BD，在正方形1111D

CBA中，可得1111ACBD⊥，又因为1BB⊥平面1111DCBA，且AC平面1111DCBA，所以111ACBB⊥，因为1111BDBBB=，且111,BDBB平面11BDDB，所以11AC⊥平面11BDDB，又因为1BD平面11BDDB，所以111ACBD⊥，

同理可证：11ABBD⊥，因为1111ACABA=，且111,ACAB平面11ABC，所以1BD⊥平面11ABC，的设1BD与平面11ABC交于点O，可得1112333BOBD==，所以433DO=，由214m3DP=，可得22223OPDPDO=−=，又因为等边1A

BCV的边长为22，其内切圆的半径为163r=，如图所示，过点O作OMPQ⊥，可得点M为PQ的中点，且163OMr==，可得3cos2OMPOMOP==，所以π6POM=，则π3POQ=，所以动点P的轨迹为PQ的3倍，其长度为π22223π333

=，所以D正确.故选：BCD【点睛】方法点拨：对于立体几何体中截面的轨迹问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判

定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设

；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分

，共15分.12.一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为________.【答案】18【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】将这组数据从小到大排

列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，100.757.5=，则该组数据的第75百分位数为18.故答案为：18.13.2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界

非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否

互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______．【答案】①.38##0.375②.512【解析】【分析】利用相互独立事件即可求得；“粽队”在两轮活动中答对三个问题相当

于事件“甲答对1个，乙答对2个”、事件“甲答对2个，乙答对1个”的和事件发生，根据独立事件和互斥事件概率的求法，即可求解.【详解】因为每轮活动中甲答对问题的概率为34，则每轮活动中甲答错问题的概率为31144−=，所以甲在两轮活动中答对1个问题的概

率为3113344448+=.设12,AA分别表示甲两轮答对1个，2个问题的事件，12,BB分别表示乙两轮答对1个，2个问题的事件，根据独立事件的性质，可得，13113()4444PA=+38=，2239()()416PA==，12222()(1)(

1)3333PB=−+−49=，2224()()39PB==，设A为“粽队”在两轮活动中答对三个问题的事件，则1221()()AABAB=，因为12AB与21AB互斥，1A与2B，2A与1B分别相互独立，1221()()()PAPABPAB=+1221()()()()P

APBPAPB=+349458916912=+=，所以“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率512.故答案为：38，512.14.在长方形ABCD中，8AB=，6AD=，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且5EF=，设BEBC=，DFDC=，则A

EAF的最小值为________.【答案】50【解析】【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得3664AEAF+=，进而根据模长公式得()()2236164125−+−=，利用三角换元，即可结合三角恒等变换即可求解.【详解】()()()()AEAF

ABBEADDFABBCADDC=++=++＝ABADBCADABDCBCDC+++＝223664BCADABDCBCAB+=+=+，由5EF=，得225EF=，即()225ECCF+=，即(

)()21125BCDC−+−=，即()()2236164125−+−=，设()())615cos,815sin,0,2π−=−=，则()5cos5sin366436164110030cos40sin10050sin68

+=+++=++=++，（其中3tan4=），当()sin1+=−时，即12==时，3664+取到最小值50，即AEAF的最小值50，故答案为：50四、解答题

：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，23coscoscos3aCcAbB+=.（1）求B；（2）若12,aD=为BC边的中点，且3AD=，求b的值.【答案】（1）π6；（2）37.【解析】【

分析】（1）由正弦定理可得23sin()sincos3ACBB+=，结合三角和为π及诱导公式可得3cos2B=，即可得答案；（2）在ABD△中，由正弦定理可求得π2BAD=，从而可得33AB=，在ABC中，利用余弦定理求解即可.【小问1详

解】解：因为23coscoscos3aCcAbB+=，由正弦定理可得23sincossincossincos3ACCABB+=，即23sin()sincos3ACBB+=，23sin(π)sinsincos3BBBB−==，又因为sin0B，所以231cos3B=，解得3cos2

B=，又因为(0,π)B，所以π6B=；【小问2详解】解：因为D为BC边的中点，12a=，所以6BDCD==,设BAD=,在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBDADB=，即6361sin2==，解得sin1=，又因为(0,π)，所以π2=，在Rt△A

