【文档说明】吉林省白城市通榆县第一中学2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案.docx，共(15)页，78.938 KB，由小赞的店铺上传

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高三上学期第一次月考数学理科试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2=−𝑥}，𝐵={𝑥|−2𝑥−1<1}，则𝐴∩𝐵=A.{−1}B.{0}C.⌀D.{−1,0}2.下列命题中正确的是()①“若，则𝑥|

𝑦不全为0”的否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若𝑚>0，则方程𝑥2+𝑥|𝑚=0有实根”的逆否命题；④“若𝑥|𝑦是有理数，则x是无理数”的逆否命题A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④3.已知正实数a，b，则“𝑎𝑏≤4”是“

𝑎+𝑏≤4”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知𝑡𝑎𝑛𝛼=2，𝜋<𝛼<3𝜋2，则𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=()A.−3√55B.−√55C.−√5D.√555.若sin(𝛼+3𝜋2)=25，则cos2

𝛼sin(𝛼+𝜋2)=()A.1710B.1017C.−1710D.−10176.已知sin(15∘−𝛼2)=tan210∘，则sin(60°+𝛼)的值为()A.13B.−13C.23D.−237.1−tan2105∘1+tan2105∘=()A.12B.−12C.√

32D.−√328.下列说法正确的是()A.命题“∃𝑥0∈[0,1]，使𝑥02−1>0”的否定为“∀𝑥∈[0,1]，都有𝑥2−1>0”B.命题“若向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为锐角，则𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗>0”及它的逆命题均为真命题C.命题“若𝑥=𝑦，则sin𝑥=sin𝑦的逆否命题

为真命题D.命题“在锐角△𝐴𝐵𝐶中，sin𝐴<cos𝐵”为真命题9.函数𝑓(𝑥)=cos𝑥2−√3sin𝑥2，若要得到奇函数的图象，可以将函数𝑓(𝑥)的图象()A.向左平移𝜋3个单位B.

向左平移2𝜋3个单位C.向右平移𝜋3个单位D.向右平移2𝜋3个单位10.若cos𝛼⋅tan(𝛼+𝜋4)=3，则2cos2𝛼+sin2(𝛼+𝜋)sin𝛼−cos𝛼=A.32B.−32C.6D.−611.已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+1)=−𝑓(𝑥)

，且𝑓(𝑥)={log2𝑥,𝑥∈(0,1],log2(2−𝑥),𝑥∈(1,2),则𝑓(𝑥)的单调递增区间为()A.(𝑘,𝑘+1)，𝑘∈𝑍B.(2𝑘,2𝑘+1)，𝑘∈𝑍C.(2𝑘+1,

2𝑘+32)，𝑘∈𝑍D.(𝑘+1,𝑘+32)，𝑘∈𝑍12.已知函数𝐟(𝐱)={−𝐱𝟐−𝐱+𝟏,𝐱<𝟎𝐱𝟐−𝐱+𝟏,𝐱≥𝟎，若𝐅(𝐱)=𝐟(𝐱)−sin(𝟐𝟎𝟐𝟎πx)−𝟏在区间[−𝟏,𝟏]上有m个零点𝐱𝟏，𝐱�

�，𝐱𝟑，…，𝐱𝐦，则𝐟(𝐱𝟏)+𝐟(𝐱𝟐)+𝐟(𝐱𝟑)+⋯+𝐟(𝐱𝐦)=()A.4042B.4041C.4040D.4039二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥

+1,𝑥⩽2𝑘𝑥2+𝑥−1,𝑥>2，对任意的𝑥1,𝑥2∈𝑅，𝑥1≠𝑥2，有[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)](𝑥1−𝑥2)<0，则实数k的取值范围是．14.已知函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥2是奇函数，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=2𝑥，则𝑔(2)+𝑔(−

1)=________．15.已知𝑓(12𝑥−1)=2𝑥−5，且𝑓(𝑎)=6，则a的值为_______．16.已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥+3⋅2𝑥+14𝑥+2𝑥+1，𝑥∈[−1,1]，则函数𝑓(𝑥)的

