【文档说明】吉林省延边第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含答案.docx，共(9)页，551.336 KB，由小赞的店铺上传

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延边第二中学2020-2021学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷答题时间：120分钟试卷总分：140分一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1.复数z满足84zzi+=−，则z=()A.34i+B.34i−

C.43i+D.43i−2.用反证法证明命题“若220ab+=,则a,b全为0（,abR）”其反设正确的是（）A.a,b至少有一个为0B.a,b至少有一个不为0C.a,b全不为0D.a,b中只有一个为03.有一段“三段

论”，其推理是这样的：对于可导函数()fx，若()00fx=，则0xx=是函数()fx的极值点……大前提;因为函数3()fxx=满足(0)0f=……小前提;所以0x=是函数3()fxx=的极值点……结论，以上推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D

.没有错误4.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝2Sl”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝3VS”；乙：由“若直角三角

形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝222ab+”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝2223abc++”．这两位同学类比得出的结论()A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错5.从0，2，4，6，8和1，3，5，7

，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（）A．720B．1120C．1200D．16806.一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为()c

mx，小盒子的容积为()3cmV，则（）A．当2x=时，V有极小值B．当2x=时，V有极大值C．当203x=时，V有极小值D．当203x=时，V有极大值7.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜

色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（）A．120B．260C．340D．4208.直线4yx=与曲线3yx=在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.22B.42C.4D.29.如果对定义在

R上的偶函数()fx，满足对于任意两个不相等的正实数12,xx，都有()()1122120xfxxfxxx−−，则称函数()yfx=为“F函数”，下列函数为“F函数”的是（）A．()xfxe−=B．()lnfxx=C．()2fxx=D．()fxxx=10.为了丰富教

职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为()A．336B．340C．352D．47211.函数()3

3xafxexxx=+−−，若()0fx有正实数解，则实数a的最小值为（）A.3B.2C.2eD.e12．已知函数()fx的定义域为R，且满足()()1fxfx−（()fx是()fx的导函数），若()00f=，则不等式()1xefx−的解集为（）A.(),0−

B.()0,+C.(),1−−D.()1,−+二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13.从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).14.学校艺术节对同一类的,,

,ABCD四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A或D作品获得一等奖”，若这四位同学中

只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．15.若函数()lnxfxx=与()xagxeb−=−的图像在1x=处有相同的切线，则ab+=____.16．已知函数()2ln3afxxx=+−，()322332gxxx

x=−+−，对任意的1x，21,23x，都有()()12fxgx成立，则实数a的取值范围是______.三、解答题（共６小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程）17．（本小题满分10分）复数222(34)zaaaai

=−−+−−（其中aR，i为虚数单位）.（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值；（3）在复平面内，复数z对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．18．（本小题满分10分）观察下列等式:311=；3

3123+=；3331236++=；3333123410+++=；333331234515++++=；(1)猜想第n(nN*)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想。19．（本小题满分12分）已知函数31()3fxxaxb=−+，在点()()1,1Mf处的切线方程

为93100xy+−=，求：（1）实数,ab的值；（2）函数()fx在区间0,3上的最值.20.（本小题满分12分）已知函数()()lnfxxaxa=−R.（1）若()fx存在极值，求a的取值范围；（

2）当1a=−时，求证：()1xfxxe−21.（本小题满分12分）已知函数()()ln0afxxaax=−+．（1）若曲线()yfx=在点()()1,1f处与x轴相切，求a的值；（2）求函数()fx在区间()1,e上的零点个数；

（3）若1x、()21,xe，()()()12120xxfxfx−−，试写出a的取值范围.（只需写出结论）22.附加题：（满分20分，计入试卷总分）已知函数()sinln(1)fxxmx=−+，且()fx在0x=处切线垂直于y轴．（1）求m的值；（2）求函数(

)fx在0,1上的最小值；（3）若2sinln10xxaxxe−−+−恒成立，求满足条件的整数a的最大值．（参考数据sin10.84，ln20.693=）延边第二中学2020-2021学年度第二学期

期中考试高二数学考试答案1-12ABACBBDCCADB13.7014.C15.216．eae17.（1）因为复数z为实数，所以2340aa−−=，所以1a=−或4；（2）因为复数z为纯虚数，所以2220340

aaaa−−=−−，所以2a=（3）因为z对应的点在第四象限，所以2220340aaaa−−−−解不等式组得，24a，即a的取值范围是()2,4.18.解（1）猜想第n个等式为()333311232nnn++++=.（2）证明：①当1n=时

，左边1=，右边1=，故原等式成立；②假设当nk=时，猜想成立，有()333311232kkk++++=，则当1nk=+时，()()()23333331123112kkkkk++++++=++()()()()()22212111422kkkkkkk+++=++

