【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题37 等差数列及其前n项和 Word版无答案.docx，共(9)页，1.312 MB，由小赞的店铺上传

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专题37等差数列及其前n项和知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：等差数列的基本运算题型二：等差数列的判定与证明题型三：等差数列项的性质题型四：等差数列前n项和性质的应用题型五：等差数列的前n项和的最

值培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公

式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.【考点预测】1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2

.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n(n－1)2d或Sn＝n(a1＋an)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝

m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项

和为Sn，Snn为等差数列．【常用结论】1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.2.两个等差数列{an}，

{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为S2n－1T2n－1＝anbn.【方法技巧】1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而

a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．2.等差数列的判定与证明方法3.如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的

条件；若求am项，可由am＝12(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．4.等差数列前n项和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(

2n－1)an；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．5.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法二、【题型归类】【题型一】等差数列的基本运算【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的

前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.【典例2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.【典例3】已

知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.14B.12C.1D.2【题型二】等差数列的判定与证明【典例1】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a

n}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【典例2】已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1

)．(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{an}的通项公式．【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．【题型三】等差数列项的性质【典例1】设S

n为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于()A．72B．36C．18D．9【典例2】在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为()A．4B．6C．8D．10【典例3】已知数列{an}满足2an＝an

－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于()A．6B．7C．8D．9【题型四】等差数列前n项和性质的应用【典例1】已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100B．120C．390D．54

0【典例2】在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2018的值等于()A．－2018B．－2016C．－2019D．－2017【典例3】(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．

上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．36

99块B．3474块C．3402块D．3339块【题型五】等差数列的前n项和的最值【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为()A．5B．6C．7

D．8【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．13三、【培优训练】【训练一】（多选）已知定义

：在数列{an}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题正确的是()A．若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{an}是等方差数列，则{akn}

(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【训练二】多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃

，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为________．【训练三】设数列{an}的

前n项和为Sn，若SnS2n为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．【训练四】定义

向量列a1，a2，a3，…，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列．这个常向

量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，则向量列{an}的前n项和Sn＝____________________.【

训练五】在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2

.【训练六】等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.(1)求{an}的通项公式；(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1464，求n的最小值.四、【强化测试】【单选题】1.已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6

，a9＝a26，则a10＝()A.52B.5C.10D.402.已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)＝()A.－3B.3C.－13D.133.在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，

n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝()A.10B.9C.8D.74.已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为()A．－3B．3C．－12D．125.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每

等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是()A.3726B.3727C.5239D.56396.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为

319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A．28B．29C．30D．317.已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于()A．20B．17C．19D．218.已知函数f(x)的

图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为()A．－200B．－100C．－50D．

0【多选题】9.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2nS4n为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”，则下列数列{bn}为“吉祥数列”的是()A.bn＝nB.bn＝(－1)n(n＋1)C.bn＝4n－2D.bn＝2n10.设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞

S8，则下列结论正确的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值11.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有()A．a10＝0B．S1

0最小C．S7＝S12D．S20＝012.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则()A．a6＞0B．－247＜d＜－3C．当Sn＜0时，n的最小值为13D．数列Snan中的最小项为第7项【填空题】13.

设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝________.14.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7等于________.15.设等差数

列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________.16.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名

，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．【解答题】17.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若

a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．18.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)已知数列{bn}满足bn＝Snn，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.19.在①数列{Sn－n2}是公差为－3的等差数列，②Sn＝

n2＋an－5n＋4，③数列{an}是公差不为0的等差数列，且a3a6＝a24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．已知数列{an}中，a1＝－2，{an}的前n项和为Sn，且_______

_．求an.20.若数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，a2n＋1＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求a1＋a3a2的值；(2)求证：数列{an}为等差数列．21.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2

an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.22.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}

为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．