值域为_________．二、解答题（本大题共6小题，17-21各12分,22题10分,共70分）17.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}，函数𝑦=log2(𝑥+1)(𝑥∈𝐴)的值域为集合B．(1)求𝐴∩𝐵；

(2)若𝑥∈𝐴∩𝐵，求函数𝑦=2𝑥+𝑥的值域．18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)满足𝑓(0)=−1，对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥)≥𝑥−1，且𝑓(−12+𝑥)=𝑓(−12−𝑥)．(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)是否存

在实数a，使函数𝑔(𝑥)=log12[𝑓(𝑎)]𝑥在(−∞,+∞)上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．19.已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且当𝑥≥1时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1𝑥)(1)求𝑓(−1)的值；(2)解

不等式𝑓(2−2𝑥)<𝑓(𝑥+3)；(3)若关于x的方程𝑓(𝑥)=lg(𝑎𝑥+2𝑎)在(1,+∞)上有解，求实数a的取值范围．20.函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵的部分图象如图所示，其中𝐴>0，𝜔>0，|𝜑|

<𝜋2．(Ⅰ)求函数𝑦=𝑓(𝑥)解析式；(Ⅱ)求𝑥∈[0,𝜋2]时，函数𝑦=𝑓(𝑥)的值域．21.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C的参数方程为{𝑥=−1+2cos𝛼𝑦=1+2s

in𝛼,(𝛼是参数)，直线l的极坐标方程为𝜌cos(𝜃+𝜋4)=√2．(1)求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；(2)若直线l与x轴的交点为A，与y轴交点为B，点P在圆C上，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值，及取得最大值时点P的直角坐标．22.已知函数�

�(𝑥)=cos𝑥sin(𝜋−𝑥)+√3sin2𝑥−√3，𝑥∈𝑅(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的最小正周期；(Ⅱ)求𝑓(𝑥)在[−𝜋8,𝜋4]上的值域．参考答案1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集

合的交集运算，考查计算能力，属于基础题．解方程及解不等式，得到集合A，B，利用交集运算得到答案．【解答】解：集合𝐴={𝑥|𝑥2=−𝑥}={0,−1}，𝐵={𝑥|−2𝑥−1<1}={𝑥|𝑥>−1}，所以𝐴∩𝐵={0}．故选B．2.【答案】B【解析】【

分析】本题考查命题的真假判断，根据题意逐项进行判断即可得到结果．【解答】解：①“若𝑥2+𝑦2≠0，则x，y不全为零”的否命题是：若𝑥2+𝑦2=0，则x，y全为零．它是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形．它是假命题；③“若𝑚>0，则�

�2+𝑥−𝑚=0有实根”的逆否命题是：若𝑥2+𝑥−𝑚=0没有实根，则𝑚≤0.它是真命题；④“若𝑥−312是有理数，则x是无理数”的逆否命题是：若x不是无理数，则𝑥−312不是有理数．它是真命题．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的

判断，解题时要仔细分析题设条件，寻找它们之间的相互关系，从而作出正确判断．由𝑎𝑏≤4，不能推导出𝑎+𝑏≤4；反过来由𝑎+𝑏≤4能推导出𝑎𝑏≤4.由此可得结果．【解答】解：不充分性：𝑎=

4,𝑏=1时，𝑎𝑏=4，但是𝑎+𝑏=5，不满足𝑎+𝑏≤4；必要性：∵2√𝑎𝑏⩽𝑎+𝑏⩽4，故选B．4.【答案】A【解析】解：∵𝜋<𝛼<3𝜋2，∴𝑠𝑖𝑛𝛼<0，𝑐𝑜𝑠𝛼<0，可得𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼<0，∵𝑡𝑎𝑛𝛼=2，∴

𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=−√(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)2=−√1+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−√1+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=−√1+2𝑡𝑎𝑛𝛼tan2𝛼+1=−√1+2×222+1=−3√55．故选：

