【文档说明】浙江省杭州市北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.849 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前2023学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题命题：淳安二中北师大嘉兴附中考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．

所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|124}xAx=，(){|ln1}Bxyx==−，则AB=

（）A.{|01}xxB.{|12}xxC.{|02}xxD.{|02}xx【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB．【详解】解：集合{|124}{|02}xAxxx==

，(){|ln1}1Bxyxxx==−=，{|12}ABxx=．故选：B．【点睛】本题主要考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数z满足()12

i34iz+=−（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A.2iB.2i−C.2D.2−【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再根据复数的概念可得结果.【详解】因为()12i34iz+=−，所以()()()

()34i12i34i36i4i812i12i12i12i5z−−−−−−====−−++−，所以复数z的虚部为2−.故选：D3.“1a=”是“直线()1:210laxy−++=与直线()2:1220laxy++−=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充

分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线垂直求出a范围即可得出.【详解】由直线垂直可得()1212aa+−−−=−，解得0a=或1，所以“1a=”是“直线()1:210laxy−++=与直线()2:1220la

xy++−=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：WFS=（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力(

)12,4F=和()25,3F=−的作用下，由点()1,0A移动到点()2,4B，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）A.25B.5C.5−D.25−【答案】A【解析】【分析】利用条件，先求出两个力的合力12FF+及AB，再利用功的计

算公式即可求出结果.【详解】因为()12,4F=，()25,3F=−，所以12(3,7)FF+=−，又()1,0A，()2,4B，所以(1,4)AB=，故12()37425WFFAB=+=−+=.故选：A.5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也

被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点(),Pxy是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx−的最的小值为（）A.23−B.32−C.43−D.1−【答案】C【解析】【

分析】转化为点(),Pxy与(2,0)连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，【详解】记()2,0A，则2ykx=−为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆()()22110xyx+−=相切时，得k最小，此时设():2APykx=−，故21211kk−−=+，解得43k=−或0

k=（舍去），即min43k=−．故选：C6.已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数,满足(1)(1)fxfx−=+.若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)ffff++++=A.50−B.0C.2D.50【答案】C【解析】【详解】分析：先根据

奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()fx是定义域为(,)−+的奇函数，且(1)(1)fxfx−=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4fxfxfxfxfxT+=−−+=−+=−=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)]

(1)(2)ffffffffff++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)ffff=−=−，，所以(1)(2)(3)(4)0ffff+++=，(2)(2)(2)(2)0ffff=−=−=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff

++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7.如图，在三棱锥OABC−中，点G为底面ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的

三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若ODkOA=，OEmOB=，OFnOC=，则111kmn++=（）A.133B.23C.32D.92【答案】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用OAOB

OC，，表示OM，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数,，使DMDEDF=+，再转化为(1)OMkOAmOBnOC=−−++，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，22221()()33332OGOAAGABACOMOA==+

=++211222()()333999OAOCOAOAOBOAOBOC=+−+−=++因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数,，使DMDEDF=+，所以()()OMODOEODOFOD−=−+−，所以(1)(1)OMOD

OEOFkOAmOBnOC=−−++=−−++，所以2(1)92929kmn−−===，所以1119999(1)2222kmn++=−−++=．故选：D8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是

逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个

面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为26，则模型中九个球的表面积和为（）A.6πB.9πC.31π4D.21π【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到

答案.【详解】如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则6CEBE==，24632AEDE==−=，过点A作AF⊥底面BCD，垂足在DE上，且2DFEF=，所以22,2DFEF==，故222484AFADDF=−=−=，点O为最大球

的球心，连接DO并延长，交AE于点M，则DM⊥AE，设最大球的半径为R，则OFOMR==，因为RtAOM△∽RtAEF，所以AOOMAEEF=，即4322RR−=，解得1R=，即1OMOF==，则413AO=−=，故1sin3OMEAFAO==设最小球球心为J，中间球的球心

为K，则两球均与直线AE相切，设切点分别为,HG，连接,HJKG，则,HJKG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,ab，则33,33AJHJaAKGKb====，则33JKAKAJba=−=−，又JKab=+，所以33ba

ab−=+，解得2ba=，又33OKRbAOAKb=+=−=−，故432bR=−=，解得12b=，所以14a=，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πRba++=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接

的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.有一组样本甲的数据ix，一组样本乙的数据21ix+，其中()1,2,3,4,5,6,7,8ixi=为不完全相等的正

