【文档说明】湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高一下学期7月期末自检数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.244 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年下学期期末自检高一数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|16}Axx=N，{|20}Bxx=−，则AB=（）A.{1,2}B.{0,1

,2}C.{42}xx−∣D.{02}xx∣【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可.【详解】因为2{|16}0,1,2,3Axx==N，{|20}{|2}Bxxxx=−=，所以A

B={0,1,2}.故选：B2.若复数z满足1i1i−=+z（i为虚数单位），则z=（）A.1i−B.1i+C.i−D.i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘除法运算直接化简即可.【详解】221i(1i)12iii1i(1i

)(1i)2z−−−+====−++−，故选：C3.已知向量()4,am=，()2,2bm=−，若a与b共线，则m=（）A.4−B.4C.2−D.2−或4【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可.【

详解】由两向量共线可知()242mm−=，即2280mm−−=，解得4m=或2m=−.故选：D.4.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l，l//，则//B.若//l，l⊥

，则⊥C.若l⊥，⊥，则//lD.若//l，⊥，则l⊥【答案】B【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A：若//l，l//，则//或相交，故A错误；B：若//l，l⊥，由线面平行和垂直的性

质可得⊥，故B正确；C：若l⊥，⊥，则//l或l，故C错误；D：若//l，⊥，则,l相交或l//或l，故D错误；故选：B.5.如图，矩形''''OABC是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中''5OA=，''2OC=，则原图形

的面积是（）A.20B.10C.52D.52【答案】A【解析】分析】根据斜二测画法求解.【详解】解：由斜二测画法知22225220SS===原斜，故选：A.6.某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图

所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确．．．的是（）【A.该市14天空气质量指数的中位数为78.5B.该市14天空气质量指数的第30百分位数为55C.该

市14天空气质量指数的平均值大于100D.计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大【答案】C【解析】【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案.【详解】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为：33,38,52,5

3,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163，所以该市14天空气质量指数的中位数为：76+81=78.52，故A正确.对于B：因为1430%4.2=，所以该市14天空气质量指数的30百

分位数为55，故B正确；对于C：122102116811631587633102655338+55+528714x+++++++++++=，该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误；对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确.故选：C.7.

八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=.给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA与OH的夹角为π3B.ODOFOE+=C.12OAOCDH−=D.OA在OD上的投影向量为22e−（其中e为与OD同向的单位向量）【答案

】D【解析】【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确.【详解】由八卦图可知OA与OH的夹角为AOH，其大小为2ππ84=，即OA与OH的夹角为π4，所以A

错误；由向量的平行四边形法则可知ODOFOE+，即B错误；易知OAOCCA−=，又90AOC=，所以2CAOA=，而22DHODOA==，所以22OAOCDH−=，即C错误；易知OA在OD上的投影向量为11cos15132222OO

DODODODODAODODOeD==−=−，即D正确.故选：D8.如图，在多面体EFABCD−中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EFAB∥，E到平面ABCD的距离为3，6EF=，EAEDFBFC===.若A，

B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）A.19πB.20πC.21πD.22π【答案】D【解析】【分析】M为EF中点，1O为矩形ABCD中心，可得1MO⊥平面ABCD，外接球球心在1MO上，由外接球球

心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积.【详解】连接AC，BD，相交于点1O，因为四边形ABCD为矩形，所以1O为矩形ABCD外接圆的圆心.分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，连接PQ，则/

/PQAB，且1O为PQ的中点，因为//EFAB，所以//PQEF，ABCD矩形，EAEDFBFC===，则有EPAD⊥，FQBC⊥，EPFQ=，//ADBC，EPBC⊥，,EPFQ是平面EFQP内的两条相

交直线，BC⊥平面EFQP，BC平面ABCD，平面ABCD⊥平面EFQP，平面ABCD平面EFQPPQ=，等腰梯形EFQP中，1,MO分别为,EFPQ的中点，则有1MOPQ⊥，所以1MO⊥平面ABCD，则多面体EFABCD−的外接球球心在1MO上，/

