【文档说明】湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高一下学期7月期末自检数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.244 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年下学期期末自检高一数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|16}Axx=N，{|20}Bxx=−，则AB=（）A.{1,2}B.{0,1,2}C.{42}

xx−∣D.{02}xx∣【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可.【详解】因为2{|16}0,1,2,3Axx==N，{|20}{|2}Bxxxx=−=，所以

AB={0,1,2}.故选：B2.若复数z满足1i1i−=+z（i为虚数单位），则z=（）A.1i−B.1i+C.i−D.i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘除法运算直接化简即可.【详解】221i(1i)12iii1i(1i)(1i)2z−−

−+====−++−，故选：C3.已知向量()4,am=，()2,2bm=−，若a与b共线，则m=（）A.4−B.4C.2−D.2−或4【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可.【详解】由两向量共线可知()242mm−=，即2280mm−

−=，解得4m=或2m=−.故选：D.4.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l，l//，则//B.若//l，l⊥，则⊥C.若l⊥，⊥，则//lD.若//l，⊥，则l⊥【答案】B【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，

面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A：若//l，l//，则//或相交，故A错误；B：若//l，l⊥，由线面平行和垂直的性质可得⊥，故B正确；C：若l⊥，⊥，则//l或l，故C错误；D：若//l，⊥，则,l相交或l

//或l，故D错误；故选：B.5.如图，矩形''''OABC是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中''5OA=，''2OC=，则原图形的面积是（）A.20B.10C.52D.52【答案】A【解析】分析】根据斜

二测画法求解.【详解】解：由斜二测画法知22225220SS===原斜，故选：A.6.某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确．．．的是（）【A.该市14天空气质量指数的中位

数为78.5B.该市14天空气质量指数的第30百分位数为55C.该市14天空气质量指数的平均值大于100D.计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大【答案】C【解析】【分析】由平均数、中位数

、百分位数和方差的概念即可得出答案.【详解】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为：33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163，所以该市14天空气质量指数的中位数为：76+81=78.52，故A正确.对于B：因

为1430%4.2=，所以该市14天空气质量指数的30百分位数为55，故B正确；对于C：122102116811631587633102655338+55+528714x+++++++++++=，

该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误；对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确.故选：C.7.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中1

OA=.给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA与OH的夹角为π3B.ODOFOE+=C.12OAOCDH−=D.OA在OD上的投影向量为22e−（其中e为与OD同向的单位向量）【答案】D【解析】【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则

及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确.【详解】由八卦图可知OA与OH的夹角为AOH，其大小为2ππ84=，即OA与OH的夹角为π4，所以A错误；由向量的平行四边形法则可知ODOFOE+，即B错误；易

知OAOCCA−=，又90AOC=，所以2CAOA=，而22DHODOA==，所以22OAOCDH−=，即C错误；易知OA在OD上的投影向量为11cos15132222OODODODODODAODODOeD==−=−，即D正确.故选：D8.如图，在多面体EFABCD−中，四边形ABCD是

边长为3的正方形，EFAB∥，E到平面ABCD的距离为3，6EF=，EAEDFBFC===.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）A.19πB.20πC.21πD.22π【答案】D【解析】【分析

】M为EF中点，1O为矩形ABCD中心，可得1MO⊥平面ABCD，外接球球心在1MO上，由外接球球心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积.【详解】连接AC，BD，相交于点1O，因为四边形ABCD为矩形，所以1O为矩形ABCD外接圆的圆心.分别取EF，AD，BC的中点M，

P，Q，连接PQ，则//PQAB，且1O为PQ的中点，因为//EFAB，所以//PQEF，ABCD矩形，EAEDFBFC===，则有EPAD⊥，FQBC⊥，EPFQ=，//ADBC，EPBC⊥，,EPFQ是平面EFQP内的两条相交直线，BC

⊥平面EFQP，BC平面ABCD，平面ABCD⊥平面EFQP，平面ABCD平面EFQPPQ=，等腰梯形EFQP中，1,MO分别为,EFPQ的中点，则有1MOPQ⊥，所以1MO⊥平面ABCD，则多面体EFABCD−的外接球球心在1MO上，//EFAB，EF平面ABCD，A