BD中，22226333ABBDAD=−=−=，在ABC中，π33,12,6ABBCB===，由余弦定理可得：22232cos1442721233632ACABBCABACB=+−=+−=，所以37AC=，即37b=.16.已知四棱锥PA

BCD−的底面为直角梯形，//ABDC，90DAB=，PA⊥平面ABCD，且112PAADDCAB====，M是棱PB上的动点.（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若//PD平面ACM，求PMMB的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）证明PAD

C⊥，DCAD⊥即可得DC⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理即可求证；（2）连接AC，BD相交于点E，由线面平行的性质定理可得//PDME，再由平行线分线段成比例即可求解.【详解】（1）因为90DAB=，所以ABAD⊥，又//ABDC，所以DCAD⊥，因为PA⊥

平面ABCD，DC平面ABCD，所以PADC⊥，又AD，PA在平面PAD内，ADPAA=，所以DC⊥平面PAD，又DC平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD；（2）如图，连接AC，BD相交于点E，因为//PD平面

ACM，PD面PBD，面PBD面ACMME=，所以//PDME，所以12DEDCBEAPMMBB===.17.2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务

国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85

)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数；（2）已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为64和20，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差

分别为82和50，求样本中这两组面试成绩的方差；（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．【答案】（1）0.005a=，0.025b=；平均数69.5（2）3403（3）25

【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解0.005a=，0.025b=；进而根据平均数的计算公式即可求解，（2）根据总体方差的计算公式即可求解，（3）列举基本事件，即可由古典概型的计算公式求解.【小问1详解】由题意可知：10(0.0450.020)0.7a++=，()20

.0450.020101ab+++=，解得0.005a=，0.025b=；由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05所以平均数：500.05600.25700.45800

.2900.0569.5++++=；【小问2详解】设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为221212,,,xxss，且两组频率之比为0.2550.204=，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数564482729x+==

，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为()()22254340206472508272993s=+−++−=.故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是3403；【小问3详解】根据分层抽样，)75,85和85,95的频率比为0.0240.005=，故在)75,

85和85,95中分别选取4人和1人，分别设为1234,,,aaaa和1b，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：12131411232421343141,,,,,,,,,aaaaaaabaaaaabaaa

bab共10个，即()Ω10n=，记事件A=“两人来自不同组”，则事件A包含的样本点有11213141,,,abababab共4个，即()4nA=，所以()()()42Ω105nAPAn===.答:选出的两人来自不同组的概

率为25.18.如图，直三棱柱111ABCABC−中，1ABACAA==，2BCAB=，点D是BC中点．（1）求证：AD⊥平面11BCCB；（2）求证：1//AB平面1ADC；（3）求二面角1AABD−−的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见

解析；（3）33．【解析】【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性质，得出ADBC⊥和1ADCC⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证出AD⊥平面11BCCB；（2）连接1AC，交1AC于点E，连接DE，结合三角形的中位线得出1//ABDE，根据线面平行的判定定理，即可证出1//

AB平面1ADC；（3）连1BA，交1BA于点O，分别取OB、AB中点H、1O，连接DH、1HO、1DO，根据线面垂直的判定定理，可证出1OD⊥平面11ABBA和OB⊥平面1DHO，从而得出1OHD就是二面角1AABD−−的平面角，最后利用几何法求出二面角1AABD−−的余弦值．【详解】解：

（1）证明：ABAC=，D是BC中点，ADBC⊥，又在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，AD平面ABC，1ADCC⊥，又1BCCCC=，BC平面11BCCB，1CC平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．

（2）证明：连接1AC，交1AC于点E，连接DE，D、E分别是BC、1AC的中点，DE是1ABC的中位线，1//ABDE，1AB平面1ADC，DE平面1ADC，1//AB平面1ADC（3）解：连1BA

，交1BA于点O，分别取OB、AB中点H、1O，连接DH、1HO、1DO，四边形11ABBA是正方形且H、1O分别是OB、AB的中点，故1HOOB⊥，在ABC中，ABAC=，2BCAB=，22222BCABABAC==+，ABAC⊥，又1O，D分别是AB，B

