【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题44直线、平面垂直的判定与性质 Word版含解析.docx，共(30)页，1.573 MB，由小赞的店铺上传

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专题44直线、平面垂直的判定与性质知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：线面垂直的判定与性质题型二：面面垂直的判定与性质题型三：垂直关系的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共

4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．【考点预测】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的

任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥

b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：

0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的

平面角α的范围：0°≤α≤180°.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，

那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α【常用结论】1．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它

也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．【方法技巧】1.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒

b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．2.面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂

直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．3.面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要

注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得

出矛盾的结论则否定假设．二、【题型归类】【题型一】线面垂直的判定与性质【典例1】如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.【证明】因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接

OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.【典例2】如图，在长方体ABCD­A1B1

C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.【证明】如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为

BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.【典例3】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且E

F⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥B

D，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.【题型二

】面面垂直的判定与性质【典例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面A

BCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PA

E，所以平面PAB⊥平面PAE.【典例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【证明】(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底

面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.【典例

3】如图，在三棱锥A­BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.证明：平面ACD⊥平面BDP.【证明】因为△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得AD＝CD.因为点P是AC的中点，所以

PD⊥AC，PB⊥AC，因为PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDP.【题型三】垂直关系的综合应用【典例1】在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边

三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积

．【解析】(1)存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面

PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，由S△PCD＝

12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝323.【典例2】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角

形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明取SC的中点G，连接FG，EG，∵F

，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝12BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角

形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴A

F⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，

△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴

cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，又在Rt△BMO中，cos∠SBD＝OBBM＝33020，∴BM＝2103，∴BMBS＝23.【典例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为

四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为66，求PD的长．【解析】(1)

证明如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，则AE⊥BD.平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE⊂平面ABCD，故AE⊥平面PBD，PD⊂平面PBD，故AE⊥PD.

PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB⊂平面ABCD，故PD⊥平面ABCD.(2)解过点E作EF⊥PB于点F，连接CF，CE，因为BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，所以EC⊥BD，所以EC⊥平面

PBD.又PB⊂平面PBD，所以EC⊥PB，又EC∩EF＝E，EC，EF⊂平面EFC，所以PB⊥平面EFC，又因为CF⊂平面EFC，所以CF⊥PB，故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角．cos∠EFC

＝66，故tan∠EFC＝5，EC＝1，故EF＝55.sin∠PBD＝EFEB＝55，tan∠PBD＝12，即PDBD＝12，PD＝1.三、【培优训练】【训练一】如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段A

1B上的动点，则下列结论正确的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是0，π2C．三棱锥B1­D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P【解析】在A中，因为A1D1⊥平面A1AP

，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝π2，故B错误；在C中，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1

­D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．故选ACD.【训练二】棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是

AB，BC，B1C1的中点.下列说法正确的是()A.P点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC体积不变B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行C.平面B1BD⊥平面ACD1D.三棱锥D－EFG的体积为38【解析】对于A，P在直线BC1上运动时，△AD

1P的面积为矩形ABC1D1的面积的一半，C到平面ABC1D1的距离不变，又VA－D1PC＝VC－AD1P，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；对于B，Q在直线EF上运动时，由E，F，G分别是AB，B

C，B1C1的中点，可得EF∥AC，GF∥C1C.又EF∩GF＝F，AC∩C1C＝C，所以平面GEF∥平面AA1C1C.又GQ⊂平面GEF，则GQ始终与平面AA1C1C平行，故B正确；对于C，由AC⊥BD，AC⊥BB1，可得AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂平面ACD1

，即有平面B1BD⊥平面ACD1，故C正确；对于D，S△DEF＝1－12×12×1－12×12×12－12×12×1＝38，利用等体积法知VD－EFG＝VG－DEF＝13S△DEF·GF＝13×38×1＝18，故D

错误.故选ABC.【训练三】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱S

B上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝

12BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△AC

D是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB

，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意.假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，B

