【文档说明】安徽省金榜教育2023-2024学年高一下学期5月阶段性大联考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.361 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学（人教版）本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.1.复数20232024iz=−+在复平面内所对应的点位于（）A.第―象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据实部，虚部，组成的坐标.根据坐

标正负找到对应的象限即可.【详解】复数20232024iz=−+在复平面内所对应点的坐标为()2023,2024−，位于第二象限.故选：B.2.下列命题正确的是（）A.零向量小于单位向量B.零向量与单位向量一定共线C.两个向量的和的模至少大

于其中一个向量的模D.两个向量的差的模至少小于其中一个向量的模【答案】B【解析】【分析】利用向量的知识易判断AB；通过举反例可判断CD.【详解】对于A：零向量与单位向量不能比较大小，只有模能比较大小，故A错误，对于B：零

向量与任意非零向量共线，故B正确；的对于C：举反例：如：()4,0a=，()3,0b=−，则()1,0ab+=，4a=，3b=，1ab+=，但aba+，abb+，故C错误；对于D：举反例：如：()4,0a=，(

)3,0b=−，则()7,0ab−=，4a=，3b=，1ab−=，但aba+，abb+，故D错误.故选：B.3.下列说法正确的是（）A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱C.

圆台的所有母线延长不一定交于一点D.一个多面体至少有3个面【答案】A【解析】【分析】根据圆锥、棱柱以及圆台和多面体的定义，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分

为一个小圆锥和一个圆台，故A正确；对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误；对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误；对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误.故选：A.4.若复数z满足3i3i

z=+，则zz=（）A.89−B.109−C.89D.109【答案】D【解析】【分析】先根据复数的除法运算得出3i1z=−；再根据共轭复数的定义和复数的乘法运算即可求解.【详解】因为3i3iz=+，所以()2331

31ii333iii3iiz++−+====−−，则2211110333ii9izz=−+=−=.故选：D.5.已知ab⊥，5a=，6b=，且4ab+与2ab−垂直，则实数的值为（）A.509B.950−C.509D.950

【答案】A【解析】【分析】由题意先解出0ab=，由4ab+与2ab−垂直，解出即可.【详解】因为ab⊥，所以0ab=，因为4ab+与2ab−垂直，所以()()420abab+−=，得()228240aabb+−−=，得200360−=，解得509=.故选：A.6.设m，n是

两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若m∥，m∥，则∥B.若m∥，n∥，则mn⊥C.若m⊥，m⊥，则∥D.若m⊥，n⊥，则mn⊥【答案】C【解析】【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的

性质可判断CD.【详解】在A中，若m∥，m∥，则，可能相交或平行，故A错误：在B中，若m∥，n∥，则m与n相交、平行或异面，故B错误：在C中，若m⊥，m⊥，则由线面垂直的性质定理得∥，故C正确；在D中，若m⊥，n⊥，则由线面垂直的性质定理得mn∥，故D错误.故选：C.7.

如图所示，ABC中，16ABAC==，163BC=，14BDBC=，14DEDA=，则BECE=（）A.161−B.232−C.291−D.300−【答案】A【解析】【分析】根据题意，把,ABAC为基底，

用它表示,BECE，再由余弦定理可求cosBAC，从而由平面向量的数量积求解即可.【详解】由题意，()3331134444416BEBAAEBAADBABDBABABCBAABBC=+=+=+−=+−=−+()13734161616

ABACABABAC=−+−=−+，()3331334444164CEAEACADACBDBAACBCBAACBCBAAC=−=−=−−=−−=−−()339131641616ACABABACABAC=−+−=−.