A．由已知可求得𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼<0，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析

】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式可求𝑐𝑜𝑠𝛼的值，利用二倍角公式可求𝑐𝑜𝑠2𝛼的值，进而求解即可．【解答】解：∵sin(𝛼+3𝜋2)=−cos𝛼=25，∴𝑐�

�𝑠𝛼=−25，∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=2×(−25)2−1=−1725，∴cos2𝛼sin(𝛼+𝜋2)=cos2𝛼cos𝛼=−1725−25=1710．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角

公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．根据题意得到sin(15∘−𝛼2)=√33进而得到cos2(15°−𝛼2)=69，cos(30°−𝛼)=13，从而有sin(60°+𝛼)=sin[90°−(30°−

𝛼)]=cos(30°−𝛼)．【解答】解：∵sin(15∘−𝛼2)=tan210∘，∴sin(15∘−𝛼2)=tan210∘=tan(180°+30°)=tan30°=√33，则cos2(15°−𝛼2)=1−sin2(15°−𝛼2)=69，cos(30°−𝛼)=

cos2(15°−𝛼2)−sin2(15°−𝛼2)=13，∴sin(60°+𝛼)=sin[90°−(30°−𝛼)]=cos(30°−𝛼)=13，故选A．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，应用同角三角函数的

关系，二倍角公式、诱导公式变形是就解题的关键．先根据同角三角函数的关系变形，然后利用二倍角公式，再用诱导公式，最后代入特殊角三角函数值可得结果．【解答】解：原式=cos2105°−sin2105°=cos210°=cos(180°+30°)=−

cos30°=−√32．故选D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查简易逻辑的知识，主要是命题的否定和复合命题的真假和四种命题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．逐个判断即可．【解答】解：“∃𝑥0∈[0,1]，使𝑥02−1>0”的否定为“∀𝑥∈[0,1]，

都有𝑥2−1≤0”，故A错误；命题“若向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为锐角，则𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗>0”的逆命题为“若𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗>0，则向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为锐角”当𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗>0时，向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为锐角或0，假命题，故B错

误；命题“若𝑥=𝑦，则sin𝑥=sin𝑦为真命题，则其逆否命题为真命题，故C正确；“在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴+𝐵>𝜋2，∴𝜋2>𝐴>𝜋2−𝐵>0，∴sin𝐴>sin(𝜋2−𝐵)=cos𝐵，故D错误．故选C．9.

【答案】A【解析】【分析】本题主要考查𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦型函数的性质，是基础题．利用辅助角公式，结合𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律及正弦型函数的性质得出结论．【解答】解：𝑓(𝑥)=cos𝑥2

−√3sin𝑥2=2(12cos𝑥2−√32sin𝑥2)，将函数的图象向左平移𝜋3个单位，可得𝑦=−2𝑠𝑖𝑛[12(𝑥+𝜋3)−𝜋6]=−2𝑠𝑖𝑛𝑥2的图象，显然，𝑦=−2𝑠𝑖𝑛𝑥2为奇函数．故选A．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查诱导公式和

二倍角公式，属于基础题．利用诱导公式、二倍角公式以及两角和的正切公式化简，然后代入即可求解．【解答】解：因为cos𝛼⋅tan(𝛼+𝜋4)=3，所以2cos2𝛼+sin2(𝛼+𝜋)sin𝛼−

cos𝛼=2cos2𝛼+sin2𝛼sin𝛼−cos𝛼=2cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼sin𝛼−cos𝛼=−2cos𝛼cos𝛼+sin𝛼cos𝛼−sin𝛼=−2cos𝛼⋅tan(𝛼+𝜋4)=−6．故选D．11.【答案】B【

解析】【分析】本题考查函数的单调性和周期性，属于基础题．当𝑥∈(0,1]时，𝑓(𝑥)单调递增，当𝑥∈(1,2)时，𝑓(𝑥)单调递减，又因为函数的周期为2，即可求解．【解答】解：当𝑥∈(0,1]时，函数𝑦=log2𝑥单调递增;当𝑥∈(1,2)时，函数𝑦=log2(2−�

�)单调递减．又因为𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)的周期为2，所以单增区间为(2𝑘,2𝑘+1)，𝑘∈𝑍.故选B．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数以及函数零点问题和函数的对称性，问题转化为与在区间[−𝟏,

𝟏]上有m个交点，然后根据对称性和周期性求出结果，属于中档题．【解答】解：在区间[−𝟏,𝟏]上有m个零点，在区间上有m个零点，即与在区间[−𝟏,𝟏]上有m个交点，且𝐡(𝐱)关于原点对称，在区间[−𝟏,𝟏]上，ℎ(

𝑥)min=−1∴在区间[−𝟏,𝟏]上，且𝐠(𝐱)关于原点对称．∵根据𝐠(𝐱)和𝐡(𝐱)函数图象特点易知在𝐡(𝐱)一个周期内，𝐠(𝐱)和𝐡(𝐱)图象有两个交点．在内共有1010个周期，

∴𝐠(𝐱)和𝐡(𝐱)图象共有2020个交点，∵𝐠(𝐱)和𝐡(𝐱)图象都关于原点对称，∴𝐠(𝐱)和𝐡(𝐱)图象在共有4040个交点，再加上(𝟎,𝟎)这个交点．∵𝐠(𝐱)关于原点对称，设𝐱𝟏，𝐱𝟐为关于原点对称的两个交点横坐标，，即，即，．故选：B．13.

【答案】【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由题意，得𝑓(𝑥)在R上递减，则𝑦=𝑘𝑥2+𝑥−1在𝑥>2递减，且−2+1⩾𝑘·22+2−1，解之即可．【解答】解：由题意，得𝑓(𝑥)在R上递减，则𝑦=

𝑘𝑥2+𝑥−1在𝑥>2递减，且−2+1⩾𝑘·22+2−1，解得𝑘⩽−12，即实数k的取值范围是故答案为．14.【答案】−4【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．由已知当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=2𝑥−2𝑥2，结合

奇偶性，求值即可．【解答】解：∵当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=2𝑥，∴当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=2𝑥−2𝑥2，又𝑔(𝑥)是奇函数，∴𝑔(2)+𝑔(−1)=22−2×22−𝑔(1)=−4−(2−2×1

2)=−4．故答案为−4．15.【答案】74【解析】【分析】本题主要考查了复合函数的定义域和值域，属于基础题．先令𝑡=12𝑥−1，则𝑥=2𝑡+2，可求出𝑓(𝑥)的表达式，然后再进行后面的求解的即可得．【解答】解：令𝑡=12𝑥−1，则𝑥=2𝑡+2，所以𝑓(𝑡)=2(2

𝑡+2)−5=4𝑡−1，所以𝑓(𝑎)=4𝑎−1=6，即𝑎=74．故答案是74．16.【答案】[117,53]【解析】【分析】本题主要考查函数的值域、幂函数的运算，对号函数的值域，分离常数法等．【解答】解：已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥+3⋅2𝑥

+14𝑥+2𝑥+1，∴𝑓(𝑥)=4𝑥+2𝑥+14𝑥+2𝑥+1+2×2𝑥4𝑥+2𝑥+1=1+212𝑥+2𝑥+1，当𝑥∈[−1,1]时，12𝑥+2𝑥∈[2,52]，212𝑥+2𝑥+1∈[47,23]，当𝑥=0时取最大值，当𝑥=−1或1时取最小值．所以𝑓(𝑥

)∈[117,53]．故答案为[117,53]．17.【答案】解：(1)𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}={𝑥|0≤𝑥≤3}=[0,3]，𝐵={𝑦|𝑦=log2(𝑥+1),0≤𝑥≤3}=[0，2]，∴𝐴∩𝐵=[0,2]；(2)∵𝑦=2𝑥+𝑥递增，𝑥∈