B平面ABCD，则//EF平面ABCD，E到平面ABCD的距离为3，则13MO=，当O在线段1MO上时，设1OOa=，则3MOa=−，在RtEMO和1RtAOO△中，由外接球半径ROAOE==，有222211EMMOOOAO+=+，即()

2222632322aa+−=+，解得1a=，为外接球半径()226113122ROE==+−=，该球表面积24π22πSR==.当O在线段1MO的延长线上时，同理可得，此时无解.故选：D.二､多选题

：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥1ADPC−的体积为

定值B.直线AP与平面1ACD所成角的大小不变C.直线AP与直线1AD垂直D.二面角1PADC−−的大小不变【答案】ACD【解析】【分析】根据锥体的体积公式可判断A；点P点在直线1BC上运动时，直线AB与平面1ADC所成的角和直线1AC与平

面1ADC所成的角不相等可判断B；根据线面垂直的判定定理可证得1AD⊥平面11ABCD，根据线面垂直的性质可判断C，当P点在直线1BC上运动时，AP平面11BADC,即二面角1PADC−−的大小不受影响，可判断D.

【详解】对A，连接1AD，设该正方体的棱长为a，因为111//,ADBCAD平面1ADC，1BC平面1ADC，所以1//BC平面1ADC，因此点1,CP到平面1ADC的距离相等，的故11111123111326ADPCPADCCA

DCACCDVVVVaaa−−−−=====，故A正确；对B，点P点在直线1BC上运动时，直线AB与平面1ADC所成的角和直线1AC与平面1ADC所成的角不相等，故B错误；对C，设11ADADM=I，则11AD

AD⊥，又AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD所以1ABAD⊥，又1ABADA=，1,ABAD平面11ABCD所以1AD⊥平面11ABCD又AP平面11BADC，所以1ADAP⊥，故C正确；对D，当P点在直线1BC上运动时，AP平面11BADC,即二面角1PADC−−即1B

ADC−−大小不受影响，故D正确.故选：ACD10.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件B，“抽出的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是

（）A.事件A与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是互斥事件C.事件A与事件B相互独立D.事件B与事件C是对立事件【答案】AC【解析】【分析】根据题意利用列举法求,,,ABC和()(),PAPB，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判

断.【详解】由题意可知：样本空间Ω1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,4,7,1,2,3,4,5,6,8,9ABC====，则()()()Ω9,3,6nnAnB===，可得()()()

()()()12,Ω3Ω3nAnBPAPBnn====，对于选项A：因为AC=，所以事件A与事件C是互斥事件，故A正确；对于选项B：因为1,4AB=，所以事件A与事件B不是互斥事件，故B错误；对于选项C：由选项B可知(

)2nAB=，则()()()2Ω9nABPABn==，可知()()()PABPAPB=，所以事件A与事件B相互独立，故C正确；对于选项D：因为1,2,3,4,5,6,8,9ΩBC=，所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误；

故选：AC.11.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若sinsinBC，则BC．B.若26,4ab==，π4A=，则三角形有一解．C.若coscos0bBcC−=，则

ABC一定为等腰直角三角形．D.若ABC面积为S，()22214Sabc=+−，则π4C=．【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D.【详解】对于A，由

正弦定理得sinsinbcBC=，因为sinsinBC，所以bc，则BC，故A正确；对于B，因为26,4ab==，π4A=，由正弦定理得sinsinabAB=，则24sin322sin3226bABa==

=，因为ab，所以AB，则π0,4B，所以B只有一解，则三角形只有一解，故B正确；对于C，因为coscos0bBcC−=，所以sincossincos0BBCC−=，即sin2sin2BC=，又(),,0,πBCBC+，所以()2,20,2πBC，所以22BC=

或22πBC+=，即BC=或π2BC+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为ABC面积为S，()22214Sabc=+−，又2222coscababC=+−，所以11sin2cos24abCabC=，所以sincosCC=，显然cos0C，则tan1C=，因

为(0,π)C，所以π4C=，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(4,3)a=，(2,4)b=，则b在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55