在ABC中，由余弦定理得()22216161631cos216162BAC+−==−.所以7391316161616BECEABACABAC=−+−226311839256256256ABABACAC=−+−2263118

139161616161612562562256=−+−−=−.故选：A.8.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为6cm的冰球，

冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（）A3180πcmB.3270πcmC.3360πcmD.3504πcm【答案】C【解析】【分析】作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积.【详解】

显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图，作ODAC⊥，垂足为D，则球的半径6rOD==，30OAD=，此时212OAr==，6OOr==，18AO=，水面半径18tan3063ROC===，设加入

冰球后水面以下的体积为V，原来饮料的体积为V，冰球的体积为1V，所以饮料的体积为()233114π6318π6360πcm33VVV=−=−=.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数14i4iz+=−，则下列结论正确的是（）A.复数z对应复平面内的向量是单位向量B.复数z的虚部等于iC.0zz+=D.z与平面向量()0,1a=对应【答案】ACD【解析】分析】计算可得iz=，进而逐项计算判断即可

得答案.【详解】由题意，复数()()()()14i4i14i17ii4i4i4i17z+++====−−+，对于A项，复数iz=对应复平面内的向量是()0,1OZ=，是单位向量，故A正确；对于B项，复数iz=，所以复数z的虚部等于1，故B错误：.【对于C项，()i

i0zz+=+−=，故C正确；对于D项，z与平面向量()0,1a=对应，故D正确.故选：ACD.10.下列关于平面向量的运算中，错误的是（）A.()()()()abcdacbd+++=+++B.()()abcbac−=−C.()()abcbac=D.若abac=，则bc=【答

案】BCD【解析】【分析】根据向量的运算律及数量积即可判断AB，由数量积公式结合数乘运算判断C；令0a=即可判断D.【详解】因为()()()()abcdacbd+++=+++，故A正确；因为()···abcacbc−=−，()···bacabbc−=−，它们不一定

相等，故····acbcabbc−−，故B错误；因为()·abc表示与c共线的向量，()·bac表示与b共线的向量，而c与b不一定共线，且()·abc与()·bac不一定相等，故C错误；若0a=，且abac=，则b与c是任意向量，故D错误.故选：BCD.11.在长方体

1111ABCDABCD−中，1222AAABAD===，点P为线段1CD上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线//PB平面11ABDB.直线PB与1AD是异面直线C.三棱锥11PABD−的体积为定值13D.直线PB与平面11ABBA所成角的正弦值的最大值

为53.【答案】ACD【解析】【分析】根据面面平行得线面平行可判断A；通过举特例判断B；用等体积法判断C；找到线面角的正弦值，再用等面积法判断D.【详解】如图，连接BD，1BC，对于A，因为11//ABCD，11ABCD=，所以四边形11ABCD为平行四边形，所以11/

/ADBC，又1BC平面1BCD，1AD平面1BCD，故1//AD平面1BCD，同理11//ABDC，又1DC平面1BCD，1AB平面1BCD，故1AB//平面1BCD，又1AD平面11ABD，1AB平面11ABD，11ADABA=，所以面11/

/ABD面1BCD，又PB平面1BCD，所以直线//PB平面11ABD，故A正确；对于B，当点P与点1C重合时，1//PBAD，故B错误；对于C，因为//PB平面11ABD，所以点P到平面11ABD的距离等于点B到平面11ABD的距离，1AB=，12BB=，111AD=，111111111

11111213323ABBPABDBABDDABBVVVSAD−−−=====三棱锥三棱锥三棱锥，故C正确；对于D，设直线PB与平面11ABBA所成角为，易知1sinPB=，故当PB最短时，即1PBCD⊥时，直线PB与平面11ABBA所成角的正弦值最大，

由22112BD=+=，2211125BCDC==+=，过点1C作1COBD⊥于O，则1222BOBD==，()221232522CO=−=，111132322222BCDSBDCO===△，又此时1112BCDSP

BDC=△，所以31522PB=，解得35PB=，所以直线PB与平面11ABBA所成角的正弦的最大值为153PB=，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()27i15ixxy++=−，其中,Rxy，i为虚数单位.则实数x=__

_____，y=_______.【答案】①.1②.1−【解析】【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案.【详解】由题意()27i15ixxy++=−，得1275xxy=+=−，解得11xy==−，故答案为：1；-113.已知平面向量()4,2a=−，()6,b

=，若ab，则=______.【答案】3−【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为ab，且(4,2)a=−，(6,)b=，所以()2640−−=，解得3=−.故答案为：3−.14.如图，一块正三棱柱体形木料的上底面有一点