+=+=()()1112kk+++=故当1nk=+时，命题也成立。由①②可知猜想对一切正整数都成立.19.解：（1）因为在点()()1,1Mf处的切线方程为93100xy+−=，所以切线斜率是3

k=−且()9131100f+−=，求得1(1)3f=，即点11,3M又函数31()3fxxaxb=−+，则2()fxxa=−所以依题意得(1)1311(1)33fafab=−=−=−+=,解得44ab==（2）由（1）知31(

)443fxxx=−+所以2()4(2)(2)fxxxx=−=+−令()0fx=，解得2x=或2x=−当()02fxx或2x−；当()022fxx−所以函数()fx的单调递增区间是(,2)−，(2,)+单

调递减区间是(2,2)−又[0x，3]所以当x变化时，()fx和()fx变化情况如下表：X0(0,2)2(2,3)3()fx−20+20()fx4极小值43−1所以当[0x，3]时，()(0)4maxfxf==，4()(2)3minfxf==−20.解（1）

函数()fx的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−=，当0a时，对任意的0x，()0fx，故()fx在()0,+上单调递增，()fx无极值；当0a时，当10,xa时，()

0fx，()fx单调递增；当1,xa+时，()0fx，()fx单调递减.故()fx在1xa=处取得极大值，无极小值.综上所述，若()fx存在极值，则a的取值范围为()0,+.（2）当1a=−时，()1ln1xxxefx

xexx−−=−−−.设()2ln1hxxexx=−−−，其定义域为()0,+，则证明()0hx即可.()()11xxhxxex+=+−，设()()uxhx=，则()()2120xuxxex=++，故函数()hx在()0,+上单调递增.131022eh

=−，()1220he=−.()0hx=有唯一的实根01,12x，且001xex=，00lnxx=−.当00xx时，()0hx；当0xx时，()0hx，故函数()hx的最小值为()0hx.()()0000000ln1110

xhxhxxexxxx=−−−=+−−=.()1xfxxe−21（1）()221axafxxxx−=−=，因为()yfx=在点()()1,1f处与x轴相切，且()10f=，所以()110fa=−=，解得1a=.经检验1a=符合题意；（2）由（1

）知()2xafxx−=，令()0fx=，得xa=.（i）当01a时，()1,xe，()0fx，函数()fx在区间()1,e上单调递增，所以()()10fxf=，所以函数()fx在区间()1,e上无零点；（ii）当1ae时

，若1xa，则()0fx，若axe<，则()0fx.函数()fx在区间()1,a上单调递减，在区间(),ae上单调递增，且()10f=，()1eafea=−+.当()10afeae=−+，即11eae−时，函数()fx在区间()1,e上有一

个零点；当()10afeae=−+时，即当eee1a−≤时，函数()fx在区间()1,e上无零点；（iii）当ae时，()1,xe，()0fx，函数()fx在区间()1,e上单调递减，所以()()10fxf=，所以函数()fx在区间()1,e上无零点.综上：当

01a或ee1a−时，函数()fx在区间()1,e上无零点；当11eae−时，函数()fx在区间()1,e上有一个零点.（3）01a或ae.22.（1）因为()fx在0x=处切线垂直于y轴，则()00f=因为()cos1mfxxx=−+，则()010fm=−=，则1m=（

2）由题意可得1()cos1fxxx=−+，注意到()00f=，0,1x则21()sin(1)fxxx=−++则32()cos0(1)fxxx=−−+因此()fx单调递减，()010f=，()11sin10

4f=−+因此存在唯一零点()00,1x使得()00fx=，则()fx在()00,x单调递增，在()0,1x单调递减，11(1)cos1cos0232f=−−=，则()0fx在()

0,1上恒成立从而可得()fx在()0,1上单调递增，则()min00ff==（3）必要条件探路因为2sinln10xxaxxe−−+−恒成立，令1x=，则sin1ea因为sin1ln232ee=，由于a为

整数，则2a，因此2sin2sinln12ln1xxxaxxexxxe−−+−−−+−下面证明2sin()2ln10xgxxxxe=−−+−恒成立即可①当()0,1x时，由（1）可知sinln(1)xx+，则sin1xex+

故22()2ln11lngxxxxxxxx−−++−=−−，设2()lnhxxxx=−−，(0,1)x则2121(21)(1)()210xxxxhxxxxx−−+−=−−==，则()hx在()0,1单调递减从而可得()()10hxh=，由此可得()0gx在()0,1x恒成立．②当1x

时，下面先证明一个不等式：122xex+，设1()22xhxex=−−则()2xhxe=−，则()hx在(),ln2−−单调递减，在()ln2,+单调递增因此min1(ln2)22ln202hh==−−，那么sin12sin2xex

+由此可得2sin212ln12ln2sin()2xxxxexxxxgx−−+−−−+−=则1()222cosgxxxx=−−+，21()22sin0gxxx=+−因此()gx单调递增，()(1)2cos112cos103gxg

=−−=，则()gx在()1,+上单调递增，因此3()(1)2sin102gxg=−综上所述：a的最大值整数值为2．