【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】b在a方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555abaaa===.故答案为：1612,5513.若2i−+（i为虚数单位）为方程20xmxn++=（,Rmn

）的一个根，则n=______.【答案】5【解析】【分析】将2i−+代入方程，即可求解.【详解】由题意可知，()()22i2i0mn−++−++=，所以()()324i=0mnm−++−，所以32040mnm−+=−=，所以4,5mn==.故答案为：514.在圆台12OO中，圆1O的半

径是2，母线2PC=，圆2O是ABC的外接圆，60ACB=，3AB=，则三棱锥PABC−体积最大值为______．【答案】34##0.75【解析】【分析】先求出圆2O的半径，再求圆台的高，列出三棱锥体积表示式，由余弦定理和基本不等式推出3ab，即得体积最大值.【详解】如图，设圆1O，2O半径

分别为1r，2r，则12,r=由正弦定理，232sin60r=，解得21r=，设圆台的高为h，则()2212123hOOPCrr==−−=，在ABC中，取,ACbBCa==，由余弦定理，222cos603abab+−=，即得2232ababab+=+，即得3a

b，当且仅当3ab==时取等号.因三棱锥−PABC的体积为11113sin60333244ABCVShabab===，即3ab==时，三棱锥−PABC的体积的最大值为34.故答案为：3.4【点

睛】关键点点睛：本题主要考查与圆台有关的三棱锥的体积最值问题，属于难题.解题关键在于，弄清圆台与三棱锥的关系，分析三棱锥的体积关系式中，哪些为定值，需要选设怎样的变量表示，考虑运用二次函数，还是基本不等式，双勾函数还是求导方法求得体积最值.四､解答题：

本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知1a=，2b=，π,4ab=．（1）求ab+；（2）若()()2kabab+

⊥−，求实数k的值．的【答案】（1）5（2）3−【解析】【分析】（1）首先求出ab，再根据()2abab+=+及数量积的运算律计算可得；（2）依题意可得()()20kabab+−=，根据数量积的运算律计算可得.小问1详解】因

为1a=，2b=，π,4ab=，所以2cos,1212ababab===，所以()2222ababaabb+=+=++()2212125=++=.【小问2详解】因为()()2kabab+⊥−

，所以()()20kabab+−=，即()221220kakabb+−−=，即()()221121220kk+−−=，解得3k=−.16.已知向量()()sin,sinπmxx=−，()23sin,2co

snxx=，设()3fxmn=−.（1）求()fx的最小正周期；（2）若0π14625fx−=，03π,π4x，求0sin2x的值.【答案】（1）π（2）243750+【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得

()2()323sin2sinπcos3fxmnxxx=−=+−−，然后将其化为基本型，即可求出周期；【（2）由题意可得02π7sin2325x−=，由03π,π4x，求出02π23x−的范围，再由三角函数的平方关系求出02πcos23x−，则002π2

πsin2sin233xx=−+，由两角和的正弦公式化简即可得出答案.【小问1详解】因为()2()323sin2sinπcos3fxmnxxx=−=+−−()31cos2sin23xx=−+−π2sin23x

=−，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==；【小问2详解】000πππ2π142sin22sin2663325fxxx−=−−=−=，0002π73π5π2π4π

sin2π,23254633,xxx−=−，2002π2π24cos21sin23325xx−=−−−=−，故002π2πsin2sin233xx=−+002π2π2π2πsin2coscos2sin3333xx

=−+−71243243725225250+=−−=−.17.“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所

有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：)40,50，)50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道

，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值.【答案

】（1）0.030a=，75（2）（i）1325；（ii）10n=【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求出a，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；（2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式

求解即可；（ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图有()101100.0050.01020.0200.025a=−+++，解得0.030a=，因为

()100.0050.0100.0200.350.5++=，0.350.030100.65+=，所以中位数在区间)70,80内，设为x，则有()()100.0050.0100.0200.03700.5x++

+−=，得75x=，所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；【小问2详解】设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：()123205P

A==，()82205PB==，()20nPC=，所以有()25PA=，()35PB=，()120nPC=−，（i）记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有=UDABAB，且有AB与AB互斥，因为每位同学独立作答