P，经过点P在上底面上画一条直线与1AP垂直，写出作该直线的方法：_______.【答案】在平面ABC中，画出经过点P与AP垂直的直线【解析】【分析】设所作直线为l，则由题意分析可得l⊥平面1AAP，从而可得lAP⊥，可得只需在平面ABC中，画出经过点P与AP垂直的直

线即可.【详解】设经过点P在上底面所画与1AP垂直的直线为l，由111ABCABC-是正三棱柱，则1AA⊥平面ABC，l平面ABC，则有1AAl⊥，又1APl⊥，1AA，1AP是平面1AAP内的相交直线，所以l⊥平面1AAP，AP平面1AAP，则l

AP⊥，所以在平面ABC中，画出经过点P与AP垂直的直线即可.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.复数()2267421izaaaa=−−+−−，其中aR.（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复

数z为虚数，求a的取值范围；（3）若复数z为纯虚数，求a的值【答案】（1）7a=或3a=−（2）7a且3a−（3）1a=−【解析】【分析】（1）由已知可得24210aa−−=，计算即可；（2）由已知可得24210aa−−，计算即可；（

3）由已知可得226704210aaaa−−=−−，计算即可.【小问1详解】由复数z为实数，得24210aa−−=，解得7a=或3a=−【小问2详解】由复数z为虚数，得24210aa−−，解得7a且3a−【小问3详解】由复数z为纯虚数，得226704210aaaa−−=−−

解得1a=−.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22223sinacBabc=−−（1）求A；（2）若7a=，且ABC的周长为137++，求ABC的面积【答案】（1）5π6（2）34【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化简22223sinacBabc=−−

，可得3sincosAA=−，从而得到A；（2）由边长关系结合余弦定理，可得3bc=，从而求得ABC的面积.【小问1详解】由22223sinacBabc=−−，得2223sin2bcaBac+−=−得2223sin2abcaaBbacb+−=−，即2223sin2abcaBbbc+−=−

由余弦定理得3sincosaBAb=−由正弦定理得sin3sincossinABAB=−所以3sincosAA=−，所以3tan3A=−因为()0,πA，所以5π6A=.【小问2详解】因为7a=，且ABC的周长为137++所以13b

c+=+由余弦定理可得()()2222225π72cos3326abcbcbcbcbcbc==+−=++=++−所以()()271332bc=++−，解得3bc=，因此1113sin32224ABCSbcA===△.17.如图，在

直四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，28ABCD==，45BAD=，点E是线段AB的中点.（1）求证：平面1CCE//平面1ADDA；（2）求证：BC⊥平面11ADDA.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【

解析】【分析】（1）易得CEAD∥，11CCDD∥，利用面面平行的判定定理证明即可.（2）利用勾股定理可得BCEC⊥，根据直四棱柱性质可得1CCBC⊥，即可证BC⊥平面1CCE，由（1）知平面1CCE//平面11ADDA，可得BC⊥平面11ADDA.【小问1详

解】证明：（1）因为28ABCD==，点E是线段AB的中点，所以142AEAB==，所以AECD=，又AECD∥，所以四边形AECD是平行四边形，所以CEAD∥，又CE平面11ADDA，AD平面11ADDA，所以

//CE平面11ADDA.同理，11CCDD∥，1CC平面11ADDA，1DD平面11ADDA，所以1//CC平面11ADDA又1CECCC=，CE，1CC平面1CCE．所以平面1CCE//平面11ADDA.【小问2详解】如图，作CFEB⊥，垂足为F.因为28ABCD==，所以22A

BCDBF−==，又因为45BAD=，所以=45ABC，所以2CFBF==由勾股定理得222222ECBC==+=，所以()()222222222ECBCBE+=+=，所以BCEC⊥，因为1CC⊥平面ABCD，所以1CCBC⊥，又1CCECC=，1

,CCEC平面1CCE，所以BC⊥平面1CCE.因为平面1CCE//平面11ADDA，所以BC⊥平面11ADDA.18.如图，在边长为4的正三角形ABC中，,EF分别为,BCAC上的两点，且34AFAC