E，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面S

AD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，∴OBBM＝33020，∴BM＝2103，∴BMBS＝23.【训练四】如图(1)，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝

2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图(2)，使________，点M，N分别为AC，AD的中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝7，②AC为四面体ABDC外接球的直径，③平面ABC⊥平面BCD.图(1)图(2)

(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；(2)求三棱锥A－MNB的体积．【解析】(1)若选①：AD＝7，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，可得BD＝3，又由AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因为AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平

面CBD，所以AB⊥平面CBD，又因为CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，又由CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选②：AC为四面体ABDC外接

球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，因为CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，可证得CD⊥平面ABD，又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选③：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BC

D＝BC，因为AB⊥BC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面CBD，又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.(2)由(

1)知MN⊥平面ABD，其中△ABD为直角三角形，可得S△ANB＝12S△ADB＝32，MN＝12CD＝12，故三棱锥A－MNB的体积为VA－MNB＝VM－ABN＝13×32×12＝312.【训练五】如图，在四

棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝3，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝14PB.(1)证明：MN∥平面PDC；(2)在线段BC

上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明在四边形ABCD中，由AB＝BC＝3，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M为AC的中点，由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos60°＝12，

AC＝2CDsin60°＝3，则BM＝32×3＝32，由DMBM＝PNBN＝13，可得MN∥PD，而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，可得MN∥平面PDC.(2)解过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，如图，由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA

⊥EQ，又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q.在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM

＝120°，由BM＝32，BQsin30°＝BMsin120°，可得BQ＝BM3＝32，即Q为BC的中点，则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD.【训练六】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱

AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如

果不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.

(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM，又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为AC＝2，所以AM＝1.又因为AA1＝

2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，所以AC1⊥平

面A1BM.(3)当点N为BB1的中点，即BNBB1＝12时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN.因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝12C

C1.又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面AA1C1C.又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.四、【强化测试】【单选题】1.已知平面α和直线l，则

α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面【解析】当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在直线与l平行，故A项错误；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交，故B项错误；当l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C项．2

.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D

．与AC，MN均不垂直【解析】因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，M

N＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．

AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【解析】对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC

与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．故选C.4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平

面PAED．平面PDE⊥平面ABC【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥

平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．故选D.5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【解析】因为B

C∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF

，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．故D.6.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．

直线AC上D．△ABC内部【解析】由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.7.如

图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列说法错误的是()A．l∥平面PADB．AE∥平面PCDC．直线PA与l所成角的余弦值为55D．平面α

截四棱锥P－ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35【解析】如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，对于A，EF∥AD，所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故A正确；对于B，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，即四

边形ADFE为平行四边形，则AD＝EF，矛盾，故B错误；对于C，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，cos∠PAD＝ADAP＝55，故C正确；对于D，连接BD，VP－ABCD＝13PD·S矩形ABCD＝13×2

×2＝43，VABCDEF＝VA－BDE＋VD－BCFE＝13×52×25＋13×324×22＝56，VP－ADFEVABCDEF＝43－5656＝35，故D正确．故选B.8.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角

形．在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有()A．6个B．8个C．10个D．12个【解析】为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC

，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面APB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面体PAEF也是“鳖臑”，则题图中的10

个三角形全是直角三角形，故选C.【多选题】9.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.

AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC【解析】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平

面PAC，所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项可知

AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确.10.在正方体ABCD－A1

B1C1D1中，设M为BC的中点，则下列说法不正确的是()A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D1【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于A，假设A1M⊥BD，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩A1M＝A1

，所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM.而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，故A不正确；对于B，假设A1M∥平面CC1D1D，因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M⊄平面CC1D1D，所以A1M∥CD1.因为A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，显然不正确，故B不

正确；对于C，因为MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1.又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C正确；对于D，假设A1M⊥平面ABC1D1，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A

1M∥A1D，显然不成立，故D不正确.故选ABD.11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则()A.A，M，N，B四点共面B.平面ADM⊥平面CD

D1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM【解析】如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C