数，则下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若样本甲的中位数是m，则样本乙的中位数是21m+的D.若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是21n+【答案】ACD【解析】【分析】根据统计中的相关概念和

性质运算求解.【详解】不妨设样本甲的数据为1280xxx，且18xx，则样本乙的数据为128212121xxx+++，且182121xx++，对于选项A：样本甲的极差为8

10xx−，样本乙的极差()()()818121212xxxx+−+=−，因为()()81818120xxxxxx−−−=−，即()81812xxxx−−，所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；对于

选项B：记样本甲的方差为20s甲，则样本乙的方差为24s甲，因为222430sss−=甲甲甲，即224ss甲甲，所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；对于选项C：因为样本甲的中位数是4

52xxm+=，则样本乙的中位数是()()454521211212xxnxxm+++==++=+，故C正确；对于选项D：若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是21n+，故D正确；故选：ACD.10.已知11(,)Axy，22(,)B

xy是圆O：221xy+=上两点，则下列结论正确的是（）A.若1AB=，则3AOB=B.若点O到直线AB的距离为12，则32AB=C.若2AOB=，则112211xyxy+−++−的最大值为22D.若2AOB=，则112

211xyxy+−++−最大值为4【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，B，根据垂径定理可判断，对于选项C，D，根据点到直线的距离公式可求解判断.的【详解】对于A，若1AB=，则可知点O到AB的距离为32，从而可知3AOB=，故A正确；对于B，若点O到直

线AB的距离为12，则可知322AB=，从而得3AB=，故B错误；对于C，D，11221122xyxy+−+−+的值可转化为单位圆上的()()1122,,,AxyBxy两点到直线10xy+−=的距离之和，又AOB90=，所以三角形AOB是等腰直角三角形，设M是AB的中点，则OMAB⊥，且

2222OMOA==，则M在以O点为圆心，半径为22的圆上，,AB两点到直线10xy+−=的距离之和为AB的中点M到直线10xy+−=的距离的两倍.点()0,0O到直线10xy+−=的距离为1222=，所以点M到直线10xy+−=的距离的最大值为22222+=，所以11221

122xyxy+−+−+的最大值为22.因此112211xyxy+−++−的最大值为4.从而可知C错误，D正确..故选：AD.11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5

，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（）.A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件B是

对立事件C.()()PACPB=D.()()PBCPA=【答案】AC【解析】【分析】首先分别列举,,ABC三个时间包含的样本点，再结合互斥，对立时间的定义，以及选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个

；事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3

乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个.从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；因为()325PA=，()1225PB=，()()1

PAPB+，所以B错误；因为事件ACU的所有基本事件共有12个，所以()1225PAC=，所以()()PACPB=，故C正确；因为事件BC的所有基本事件共有6个，所以()625PBC=，所以()()PBCPA，故D错误.故选：AC12.如图

，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，3AB=，126AA=，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线,PBPC与底面ABCD所成的角分别记为(),0,0，且sin2sin=，记动点P的轨迹与棱1

CC的交点为Q，则下列说法正确的是（）A.Q为1CC中点B.线段1PA长度的最小值为5C.存在一点P，使得//PQ平面11ABDD.若P在正四棱柱1111ABCDABCD−表面，则点P的轨迹长度为433π

6+【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用线面夹角的定义确定P在球上，结合球的特征可判定A、B、D选项，构造面面平行及球心到线段的距离可判定C项.【详解】设P在底面ABCD的投影为H，连

接,BHCH，由题可知,PCHPBH==，所以sin2sinPHPHPCPB===，即2=PBPC，建系可得：()3,0,0B，()3,3,0C，()()1,,,0,0,26PxyzA，即()()()222222323

3xyzxyz−++=−+−+化简得：()()222344xyz−+−+=，即P在球心()3,4,0M，半径2r=的球上，所以()2221min342625PA=++−=，故B正确；设()()3,3,0Qhh，则()()()222233

3403hrh−+−+−==，即1132CQhCC==，故A错误；取BC上一点ECD，上一点F，使324CECF==，连接1,,,,QEQFEFBCBD，易得1123//426ECCQEQBCCBCC===，由正

四棱柱的特征可知：1111////,////EFBDBDEQBCAD，而EF平面11ABD，11BD平面11ABD，所以//EF平面11ABD，同理，//EQ平面11ABD，又,,EQEFEEQEF=平面QEF，所以平面//QEF平面11ABD，易知球心到