[0,2]，∴当𝑥=0时，𝑦𝑚𝑖𝑛=1，当𝑥=2时，𝑦𝑚𝑎𝑥=22+2=6．∴𝑦∈[1,6]，故值域为[1,6]．【解析】(1)求解一元二次不等式化简集合A，再由x的范围求得对数型函数的值域得到集合B，然后直接利用交集运算得答案；(2)由函数𝑦=2𝑥+𝑥为增函数，利用函

数的单调性求得函数的值域．本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)由𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)及𝑓(0)=−1∴𝑐=−1又对任意𝑥∈𝑅，有𝑓(−12+𝑥)=𝑓(−12−𝑥)．∴𝑓(𝑥)图象

的对称轴为直线𝑥=−12，则−𝑏2𝑎=−12，∴𝑎=𝑏又对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥)≥𝑥−1，即𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥≥0对任意𝑥∈𝑅成立，∴{𝑎>0𝛥=(𝑏−1)2≤0，故𝑎=𝑏=1∴𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥−1(2)由(1)知𝑔(𝑥)=𝑙𝑜

𝑔12[𝑓(𝑎)]𝑥=𝑙𝑜𝑔12(𝑎2+𝑎−1)𝑥，其定义域为R令𝑢(𝑥)=(𝑎2+𝑎−1)𝑥要使函数𝑔(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12(𝑎2+𝑎−1)𝑥在(−∞,+∞)上为减函数，只需函数𝑢(𝑥)=(𝑎2+𝑎−1)�

�在(−∞,+∞)上为增函数，由指数函数的单调性，有𝑎2+𝑎−1>1，解得𝑎<−2或𝑎>1故存在实数a，当𝑎<−2或𝑎>1时，函数𝑔(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12[𝑓(𝑎)]𝑥在(−∞,+∞)上为减函数【解析】(1)根据𝑓(

0)=−1可求出c的值，根据𝑓(−12+𝑥)=𝑓(−12−𝑥)可得a与b的关系，最后根据对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥)≥𝑥−1，可求出a与b的值，从而求出函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)令𝑢(𝑥)=𝑓(𝑎)，要使函数�

�(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12[𝑓(𝑎)]𝑥在(−∞,+∞)上为减函数，只需函数𝑢(𝑥)=𝑓(𝑎)在(−∞,+∞)上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判

定，同时考查了计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且当𝑥≥1时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1𝑥)∴𝑓(−1)=𝑓(3)=lg103=1−𝑙𝑔3(2)函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓

(𝑥)，∴𝑓(𝑥)图象关于直线𝑥=1对称，且在(1,+∞)上单调递增故原不等式可化为|2−2𝑥−1|<|𝑥+3−1|，即|2𝑥−1|<|𝑥+2|，得𝑥∈(−13,3)(3)若关于x的方程𝑓(𝑥)=lg(𝑎𝑥+2𝑎)在(1,+∞)上有解，即𝑥2−2𝑎𝑥

+1−𝑎=0在(1,+∞)上有解①在(1,+∞)上有两等根，即{△=0𝑎>1，无解②一根大于1，一根小于1，即1−2𝑎+1−𝑎<0，得到𝑎>23③一根为1，则𝑎=23，解得另一根为13，不符综上所述，𝑎

>23【解析】(1)由已知中函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且当𝑥≥1时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1𝑥)，将𝑥=−1，代入可求𝑓(−1)的值；(2)由已知可得𝑓(𝑥)图象关于直线𝑥=1对称，且在(1,+∞)上单调递增，故原不等式可化为|2

−2𝑥−1|<|𝑥+3−1|，即|2𝑥−1|<|𝑥+2|，解得答案；(3)若关于x的方程𝑓(𝑥)=lg(𝑎𝑥+2𝑎)在(1,+∞)上有解，即𝑥2−2𝑎𝑥+1−𝑎=0在(1,+∞)上