1，故B正确；对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，所以直线BN与B1M所成的角为∠NBO.易知三角形BON为等边三角形，所以∠NBO＝60°，故C正确；对于D中，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN

与平面ADM不平行，故D错误.故选BC.12.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()【解析】设正方体的棱长为2.对于A，如图(1)所示，连接AC，则

MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立，故A错误；图(1)对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MN，PQ⊥MN，所以MN⊥平面OP

Q，又OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；图(2)对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；图(3)对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，

则AC∥MN.因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角.图(4)因为正方体的棱长为2，故PQ＝12AC＝2，OQ＝AO2＋AQ2＝1＋2＝3，PO＝PK2＋OK2＝4＋1＝5，QO2<PQ2＋OP2

，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误.故选BC.【填空题】13.已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．【解析】∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA

∩BA＝A，DA，BA⊂平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确

的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)【解析】当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥A

A1，∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB

1，∴又AB1⊂平面ACB1，∴AB1⊥BC1.15.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝________.【解析】如图，取

SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE

⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面积法可

得AR＝455.16.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E.现将△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱锥A－BCD外接球的球心为O，半径为1，则△DOE面积的最大值为________．【解析】如图所示，取AC的中点F，D

C的中点G，连接EF，DF，FG.∴FG∥AD，∵BC⊥BD，∴G到B，C，D的距离相等，同理F到A，C，D的距离相等，∵AD⊥DC，AD⊥BD，BD∩DC＝D，BD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，且FD＝FB＝FC＝FA，∴F即为三棱锥A－BCD外

接球的球心O，∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，又BC⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE，∵DE⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴DE⊥平面ABC，

∴DE⊥EF，∴DE2＋EF2＝DF2，又DF＝1，∴DE2＋EF2＝1，∴DE·EF≤DE2＋EF22＝12，当且仅当DE＝EF时等号成立，∴S△DEF＝12DE·EF≤12×12＝14，∴△DEF，即△DOE面积的最大值为14.【解答题】17.如图，在三棱锥A－BC

D中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又

因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC

.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.18.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点

M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝32，由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高．又PA＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝13·S△ABC·PA＝36.(2)在平面ABC

内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC及AC⊂平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝

12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.【证明】(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥

DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB

⊥平面PAC.20.如图，平面四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝22，沿BD折起，使AC＝22.(1)证明：△ACD为直角三角形；(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积．【解析】(1)证明：在Rt△ABD中，AB⊥

BD，AB＝2，BD＝22，所以AD＝AB2＋BD2＝4＋8＝23，因为AC＝22，CD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，所以△ACD是直角三角形．(2)由(1)知CD⊥AC，易知CD⊥BC，因为AC∩BC＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD，

其交线为AC，故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面ACD内的射影，易知P为AC的中点，所以四面体PBCD的体积VPBCD＝13×12×2×2×1＝23.21.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中点，G是P

D的中点．(1)求四棱锥P­ABCD的体积；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求证：平面PCD⊥平面PEC.【解析】(1)易知V四棱锥P­ABCD＝13S正方形ABCD·PA＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC的中

点F，连接EF和FG，则易得AE∥FG，且AE＝12CD＝FG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.因为EF⊂平面PEC，AG⊄平面PEC，所以AG∥平面PEC.(3)证明：易知CD⊥AD，CD⊥PA，因为PA∩AD＝A

，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.易知PD⊥AG，因为PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD，所以EF⊥平面PCD.又EF⊂平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.22.如图，在四棱锥P－

ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为66，求PD的长.【解析】(1)证明如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角

形，则AE⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE⊂平面ABCD，故AE⊥平面PBD.∵PD⊂平面PBD，故AE⊥PD.∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB⊂平面ABCD，故

PD⊥平面ABCD.(2)解如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF.∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD，故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，∴CF⊥PB，故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角.∵cos∠E

FC＝66，故tan∠EFC＝5，又EC＝1，故EF＝55，sin∠PBD＝EFEB＝55，tan∠PBD＝12，