线段EF的距离为3212342242r+=+=，故截面QEF与球存在交点，所以存在一点P，使得//PQ平面11ABD，故C正确；当P位于侧面11BCCB上时，P轨迹为劣弧GQ，易知π6023QMGGQ==，当P位于侧面11CDDC上时，P轨迹为劣弧NQ，易知π32GQ=，则点P的

轨迹长度ππ43323π326L+=+=,如下图所示：故D正确.故选：BCD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．【答案】250xy−−=【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式

方程即可求解【详解】因为直线过点()2,1-且方向向量为()1,2，所以直线的斜率为221k==，所以直线的方程为()122yx+=−，即250xy−−=，故答案为：250xy−−=14.已知13x

，2y，且37xy+=，则11312xy+−−的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】构造312144xy−−+=，展开11312()()31244xyxy−−++−−，利用基本不等式即可求解.【详解】因为37xy+=，所以3124xy−+−=，即312144xy−−+

=，因13x，2y，所以3120,044xy−−，1111312()()31231244xyxyxy−−+=++−−−−13111312144(31)4(2)424(31)42)2(2xxyyyxx

y−−=++++−−−−=−−，当且仅当314(31)4(22)yxxy−−−−=，即1,4xy==时取等号.为所以11312xy+−−的最小值为1.故答案为：115.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老

师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为______．【答案】925.【解析】【分析】问题的对立事件是甲同学既没有收到李老师也没有收到张老师的

信息，而李老师和张老师的信息是相互独立的，进而算出概率.【详解】设甲同学收到李老师和张老师的信息分别为事件A，B，且相互独立，∴()()21105PAPB===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知为：()249115

25PAB−=−=.故答案为：925.16.已知单位空间向量1e，2e，3e满足120ee=，231312eeee==.若空间向量a满足12322eeaa==，且对于任意实数,xy，12||axeye−−的最小值是2，则()3||Rae−的最小值是____

_______.【答案】22【解析】【分析】以1e，2e方向为,xy轴，垂直于1e，2e方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以1e，2e方向为,xy轴，垂直于1e，2e方

向为z轴建立空间直角坐标系，则()()121,0,0,0,1,0ee==，由231312eeee==可设3111(,,)22ez=，由3e是单位空间向量可得3112(,,)222e=，由12322e

eaa==可设23232,,)22(az=，1222223|232|22xeeayz=−−+（-x）+（-y），当322xy==，12||axeye−−的最小值是2，所以22z=，取3232,,2)2(2a=，332322(,,2)22222ae=−−−−，2222332322

|()()(2)52132222|2ae=−+−−=−+−+，当522=时，()3||Rae−最小值为22.故答案为：22.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在

四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ABCD，且1AB=，2CD=，22BC=，1PA=，ABBC⊥，N为PD的中点．（1）求证：//AN平面PBC；（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行

；（2）取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和PD的坐标，利用向量法即可求得直线PD与平面PBC所成角的正弦值．【小问1详解】取PC中点为M，连接

NM，MB，如图所示，因为M，N分别是PC，PD的中点，所以//NMDC且12NMDC=，又因为//ABDC且12ABDC=，所以//NMAB，NMAB=，所以四边形NMBA为平行四边形，所以//ANBM，又因为AN平面PBC，BM平面PBC，所以//

AN平面PBC；【小问2详解】取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A，()0,0,1P，()0,1,0B，()22,1,0D−，()22,1,0C，设平面PBC的法向量为(),,mx

yz=，因为()0,1,1BP=−，()22,0,0BC=，所以0220BPmyzBCmx=−+===，令1y=，解得01xz==，即()0,1,1m=，又因为()22,1,1PD=−−，所以直线PD与平面PBC所成

角的正弦值为5cos,5PDmPDmPDm==．18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛

上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子

组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；（2）若计划从男

子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差.【答案】（1）0.025，129（2）35（3）平均分为118，方差为3152【解析

】【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，可求得第10名的成绩是第75百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举

法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可.【小问1详解】因为已有矩形的面积和为10(0.00520.0100.0200.030)0.75+++=，所以缺失的矩形面积为10.750.25−=，所以高度