/EFAB，EF平面ABCD，AB平面ABCD，则//EF平面ABCD，E到平面ABCD的距离为3，则13MO=，当O在线段1MO上时，设1OOa=，则3MOa=−，在RtEMO和1RtAOO△中，由外接球半径ROAOE==，有22

2211EMMOOOAO+=+，即()2222632322aa+−=+，解得1a=，为外接球半径()226113122ROE==+−=，该球表面积24π22πSR==.当O在线段1MO的延长线

上时，同理可得，此时无解.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动时，下列命题正确的是（）

A.三棱锥1ADPC−的体积为定值B.直线AP与平面1ACD所成角的大小不变C.直线AP与直线1AD垂直D.二面角1PADC−−的大小不变【答案】ACD【解析】【分析】根据锥体的体积公式可判断A；点P点在直线1BC上运动时，直线AB与平面

1ADC所成的角和直线1AC与平面1ADC所成的角不相等可判断B；根据线面垂直的判定定理可证得1AD⊥平面11ABCD，根据线面垂直的性质可判断C，当P点在直线1BC上运动时，AP平面11BADC,即二面角1PADC−

−的大小不受影响，可判断D.【详解】对A，连接1AD，设该正方体的棱长为a，因为111//,ADBCAD平面1ADC，1BC平面1ADC，所以1//BC平面1ADC，因此点1,CP到平面1ADC的距离相等，的故11111123111326ADPCPAD

CCADCACCDVVVVaaa−−−−=====，故A正确；对B，点P点在直线1BC上运动时，直线AB与平面1ADC所成的角和直线1AC与平面1ADC所成的角不相等，故B错误；对C，设11ADADM=I，则

11ADAD⊥，又AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD所以1ABAD⊥，又1ABADA=，1,ABAD平面11ABCD所以1AD⊥平面11ABCD又AP平面11BADC，所以1ADAP⊥，故C正确；对D，当P点在直线1BC上运动

时，AP平面11BADC,即二面角1PADC−−即1BADC−−大小不受影响，故D正确.故选：ACD10.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，

“抽出的卡片号小于7”为事件B，“抽出的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是（）A.事件A与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是互斥事件C.事件A与事件B相互独立D.事件B与事件C是对立事件【答

案】AC【解析】【分析】根据题意利用列举法求,,,ABC和()(),PAPB，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：样本空间Ω1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,4,7,1,2,3,4,5,6,8,9ABC====，则

()()()Ω9,3,6nnAnB===，可得()()()()()()12,Ω3Ω3nAnBPAPBnn====，对于选项A：因为AC=，所以事件A与事件C是互斥事件，故A正确；对于选项B：因为1,4AB=，所以事件A与事件B不是互斥事件

，故B错误；对于选项C：由选项B可知()2nAB=，则()()()2Ω9nABPABn==，可知()()()PABPAPB=，所以事件A与事件B相互独立，故C正确；对于选项D：因为1,2,3,4,5,6,8,9ΩBC=，所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误；故选：AC

.11.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若sinsinBC，则BC．B.若26,4ab==，π4A=，则三角形有一解．C.若coscos0bBcC−=，则ABC一定为等腰直角三

角形．D.若ABC面积为S，()22214Sabc=+−，则π4C=．【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D.【详解】对于A，由正弦定理得sinsinb

cBC=，因为sinsinBC，所以bc，则BC，故A正确；对于B，因为26,4ab==，π4A=，由正弦定理得sinsinabAB=，则24sin322sin3226bABa===，因为ab，所以AB，则π0,4B，所以B只有一解

，则三角形只有一解，故B正确；对于C，因为coscos0bBcC−=，所以sincossincos0BBCC−=，即sin2sin2BC=，又(),,0,πBCBC+，所以()2,20,2πBC，所以22

BC=或22πBC+=，即BC=或π2BC+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为ABC面积为S，()22214Sabc=+−，又2222coscababC=+−，所以11sin2cos24abCabC=，所以sincosCC=，显然cos0C，则tan1C=，

因为(0,π)C，所以π4C=，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(4,3)a=，(2,4)b=，则b在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标

