【文档说明】北京市房山区2020届高三下学期衔接诊断测试（二）（二模）数学试题含答案.doc，共(11)页，1.119 MB，由小赞的店铺上传

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房山区2020年高考第二次模拟检测高三数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列

出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集UR，集合2{|0}Axxx，那么集合UAð（A）(,0][1,)（B）(,0)(1,)（C）(0,1)（D）[0,1]（2）在△ABC中，若π4A，π3B，2

3a，则b（A）23（B）32（C）26（D）33（3）函数()sinπcosπfxxx的最小正周期为（A）1（B）2（C）π（D）2π（4）若双曲线22221xyab(0,0)ab的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为（A

）2（B）3（C）2（D）5（5）函数2()exfxx的零点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3（6）“sinsin”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2222俯视图左视图主视图（7）

已知函数()lg|1|lg|1|fxxx，则()fx（A）是奇函数，且在(1,)上是增函数（B）是奇函数，且在(1,)上是减函数（C）是偶函数，且在(1,)上是增函数（D）是偶函数，且在(1

,)上是减函数（8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C，空气的温度是0C，经过t分钟后物体的温度C可由公式010()ekt

求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C的物体，放在20C的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C，则k约等于（参考数据：ln31.099）（A）0.6（B）0.5（C）0.4（D）0.

3（10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（A）12（B）13（C）14（D）15（A）2（B

）22（C）23（D）4EA1B1C1CAB第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若(i)(1i)13im（mR），则m．（12）若直线3x与圆2220xyxa相切，则a．（13）已知抛物线C:22yx的焦点为F，点M在抛物

线C上，||1MF，则点M的横坐标是，△MOF（O为坐标原点）的面积为．（14）已知正方形ABCD的边长为2，若3BPPD，则PAPB的值为．（15）对任意两实数a，b，定义运算“”：22,,22,.abababbaab≥给出

下列三个结论：①存在实数a，b，c使得abbcca≥成立；②函数()sincosfxxx的值域为[0,2]；③不等式2(1)1xx≤的解集是[1,)．其中正确结论的序号是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选

或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，11BCCB是边长为2的正方形，平面ABC平面11BCCB，1AB，ABBC，点E为棱1AA的中点．（Ⅰ）求证：

1BC平面11ABC；（Ⅱ）求直线1BC与平面1BCE所成角的正弦值．（17）（本小题14分）已知数列{}na的前n项和为nS，11a，．是否存在正整数k（1k），使得12,,kkaaS成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．从①120nnaa

，②1(2)nnSSnn≥，③2nSn这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题14分）“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引

导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：1日2日3日4日5日6日7日10时在园人数11526180051968282841383010101666312时在园人数

2651837089429311684534017231681480014时在园人数3732238045406312071136558247061512516时在园人数27306296873063816181208211

616910866通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（Ⅰ）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午

14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从

哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)A，(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为

原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．（20）（本小题15分）已知函数cos()e1sinxxfxx．（Ⅰ）求函数()fx的定义域；（Ⅱ）求曲线()fx在点(0(0))

f，处的切线方程；（Ⅲ）求证：当ππ(,)22x时，()2fx≥．（21）（本小题14分）已知集合P的元素个数为3n()n*N且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即PABC，AB，AC，BC，其中12{,,,}n

Aaaa，12{,,,}nBbbb，12{,,,}nCccc，且满足12nccc，kkkabc，1,2,,kn，则称集合P为“完美集合”．（Ⅰ）若集合{1,2,3}P，{1,2,3,4,5,6}Q，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合{1,,3,

4,5,6}Px为“完美集合”，求正整数x的值；（Ⅲ）设集合{|13,}Pxxnn*N≤≤，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是4nk或41nk()n*N．房山区2020年第二次模拟检测答案高三数学一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题5分，共25分，有两

空的第一空3分，第二空2分）（11）2（12）3（13）12；14（14）34（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）∵平面ABC平面11BCCB，平面ABC平面11B

CCBBC又ABBC，∴AB平面11BCCB，（有前面的∵，∴才得分）∵11AB//AB，∴11AB平面11BCCB，∵1BC平面11BCCB，∴11AB1BC，又11BCCB是正方形，11BCBC∴111BC

ABC平面（有前面的∵，∴才得分）（Ⅱ）由1,,ABBCBB两两垂直，如图建立直角坐标系(0,0,0)B，1(2,2,0)C，(2,0,0)C，(0,1,1)E，1(0,2,0)B，1(2,2,0)BC，1(2,2,0)BC，(2,1,1)CE题号12345678910答案DCACB