为0.25100.025=，由于100.2540=，所以第10名记为第75百分位数，设第10名的成绩为x，则x位于第5组，且()0.025135100.0100.25x−+=，解得129x=，所以成绩排名第10的选手分数为129；【小问2详解

】105以下合计6个人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下的人编号为1，2），任选2个人的方法数，列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，包含1，2的有9种，故概率为93155=；【小问3详解】男子组选手

的平均分900.051000.11100.21200.31300.251400.1119=+++++=x，男子组得分的方差222(90119)0.05(100119)0.1(110119)0.2=−+−+−222(120119)0.3(

130119)0.25(140119)0.1+−+−+−169=所有选手的平均得分为1191171182+=，所以所有选手得分的方差2211315[144(117118)][169(119118)]222=

+−++−=.19.已知函数2π5π()3sin(2)sin(2)36fxxx=−−+.（1）若方程()fxm=在ππ[,]44x−上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；（2）在ABC中，若()2fB=−，

内角A的角平分线3AD=，2AB=，求AC的长度.【答案】（1）33m−或2m=；（2）6.【解析】【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数()fx，再探讨()yfx=在ππ[,]44−上的

性质，画出图象，数形结合求解作答.（2）由（1）求出B，由正弦定理求出ADB，进而求出BAC，再利用等腰三角形性质求解作答.【小问1详解】依题意，πππππ()3sin[(2)]sin[π(2)]3cos(2)sin(2)26666fxx

xxx=−−−+−=−+−πππ2sin[(2)]2sin(2)636xx=−+=+，当ππ[,]44x−时，ππ2π2[,]633x+−，则当ππ[,]46x−时，()yfx=单调递增，函数值从3−增大到2，当ππ[,]64x时，()yfx=单调递减

，函数值从2减小到3，方程()fxm=在ππ[,]44x−上有且只有一个实数根，即直线ym=与函数()yfx=在ππ[,]44−的图象只有一个公共点，在同一坐标系内作出直线ym=与函数()yfx=在ππ[,]44−的图象，如图，观察图象，当33m−

或2m=时，直线ym=与函数()yfx=在ππ[,]44−的图象只有一个公共点，所以实数m的取值范围是33m−或2m=.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)26fBB=+=−，即πsin(2)16B+=−，在ABC中

，0πB，即ππ13π2666B+，则π3π262B+=，解得2π3B=，在ABD△中，3AD=，2AB=，由正弦定理得sinsinABADADBB=，则32sin22sin23ABBADBAD===，显然π03ADB，有π4ADB=，于是ππ

12BADBADB=−−=，即有π26BACBAD==，则π6CBAC==，ABC是等腰三角形，所以32cos2262ACABBAC===.20.已知圆：M：22(1)(2)2xy++−=.关于直线260axby++=对称，记点(),Pab，过点P.的直线

与圆M相切于点,AB.（1）求PA的最小值；（2）当PA取最小值时，求切点,AB所在的直线方程.【答案】（1）4；（2）3370xy−+=.【解析】【分析】(1)圆关于直线对称则直线过圆心，再根据切线长可分析求解PA的最小值；（2）当PA

取最小值时，直线MP垂直直线30xy−−=，进而可求两个相交的圆的公切线即为切点,AB所在的直线方程.【小问1详解】因为圆22:(1)(2)2Mxy++−=关于直线260axby++=对称，所以直线260axby++=过圆心()1,2M−，所以2260ab−++=，即30ab−−=，故点P的轨

迹方程为30xy−−=，因为PM的最小值即为()1,2M−到直线30xy−−=的距离，由于123632112d−−−===+，即min||32PM=，所以2222||||2(32)24PAPMAMPM=−=−−=…，即min||4PA=.【小问2详解】由（1

）知，当PA取最小值时，直线MP垂直直线30xy−−=，可得直线MP的方程为()21yx−=−+，即10xy+−=，联立30,10,xyxy−−=+−=解得()2,1P−，因为,MAAPMBBP⊥⊥，所以,,,MA

PB四点共圆，故以MP为直径的圆的方程为()()()()12210xxyy+−+−+=，又已知圆22:(1)(2)2Mxy++−=，两圆方程相减得AB的方程为3370xy−+=.21.如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CCDE=分别是

线段1,ACCC的中点，1C在平面ABC内的射影为D.（1）求证：1AC⊥平面BDE；（2）若点F为棱11BC的中点，求点F到平面BDE的距离；（3）若点F为线段11BC上的动点（不包括端点），求锐二面角FBDE−−的余弦值

