【文档说明】河南省郑州市宇华实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，981.305 KB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年郑州市宇华实验学校高二（上）开学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a，b，c满足2bac=，则acbbac

+++的最小值为（）A.1B.32C.2D.522.已知2319,sin,224abc===，则（）A.cbaB.abcC.a<c<bD.c<a<b3.已知1133log(1)log(1)ab−−，则下列说法一定成立的是（）A.11abB.1120222021ab

C.n0()lab−D.若ACabAB=，则点C在线段AB上4.已知函数()π37π5sin2,0,63fxxx=−，若函数()()4Fxfx=−的所有零点

依次记为123,,,,nxxxx，且123nxxxx，则1231222nnxxxxx−+++++=（）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶

数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A与C互斥②B与D对立③A与D相互独立④B与C相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos322fxx=+−

图象关于直线5π18x=对称，则函数()fx在区间0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23sincosacCCb+=+，则acb+的最大值为（）A.332B.233C.32D.338.已知12,zz是

复数，满足124zz+=，13=z，1210zz−=，则12=zz（）A.32B.3C.33D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2

个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,zz为复数，则下列命题正确的是（）A.若12zz=，则12RzzB.若113i22z=−+，则2024113i22z=−C.若12=zz，则2212zz=D.若12zzzz−=−，且12zz，则

z在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan04fxx=+的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且满足ABC的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()fx的图象对称中心为ππ,082k−+，kZC.()fx的

单调增区间是ππ5ππ,8282kk++，kZD.将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tanyx=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱1

CC的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G，使OD垂直于平面EFG；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线EF被球O截得的弦长为2；④过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，

半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sincossin2fxxxx=−+在区间π0,2上的值域是.13.若函数()7tanfxx=，()5sin2

gxx=，则()yfx=和()ygx=在π3π,22x−的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCDABCD−中，4AB=，112AB=，122AA=，则该棱台的体积为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x≤27，函数33()log(3)log227=++xfxaxb(a＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a、b的值；(2)若不等式()(3)0tgtfkt=−在1,32t上有解，求实数k的取值范围.

16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）

按照)0,20，)20,40，)40,60，)60,80，80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于6

0分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在)0,20，80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率

.17.（15分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,abc.已知63,cos,32aABA===+.（1）求b的值；（2）求ABC的面积.18.（17分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，其中//ADBC，且2ADBC=，8

PAPBAD===，5CD=，点E，F分别为棱PD，AD的中点.(1)若平面PAB⊥平面ABCD，①求证：PBAD⊥；②求三棱锥PABE−的体积；(2)若8PC=，请作出四棱锥PABCD−过点B，E，F三点的截面，并求出截面的

周长.19.（17分）已知平面向量π2sin,3cos2axx=−，πsin,2sin2bxx=+，且函数.(1)求π3f的值；(2)求函数()fx的最小正周期；(3)求函数()yfx=在π0,2上的最

大值，并求出取得最大值时x的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a，b，c为正数且满足2bac=，所以22acacbb+=，当且仅当

abc==时等号成立，令actb+=，)2,t+，则1acbtbact++=++，令1ytt=+，)2,t+，又1ytt=+在)2,+上单调递增，所以当2t=时，y取得最小值为15222+=，所以acbbac+++

的最小值为52，当且仅当abc==时取得.故选D.2.【答案】D【解析】293334π2π2π2πca===ca3132π2a==，设()sinfxx=，3()gxx=，当6x=时，31sin662==()sinfxx=与3()gxx=相交于点1

,62和原点0,6x时，3sinxx10,2613sin22，即bac<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log(1)log(1)ab−−，则101011abab−−−−，即1ab，所以11

ab，故A错误；因为12022xy=在R上单调递减，且ab，所以1120222022ab，又1b，所以byx=在()0,+单调递增，所以1120222021bb，所以1120222021ab

，故B正确；因为1ab，所以0ab−，当01ab−时，()ln0ab−，当1ab−时，()ln0ab−，故C错误；又1ab，所以1ab，由ACabAB=可得点C在AB延长线上，故D错误；故选B.4.【答案