，所以A，B互相独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立，所以()()()()()()()PABABPABPABPAPBPAPB=+=+332213555525=+=，所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325；（

ii）记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则=EABC，所以()()()()()()111PEPEPABCPAPBPC=−=−=−232211552025n=−−=，解得：10n=

.18.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，D，E分别为棱AB，11BC的中点，2AB=.（1）证明：//DE平面11ACCA；（2）若三棱锥1AADC−的体积为33，求二面角1DACA−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【

分析】（1）取11AC的中点F，连接EF，AF，可得//EFAD且EFAD=，即EFAD为平行四边形，从而得到//AFDE，即可得证；（2）首先根据锥体的体积公式求出1AA，取AC的四等分点（靠近A），连接DM，过点M作1MNAC⊥交1AC于点N

，连接DN，由面面垂直的性质得到DM⊥平面11ACCA，即可得到DNM为二面角1DACA−−的平面角，再利用锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取11AC的中点F，连接EF，AF，因为D，E分别为棱AB，11BC的中点，且三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以1

1//EFAB且1112EFAB=，11//ADAB且1112ADAB=，所以//EFAD且EFAD=，所以EFAD为平行四边形，所以//AFDE，因为DE平面11ACCA，AF平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA；【小问

2详解】因为2AB=，所以1AD=，2DC=，所以131322ADCS==△，又在正三棱柱111ABCABC-中1AA⊥平面ABC，所以1111333AADCAADCADCVVAAS−−===，

所以12AA=，取AC的四等分点（靠近A），连接DM，过点M作1MNAC⊥交1AC于点N，连接DN，因为ABC为等边三角形，所以DMAC⊥且32DM=，又平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，DM平面ABC，所以DM⊥平面11ACCA，1AC平面11ACCA，1D

MAC⊥，又1MNAC⊥，,,DMMNMDMMN=平面DMN，所以1AC⊥平面DMN，所以DNM为二面角1DACA−−的平面角，在平面11ACCA中连接1AC交1AC于点O，因为四边形11ACCA为正方形，

所以11ACAC⊥，又1MNAC⊥，所以//MNAO，又A为AC的四等分点，所以N为OC的四等分点，所以133332224884NMAOAC====，所以22304DNDMNM=+=，所以32154cos5304MNDNMDN===，所以

二面角1DACA−−的余弦值为155.19.在锐角ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若2c=，()()()2sinsinsinbCBabA+−=−.（1）求角C的大小；（2）若E为AB的中点，且3CE=，求ABC的面积S

；（3）如图，过A点在ABC所在平面内作ADAB⊥，且满足2π3ADC=.求线段ADDC+的最大值.【答案】（1）π3（2）3（3）4233+【解析】【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出

；（2）由已知可得()12CECACB=+，两边平方，结合余弦定理可得4ab=，则ABC面积可求；（3）令DAC=，利用正弦定理将ADCD+表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可

求得最值.【小问1详解】因为2c=，(2)(sinsin)()sinbCBabA+−=−，所以()()()bccbaba+−=−，即222abcab+−=，由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−==

=，又0πC，∴π3C=．【小问2详解】因为E是AB的中点，所以()12CECACB=+，两边平方可得()212CACB+=，即()222222cos12CACBababCabab+=++=++=，又222222cos4cababCabab=

+−=+−=，所以4ab=，ABC面积为1sin32abC=.【小问3详解】设DAC=，当DC与ABC外接圆相切时，可得12=，则ππ,)123，则ππ,36DCAABC=−=+，在ABC中，由正弦定理得ππsinsin36ABAC=+

，所以ππsin2sin66π3sin32ABAC++==，在ACD中，由正弦定理得2ππsinsin33ADAC=−，所以π43ππsinsinsin33632π3sin32ACAD

−+−==因为2πsinsin3DCAC=，所以43πsinsinsin362π3sin32ACDC+==8πsinsin,36=+又ππ123，所以π2π263，所以当π22=，即π4=时，ADDC+有最大值，最大值

为4233+.【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值.