ACCDBzyxEA1B1C1CAB设平面1BCE的法向量为(,,)nxyz，则有10,0,nBCnCE即22020xyxyz，，令1x，得(1,1,1)n设直线1BC与平面1BCE所成角为，所以46

sin|cos,|3223nBCnBCBCn（17）（本小题14分）解：选择①由120nnaa，得12nnaa，得12nnaa，因为11a，所以na是以1为首项，2为公比的等比数列．所以1112nnnaaq所以12kka22212(1)122111

2kkkkaqSq若12,,kkaaS成等比数列，则212kkaaS即12(2)k＝221k化简得2(2)16240kk－解得28215k因为k为正整数且1k，所以k不存在选择②当12nnnnaSSn时，，因为11a符合上式，所

以nan．na是以1为首项，1为公差的等差数列．所以kak122()(2)(12)(2)(3)(2)222kkaakkkkkS若12,,kkaaS成等比数列，则212kkaaS即2(3)(2)2kkk因为k为正整数且1k，所以解得6

k选择③当2212(1)21nnnnaSSnnn时，，因为11a符合上式，所以21nan．na是以1为首项，2为公差的等差数列．所以21kak，22(2)123kakk2122()(2)(123)(2)(2)22kkaak

kkSk若12,,kkaaS成等比数列，则212kkaaS即22(21)(2)kk因为k为正整数且1k，所以解得3k（18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于4083.2100万

，所以10月1日至7日中下午14时舒适度为“舒适”的天数为3天，因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为37．（Ⅱ）这记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则X的可能取值为0,1,210月1日

至7日中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有3天，则24272(0)7CPXC1143274(1)7CCPXC23271(2)7CPXCX的分布列为X012P274717所以X的期望24160127777EX

（Ⅲ）从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大．（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0)xyabab.依题意，2a，12ca.得1c，2223bac.

所以，椭圆C的方程为22143xy.（Ⅱ）依题意，可设(,)Pmn（22m且0m），则(,)Qmn.点P在椭圆C上，则22143mn，AP的斜率为12nkm，直线AP方程为(2)2nyxm，BQ的斜率为12nkm，直线BQ

的方程为(2)2nyxm.设(,)Mxy，由(2)2(2)2nyxmnyxm得42xmnym，所以M的坐标为42(,)nmm.所以P，M的横坐标之积等于44mm.222222242164283283nnmOMmmmmm

，由204m，所以，OM的取值范围是2,.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin1x，得π2π()2xkkZ所以()fx的定义域为π{|2π()}2xxkkZ（Ⅱ）0cos0(0)e21sin0f22sin(1sin)co

s1()ee(1sin)1sinxxxxxfxxx（π2π()2xkkZ）(0)0f所以，曲线()fx在点(0(0))f，处的切线方程为2y（Ⅲ）法一：由1()e1sinxfxx，令1()e1sinxgxx，则

2cos()e(1sin)xxgxx当ππ(,)22x时，()0gx，则()gx在ππ(,)22上单调递增，且(0)0g所以当π(,0)2x时，()0fx，()fx单调递减，当π(0,)2x时，()0fx，()fx单调递增，()fx的极小值

为(0)2f所以，当ππ(,)22x时，()2fx≥法二：1()e1sinxfxx当0x时，01(0)e01sin0f；当(,0)2x时，sin(1,0),x1sin(0,1),x11(1,),(,1),1sin1sinxx

2e(e,1)x，所以当(,0)2x时，()0fx，()fx单调递减，当(0,)2x时，sin(0,1),x11111sin(1,2),(,1),(1,),1sin21sin2xxx2e(1,e)x，所以当

(0,)2x时，()0fx，()fx单调递增，()fx的极小值为(0)2f所以，当ππ(,)22x时，()2fx≥（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）将P分为集合{1},{2},{3}满足条件，是完美集合

．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则111abc，222abcQ中所有元素之和为21，1221210.510.5cc，不符合要求；（Ⅱ）若集合{1,4}A，{3,5}B，根据完美集合的概念知集合{6,7}C，若

集合{1,5}A，{3,6}B，根据完美集合的概念知集合{4,11}C，若集合{1,3}A，{4,6}B，根据完美集合的概念知集合{5,9}C，故x的一个可能值为7,9,11中任一个；（Ⅲ）证

明：P中所有元素之和为3(31)1232nnn111222nnnabcabcabc1212()nncccc∵3ncn∴1213(31)34nnncccn∴12

19(1)4nnnccc，等号右边为正整数，则等式左边9(1)nn可以被4整除，∴4nk或14nk()n*N，即4nk或41nk()n*N．