】A【解析】函数()π5sin2,6fxx=−令()ππ2π62xkk−=+Z，可得1ππ()23xkk=+Z，即函数的对称轴方程为1ππ()23xkk=+Z，又()fx的周期为πT=，37π0,3x，令1π37ππ=233k+，可

得24k=，所以函数在37π0,3x上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366nnxxxxxx−+=+=+=（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312

π5π8π71π22226666nnxxxxx−+++++=++++()2+7124π876π==292π323=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A与C互斥，因此本序号说

法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369PAPDPAD===−===，显然()()()P

APDPAD，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612PBPCPBC====，显然()()()PBPCPBC=，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()

ππcos322fxx=+−图象关于直线5π18x=对称，所以()5π3π18kk+=Z，解得()5ππ6kk=−Z，又因为ππ22−，所以6=π，所以()πcos36fxx=+

，令()πcos306fxx=+=，则()ππ3π62xkk+=+Z，解得ππ39kx=+，因为0,πx，所以π9x=，4π9，7π9.即函数()fx在区间0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有23sincosacCCb+=+由

正弦定理得sin2sin3sinsinsincosACBCBC+=+，又()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，所以cossin2sin3sinsinBCCBC+=，因为sin0C，所以3

sincos2BB−=，即π2sin26B−=，则ππ62B−=，即2π3B=，由余弦定理得2222cosbacacB=+−()222acacacac=++=+−()()222324acacac++−=+

，则233bac+，当且仅当ac=时，等号成立，所以232333bacbb+=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()zzzzzzzzzz+=++=++，且124zz+=，13=z，即221211121222212129||()16zzzzz

zzzzzzzzzz+=+++=+++=，得221212||7zzzzz++=；同理因为21212121212()()()zzzzzzzzzz−=−−=−−，且1210zz−=，即22121112

1222212129||()10zzzzzzzzzzzzzzz−=−−+=+−+=，得：221212||1zzzzz−−=；联立可得：224z=，22z=，1212||326zzzz===.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i,Rzmnmn=+，则1izmn=−，所以2212Rzzmn=+，故A正确；对于B，由1

13i22z=−+，得2211313ii2222z=−+=−−，所以()2242111313ii2222zz==−−=−+，所以450220462113i22zz−+==，故B错误；对于C，若121,

izz==，则12=zz，而22121,1zz==−，故C错误；对于D，因为12zz，设12,zz对应的点为,AB，若12zzzz−=−，则z在复平面内对应点到A和B的距离相等，即z在复平面内对应点在线段AB的

垂直平分线上，所以z在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x=时，()π02tan24OCf===，因为2ABCS=，所以122ABCSOCAB==，得π2AB=，即函

数()fx的最小正周期为π2，由πT=得2=，故A不正确；B：由选项A可知()π2tan24fxx=+，令ππ242kx+=，kZ，解得ππ48kx=−，kZ，即函数()fx的对称中心为ππ,048k−，kZ，故B不正

确；C：由ππ3ππ2π242kxk+++，kZ，得π5ππ8282πkkx++，kZ，故C正确；D：将函数()fx图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan24yx=−的图象，故D不正确.故选ABD.11.【答案】AC

D【解析】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()2,0,0B、()2,2,0C、()0,2,0D、()10,0,2A、(

)12,0,2B、()12,2,2C、()10,2,2D、()1,0,0E、()2,2,1F、()1,1,1O，设点()2,,0Ga，其中02a，对于①，()1,1,1OD=−−，()1,2,1EF=，()1,,0EGa=，若存在点G，使OD垂直于平面EFG，只需ODEF⊥，

ODEG⊥，则1210ODEF=−+−=，10ODEGa=−+=，解得1a=，此时，G为BC的中点，故当点G为BC的中点时，OD⊥平面EFG，①对；对于②，当点G与点B重合时，A平面EFG，②错；对于③，()0,

1,1EO=，()1,2,1EF=，则33cos226EOEFOEFEOEF===，因为0πOEF，则π6OEF=，所以，点O到EF的距离为π12sin2622dEO===，所以，直线EF被球O截得的弦长为2222