C中点且ABAC⊥，1ODAB⊥，又在直三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，1OD平面ABC，11ODAA⊥，1ABAAA=Q，AB平面11ABBA，1AA平面11ABBA，1OD⊥平面11ABBA，OB平面11A

BBA，1HO平面11ABBA，1ODOB⊥，11ODHO⊥，又1HOOB⊥，111ODHOO=，1OD平面1DHO，1HO平面1DHO，OB⊥平面1DHO，HD平面1DHO，OBHD⊥，又平面1AAB

平面11ABDAB=1OHD就是二面角1AABD−−的平面角，设2AB=，则在1RtHOD中，190HOD=，11111121,2242ODACOHOAAB=====，故2226122HD=+=

，故11232cos362OHOHDDH===，即二面角1AABD−−的余弦值为33.【点睛】本题考查线面垂直和线面平行的判定定理，以及利用几何法求解二面角余弦值，还涉及三角形中位线和勾股定理的逆定理的运用，考查推理证明能力和运算能力.19.已知函数

()yfx=的定义域为D，如果存在区间,abD，使得|(),,,==yyfxxabab，则称区间[],ab为函数()yfx=的一个和谐区间．（1）直接写出函数3()fxx=的所有和谐区间；（2）若区间0,m是函数3()22=−fxx的一个和谐区间

，求实数m的值；（3）若函数2()2()=−+fxxxmmR存在和谐区间，求实数m的取值范围．【答案】（1）[]1.0-，[]0,1，1,1−；（2）4m=或2；（3）904m.【解析】【分析】（1）本题可令3xx=，解得0x=或1，然后根据函数()3fxx=

的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；（2）本题首先可将函数转化为()342,23342,23xxfxxx−=−+，然后令322xx−=，解得45x=或4，最后绘出函数图像，结合函数

图像即可得出结果；（3）讨论1ab或1ab或1ab，根据二次函数的性质确定函数的单调区间，再由单调性求出函数的值域，根据题干，函数的新定义即可求解.【详解】解：（1）函数()3fxx=是增函数，定义域为R，令3xx=，解得0x=或1，故函数()3fxx=的

所有“和谐区间”为1,0−、[]0,1、1,1−.（2）因为()322fxx=−，所以()342,23342,23xxfxxx−=−+，因为()0,0mm为函数()322fxx=−的一

个“和谐区间”，所以可令322xx−=，解得45x=或4，如图所示，绘出函数图像：结合“和谐区间”的定义易知，当4x=时满足题意，因为()02f=，所以当2m=时，()minmax2,()0fxfx==，满足题意，故m的值为4或2.（3）①当1ab时，()

fx在[],ab上时单调递减函数，由题意有()()fabfba==，2222aambbbma−+=−+=得1ab+=，因为1ab，所以110,122ab，且221−+=−aama,即

210−+−=aam，解得154122+−=ma舍去，或154122−−=ma，15412+−=−=mba.由211(0)2=−++maaa，得514m，所以当514m时，和谐区间为154154,22−−+−m

m．②1ab时，()fx在[],ab上时单调递增函数，由题意有()()faafbb==，所以,ab是方程22−+=xxmx的两个不等实根．因为3ab+=，又1ab，得2b，因而有3122ab，故方程2()30=−+=gxx

xm在31,2和3,22内各有一个实根，即3943022−−m且3394222+−m，解得924m，故当924m时，和谐区间为394394,22−−+−mm．③当1ab时，min()(1)11==−=fxfma，得2m当12ab+

时，即2ab+，则max()()==fxfab，得22−+=aamb，又1am=−，得2331=−+bmm，得m>2或1m，又由2222+=−+abmm及2m，解得01m，此时和谐区间为21,33−−+mmm．当12+ab时，即2a

b+，则max()()==fxfbb，得22−+=bbmb，解得3942−=mb.若3942−−=mb，则由2m知394122−−+=−+mabm,舍去；若3942+−=mb，394122+−+=−+mabm，解得904m，又2m，所以02m，此时和谐区间为

3941,2+−−mm，综上，所求范围是904m.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.