公式计算即可.【详解】b在a方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555abaaa===.故答案为：1612,5513.若2i−+（i为虚数单位）为方程20xmxn++=（,Rmn）的一个根，则n=______.【答案】5【解析】【分析】

将2i−+代入方程，即可求解.【详解】由题意可知，()()22i2i0mn−++−++=，所以()()324i=0mnm−++−，所以32040mnm−+=−=，所以4,5mn==.故答案为：51

4.在圆台12OO中，圆1O的半径是2，母线2PC=，圆2O是ABC的外接圆，60ACB=，3AB=，则三棱锥PABC−体积最大值为______．【答案】34##0.75【解析】【分析】先求出圆2O的半径，再求圆台的高，列出三棱锥体积表示

式，由余弦定理和基本不等式推出3ab，即得体积最大值.【详解】如图，设圆1O，2O半径分别为1r，2r，则12,r=由正弦定理，232sin60r=，解得21r=，设圆台的高为h，则()2212123hOOPCrr==−−=，

在ABC中，取,ACbBCa==，由余弦定理，222cos603abab+−=，即得2232ababab+=+，即得3ab，当且仅当3ab==时取等号.因三棱锥−PABC的体积为11113sin60333244ABCVShabab===，即3ab==时，三棱锥−

PABC的体积的最大值为34.故答案为：3.4【点睛】关键点点睛：本题主要考查与圆台有关的三棱锥的体积最值问题，属于难题.解题关键在于，弄清圆台与三棱锥的关系，分析三棱锥的体积关系式中，哪些为定值，需要选设怎样的变量表示，考虑运用二次函数，还是基

本不等式，双勾函数还是求导方法求得体积最值.四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知1a=，2b=，π,4ab=．（1）求ab+；（2）

若()()2kabab+⊥−，求实数k的值．的【答案】（1）5（2）3−【解析】【分析】（1）首先求出ab，再根据()2abab+=+及数量积的运算律计算可得；（2）依题意可得()()20kabab+−=，根据数量积的运算律计算可得.小问

1详解】因为1a=，2b=，π,4ab=，所以2cos,1212ababab===，所以()2222ababaabb+=+=++()2212125=++=.【小问2详解】因为()()2kabab+⊥−，所以()()20k

abab+−=，即()221220kakabb+−−=，即()()221121220kk+−−=，解得3k=−.16.已知向量()()sin,sinπmxx=−，()23sin,2cosnxx=，设()3fxmn=−

.（1）求()fx的最小正周期；（2）若0π14625fx−=，03π,π4x，求0sin2x的值.【答案】（1）π（2）243750+【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得()2()323sin2sinπcos3fxmnxxx=−=

+−−，然后将其化为基本型，即可求出周期；【（2）由题意可得02π7sin2325x−=，由03π,π4x，求出02π23x−的范围，再由三角函数的平方关系求出02πcos23x−，则002π2πsin2sin233xx=−+，由两角和

的正弦公式化简即可得出答案.【小问1详解】因为()2()323sin2sinπcos3fxmnxxx=−=+−−()31cos2sin23xx=−+−π2sin23x=−，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==；【小问2详解】000πππ2π1

42sin22sin2663325fxxx−=−−=−=，0002π73π5π2π4πsin2π,23254633,xxx−=−，2002

π2π24cos21sin23325xx−=−−−=−，故002π2πsin2sin233xx=−+002π2π2π2πsin2coscos2sin3333xx=−+−7124324372

5225250+=−−=−.17.“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节

活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：)40,50，)50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图

中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.（i）

任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值.【答案】（1）0.030a=，75（2）（i）1325；（ii）10n=【解析】【

分析】（1）根据频率之和为1即可求出a，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；（2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可；（ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图有()10110

0.0050.01020.0200.025a=−+++，解得0.030a=，因为()100.0050.0100.0200.350.5++=，0.350.030100.65+=，所以中位数在区间)

70,80内，设为x，则有()()100.0050.0100.0200.03700.5x+++−=，得75x=，所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；【小问2详解】设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答

对”，则由古典概型概率计算公式得：()123205PA==，()82205PB==，()20nPC=，所以有()25PA=，()35PB=，()120nPC=−，（i）记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则