的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）334（3）13,22【解析】【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证11,BDACDEAC⊥⊥，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平

面BDE的一个法向量，证明其与1AC平行，从而得证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【小问1详解】法一：连结1AC，因为ABC为等边三角形，D为A

C中点，BDAC⊥，又1CD⊥平面ABC，BD平面ABC，1CDBD⊥11,,ACCDDACCD=平面11AACCBD⊥平面11AACC，又1AC平面111,AACCBDAC⊥，由题设知四边形11AACC为菱形，11ACAC⊥，,DE分别为1,ACCC中点

，11,DEACACDE⊥∥，又BDDED=，,,BDDEDBDDE=I平面1,BDEAC⊥平面BDE.法二：由1CD⊥平面ABC，ACBD，平面ABC，11ACCDBDCD⊥⊥，，又ABC为等边三角形，

D为AC中点，BDAC⊥，则以D为坐标原点，1,,DBDADC所在直线为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()111130,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,3,0,,,3,13,0,

2,3,22DBCCEBA−−()133,0,0,0,,,22DBDE==−()10,3,3AC=−−11·0,?0DBACDEAC==11,BDACDEAC⊥⊥又BDDED

=，,,BDDEDBDDE=I平面1,BDEAC⊥平面BDE.法三：（同法二建系）设平面BDE的一个法向量为(),,mxyz=00DBmDEm==，即3013022xyz=−+=不妨取1z=，则3y=，则()0,3,1m=所以平面BDE的一

个法向量为()0,3,1m=()10,3,3AC=−−，13ACm=−，1//ACm，1AC⊥平面BDE【小问2详解】由（1）坐标法得31,,322F，平面BDE的一个法向量为()0,3,1m=（或()1

0,3,3mCA==）31,,322DF=点到F到平面BDE的距离=3333224mDFm+==【小问3详解】()()1113,1,0,0,3,3CBCA==设()111,,,(01)FxyzCFCB=，则(

)(),,33,,0xyz−=，()()3,,3,3,,3,3,,3xyzFDF====；由（1）知：1AC⊥平面,BDE平面BDE的一个法向量()10,3,3mCA==（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面FBD的法向量(),,nabc=，则30330DBnaD

Fnabc===++=，令3b=，则()0,,0,3,acn==−=−；222233331(3)cos,2323323mnmnmn−−−====+++，令()32,3t−=，则3t=−222111cos,126212621tmntttt

==−+−+；2111126113,,1,1,cos,,32322mnttt−+，即锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围为13,22.22.在区间D上，如果函数()fx为减函数，而()xfx为增函数，则称()fx为D上的弱减函

数.若1()1fxx=+（1）判断()fx在区间[0,)+上是否为弱减函数（2）当[1,3]x时，不等式1421aaxxx++恒成立，求实数a的取值范围（3）若函数()()1gxfxkx=+−在[0,3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围【答案】（1

）1()1fxx=+是[0,)+上的弱减函数（2）2[1,]2a−（3）11[,)62k【解析】【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断1()1fxx=+是[0,)+上的弱减函数．（2）根据题意可得()14()21m

inmaxxaxaxx+++„…，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当(0x，3]时，方程11||1kxx−=+只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围

．【详解】解：（1）由初等函数性质知1()1fxx=+在[0,)+上单调递减，而(1)11()1111xxxfxxxxx+−===+−+++在[0,)+上单调递增，所以1()1fxx=+是[0,)+上的弱减函数（2）不等式化为421xaax++在[1,3]x

上恒成立则minmax1421xaxaxx+++，而由（1）知()1xfxx=+在[1,3]单调递增，()max33213fx==+，()min12211fx==+224322aa

+解得212a−所以2[1,]2a−（3）由题意知方程111kxx−=+[0,3]上有两个不同根①当0x=时，上式恒成立；②当(0,3]x时，方程111kxx−=+只有一解21111111(1)111(11)(1)1xxkxxxxxxxxx+−=−=

==++++++++令1tx=+，则(1,2]t方程化为21ktt=+在(1,2]t上只有一解，令()21gttt=+，(1,2]t，由2yxx=+在(1,2]x上单调递增，1yx=在(1,2]x上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()21gttt=+在(1,2]t

上单调递减，()2111112g==+，()2112226g==+()11,62gt所以11[,)62k在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com