=，BEBC=()01，,AEBF相交于点P..（1）求BF的值；（2）试问：当为何值时，AEBF⊥?（3）求证：AEBFABEF.【答案】（1）13（2）57=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到34BFACAB=−，两边平方后即可求得结果；（2）将

向量AE表示为AEABBC=+，进而由AEBF⊥得到0AEBF=，数量积运算求解即可；（3）分别计算AEBF和ABEF的值，证明即可.【小问1详解】因为34AFAC=，所以34BFAFABACAB=−=−，所以2222393

4162BFACABACABACAB=−=−+，得：2BF229314444131622=−+=，所以13BF=；【小问2详解】因为BEBC=，所以AEABBEABBC=+=+，所以()2333444AEBFABBCACABACABAB

BCACBCAB=+−=−+−，22313114444444101442422AEBF=−+−−=−+，因为AEBF⊥，所以0AEBF=，即10140−+=，解得57=，故当57=时，AEBF⊥；【小问3详解】()(

)111144EFCFCEACBCACBC=−=−−−=−+−，()()111144ABEFABACBCABACABBC=−+−=−+−，()144cos60144cos1204=−+−，()111441448

10422=−+−−=−，因为01≤≤，所以()101481060AEBFABEF−=−+−−=，所以AEBFABEF.19.如图，将边长为2的正六边形

ABCDEF沿对角线CF折起，记二面角AFCE−−的大小为()0π，连接AE，BD构成多面体ABCDEF−.（1）求证：//CF平面ABDE；（2）问当为何值时，直线CF到平面ABDE的距离等于32？（3）在（2）条件下，求多面体ABCDEF−的表面积.【

答案】（1）证明见解析（2）120=?（3）376362++【解析】【分析】（1）由折起后//CFAB，即可证得//CF平面ABDE；（2）画出直线CF到平面ABDE的距离并证明，再找到与此距离之间的等量关系，即可求出；的（3）根据所求的长度与角度，分

别求出多面体ABCDEF−每个面的面积即可.【小问1详解】在正六边形ABCDEF中，//CFAB，折起后，在多面体ABCDEF−中，同样也有//CFAB，又CF平面ABDE，AB平面ABDE，所以//CF平面ABDE.【小问2详解】如图所示，作A

GCF⊥，垂足为G，连接EG，60AFCEFC==，3sin60232AGEGEF====，1cos60212FGEF===，在EFG中，由余弦定理得222121cos2122EGEFG+−==，解得3EG=，则()222222132FGEGEF+=+==

，所以FGEG⊥，即CFEG⊥，所以AGE是平面ABCF与平面EDCF所成的角，则AGE=，因为AGCF⊥，CFEG⊥，AGEGG=，,AGEG平面AEG，所以CF⊥平面AEG，又//CFDE，所以DE⊥平面AEG，如图，作G

HAE⊥垂足为H，则GHÌ平面AEG，DEGH⊥，因为AEDEE=，,AEDE平面ABDE，所以GH⊥平面ABDE，所以GH是点G到平面ABDE的距离，也是直线CF到平面ABDE的距离，即32GH=，因为AGEG=，所以2EGH=，cos3os32c22GHEG===，解得602=

，所以120=?.故当120=?时，直线CF到平面ABDE的距离等于32.【小问3详解】由（2）得120=?，在AGE中，由余弦定理得()()222331cos2233AEAGE+−==−，所以3AE=，在AEF△中，由余弦定理得222

2231cos2228AFE+−==−，则2137sin188AFE=−−=，因为CF⊥平面AEG，AE平面AEG，所以CFAE⊥，又因为//CFAB，所以ABAE⊥，又//ABDE，ABDE=，所以

四边形ABDE是矩形，则113737sin222284BCDAFESSAFEFAFE====△△，243332ABCFEDCFSS+===梯形梯形，236ABDES==矩形，故BCDAFEABCDEFABDEABCFEDCFSSSSSS−=++++多面体矩

形梯形梯形△△37373733336636442=++++=++.