有=UDABAB，且有AB与AB互斥，因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立，所以()()()()()()()PABABPABPABPAPBPAPB=+=+332213555525=+

=，所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325；（ii）记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则=EABC，所以()()()()()()111PEPEPABCPAPBPC=−=−=−23

2211552025n=−−=，解得：10n=.18.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，D，E分别为棱AB，11BC的中点，2AB=.（1）证明：//DE平面11ACCA；（2）若三棱锥1AADC−的体积为33，求二面角1DACA−−

的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）取11AC的中点F，连接EF，AF，可得//EFAD且EFAD=，即EFAD为平行四边形，从而得到//AFDE，即可得证；（2）首先根据锥体的体积公式求出1AA，取

AC的四等分点（靠近A），连接DM，过点M作1MNAC⊥交1AC于点N，连接DN，由面面垂直的性质得到DM⊥平面11ACCA，即可得到DNM为二面角1DACA−−的平面角，再利用锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取11AC的中点F，连接EF，AF，因为

D，E分别为棱AB，11BC的中点，且三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以11//EFAB且1112EFAB=，11//ADAB且1112ADAB=，所以//EFAD且EFAD=，所以EFAD为平行四边形，所以//AFDE，

因为DE平面11ACCA，AF平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA；【小问2详解】因为2AB=，所以1AD=，2DC=，所以131322ADCS==△，又在正三棱柱111ABCABC-中1AA⊥平面ABC，所以1111333AADCAADCADCV

VAAS−−===，所以12AA=，取AC的四等分点（靠近A），连接DM，过点M作1MNAC⊥交1AC于点N，连接DN，因为ABC为等边三角形，所以DMAC⊥且32DM=，又平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面

ABCAC=，DM平面ABC，所以DM⊥平面11ACCA，1AC平面11ACCA，1DMAC⊥，又1MNAC⊥，,,DMMNMDMMN=平面DMN，所以1AC⊥平面DMN，所以DNM为二面角1DACA−−的平面角，在平面11ACCA中连接1AC交1AC于点O，因为

四边形11ACCA为正方形，所以11ACAC⊥，又1MNAC⊥，所以//MNAO，又A为AC的四等分点，所以N为OC的四等分点，所以133332224884NMAOAC====，所以22304DNDMNM=+=，所以321

54cos5304MNDNMDN===，所以二面角1DACA−−的余弦值为155.19.在锐角ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若2c=，()()()2sinsinsinbCBabA+−=−.（1）求角C的大小；（2）若E为AB的中点，且3CE=，求ABC的面积S；（3）如图，过A点

在ABC所在平面内作ADAB⊥，且满足2π3ADC=.求线段ADDC+的最大值.【答案】（1）π3（2）3（3）4233+【解析】【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出；（2）由已知可得()

12CECACB=+，两边平方，结合余弦定理可得4ab=，则ABC面积可求；（3）令DAC=，利用正弦定理将ADCD+表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值.【小问

1详解】因为2c=，(2)(sinsin)()sinbCBabA+−=−，所以()()()bccbaba+−=−，即222abcab+−=，由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−===，又0πC，∴π3C=．【小问2详解】因为E是AB的中点，

所以()12CECACB=+，两边平方可得()212CACB+=，即()222222cos12CACBababCabab+=++=++=，又222222cos4cababCabab=+−=+−=，所以4ab=，ABC面积为1sin32abC

=.【小问3详解】设DAC=，当DC与ABC外接圆相切时，可得12=，则ππ,)123，则ππ,36DCAABC=−=+，在ABC中，由正弦定理得ππsinsin36ABAC=+，所以ππsin2sin66π3sin32ABAC

++==，在ACD中，由正弦定理得2ππsinsin33ADAC=−，所以π43ππsinsinsin33632π3sin32ACAD−+−==因为

2πsinsin3DCAC=，所以43πsinsinsin362π3sin32ACDC+==8πsinsin,36=+又ππ123，所以π2π263，所以当π2

2=，即π4=时，ADDC+有最大值，最大值为4233+.【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利

用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值.