有解，分类讨论满足条件的实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是函数的对称性，函数的单调性，方程的根，对数函数的图象和性质，绝对值不等式，是函数，方程，不等式的综合应用，难度较大．20.【答案】解：(Ⅰ)根据函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜙)+𝐵的一部分图象，其

中𝐴>0，𝜔>0，|𝜑|<𝜋2，可得𝐴=4−2=2，𝐵=2，𝑇4=14⋅2𝜋𝜔=5𝜋12−𝜋6，∴𝜔=2．又，得，，即，，∴𝜑=𝜋6，∴𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)+2；(Ⅱ)∵𝑥∈[0,𝜋2]，∴2𝑥+𝜋6∈[𝜋6

,7𝜋6]，∴sin(2𝑥+𝜋6)∈[−12,1]，∴𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)+2∈[1,4]．【解析】本题主要考查由函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了

学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出𝜔，由求出𝜑的值，可得函数的解析式；(Ⅱ)由已知可求范围2𝑥+𝜋6∈[𝜋6,7𝜋6]，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2𝑥+

𝜋6)∈[−12,1]，即可求解．21.【答案】解：(1)由{𝑥=−1+2cos𝛼𝑦=1+2sin𝛼,(𝛼是参数)得(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=4．故圆C的普通方程为(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=4．由𝜌cos(𝜃+𝜋4)=√2，得√22

𝜌(cos𝜃−sin𝜃)=√2，∴𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃−2=0，将{𝜌sin𝜃=𝑦,𝜌cos𝜃=𝑥,代入得𝑥−𝑦−2=0，故直线l的直角坐标方程是𝑥−𝑦−2=0．(2)设𝑃(−1+2𝑐𝑜𝑠𝛼,1+2𝑠𝑖𝑛𝛼

)，则点P到直线l的距离𝑑=|−1+2cos𝛼−1−2sin𝛼−2|√2=|2√2+√2(sin𝛼−cos𝛼)|=|2√2+2sin(𝛼−𝜋4)|，𝛼=3𝜋4时，𝑑𝑚𝑎𝑥=2+2√2，∵𝐴

(2,0)，𝐵(0,−2)，∴|𝐴𝐵|=2√2，∴△𝑃𝐴𝐵面积的最大值为12×2√2×(2+2√2)=4+2√2，由cos3𝜋4=−√22，sin3𝜋4=√22知此时P点坐标为𝑃(−1−√2,1+√2)．【解析】本题考查圆的参数方程与直线的极坐标方程和直角坐标

方程之间的转换，考察三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式求

出圆心到直线AB的距离的最大值，继而得到△𝑃𝐴𝐵面积的最大值及取得最大值时点P的直角坐标．22.【答案】解：(Ⅰ)由𝑓(𝑥)=cos𝑥sin(𝜋−𝑥)+√3sin2𝑥−√3=sin𝑥cos𝑥−√3cos2𝑥=12sin2𝑥−√32(cos2𝑥+1)=1

2sin2𝑥−√32cos2𝑥−√32=sin(2𝑥−𝜋3)−√32．即𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=2𝜋2=𝜋．(Ⅱ)因为−𝜋8⩽𝑥⩽𝜋4，∴−7𝜋12⩽2𝑥−𝜋3⩽𝜋6，即有−1⩽sin(2𝑥−𝜋3)⩽12，所以−1−√32⩽sin(2𝑥−𝜋3

)−√32⩽1−√32，故𝑓(𝑥)在[−𝜋8,𝜋4]上的值域为[−1−√32,1−√32]．【解析】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质问题，属于中档题．(Ⅰ)将函数利用三角公式化为𝑓(𝑥)=sin

(2𝑥−𝜋3)−√32，即可求出结果．(Ⅱ)根据所给定义域得到−7𝜋12⩽2𝑥−𝜋3⩽𝜋6，进而有−1⩽sin(2𝑥−𝜋3)⩽12，由此即可求出函数𝑓(𝑥)在[−𝜋8,𝜋4]上的

值域．