212122d−=−=，③对；对于④，设点O在EF上的射影为点M，过直线EF的平面为，当直线OM与平面垂直时，平面截球O所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为222221122d−=−=

，因此，半径最小的圆的面积为22ππ22=，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4−【解析】令πsincos2sin()4txxx=−=−，因为π0,2x

，πππ,444x−−，所以[1,1]t−，()22sincossin2sincos(sincos)11fxxxxxxxxtt=−+=−−−+=−+，设2()1,[1,1]gttt

t=−++−，显然一元二次函数2()1gttt=−++在区间1[1,]2−上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以maxmin15(),(1)124gg=−=−，所以函数()sincossin2fxxxx=−+的值域为5[1,]

4−.故答案为：5[1,]4−.13.【答案】3π【解析】因为()7tanfxx=的对称中心为π,02k，kZ，()5sin2gxx=的对称中心为π,02k，kZ，所以两函数的交点也关于π,02k对称，kZ

，又因为函数()7tanfxx=，()5sin2gxx=的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x−的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,xxxxxx，且123456

xxxxxx，其中13,xx关于()0,0对称，20x=，46,xx关于()π,0对称，5πx=，所以1234563πxxxxxx+++++=.故答案为：3π.14.【答案】2863/2863【解析】正四棱台1111AB

CDABCD−的对角面为11ACCA是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACCA中，1142,22ACAC==，因为122AA=，则该梯形的高22111()62ACAChAA−=−=，所以该棱台的体积为()2

212864422633V=++=.故答案为：2863.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2ab==；(2)43−，【解析】（1）()()()()3333log3log2log1log3227xfx

axbaxxb=++=+−++()23log142axab=+−−+，由1≤x≤27得3log0,3tx=，()23log10,4x−，又a＞0，因此33()log(3)log227=++xfxaxb的最大值为24+=

b，最小值为420ab−++=，解得1,2ab==.（2）()()23log1fxx=−，()()()2310tgtfkttkt=−=−−又1,32t，()2112tkttt−=+−，而1()2h

ttt=+−在1,12上单调递减，在(1,3上单调递增.由不等式()()30tgtfkt=−在1,32t上有解，得：max12ktt+−43=.因此，k的取值范围是43-

，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a++++=，解得0.0075a=设中位数为x，因为学生成绩在)0,40的频率为()200.

0050.010.30.5+=，在)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5++=所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x++−=，解得160

3x=故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在)0,20的频数为0.0052010010=成绩在80,100的频数为0.00752010015=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在)

0,20的学生被抽取105225=人，在80,100的学生被抽取155325=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C1C10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P=−=.17.（15分）【答案】（1）32；（2）322.【解析】（1）在ABC

中，由题意知23sin1cos3AA=−=，又因为2BA=+，所有6sinsin()cos23BAA=+==，由正弦定理可得63sin332sin33aBAb===.（2）由2BA=+得3coscossin2(3)BAA=+=−

=−，由ABC++=,得()CAB=−+.所以sinsin[()]sin()CABAB=−+=+sincoscossinABAB=+3366()3333=−+13=.因此，ABC的面积11132sin33222

32SabC===.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)2326.2+【解析】（1）①因为平面PAB⊥平面,ABCD平面PAB平面,ABCDAB=又因为底面ABCD为直角梯形，其中//,ADBC所以,ADAB⊥又因为AD面,PAD所以

AD⊥面.PAB又因为PB面,PAB所以.PBAD⊥②由①知AD⊥面,PAB取PA的中点设为,Q连结,QE则,QEAD则QE⊥面,PAB则点E到面PAB的距离为14.2AD=又因为在ABCD直角梯形ABCD中4BC=，8PAPBAD===，5,CD=解得

3,AB=所以在等腰三角形PAB中PABS=△3247.4三棱锥PABE−的体积132474247.34V==（2）取线段PC的中点H，连接,EHHB，因为DNBC=，且//DNBC，所以四边形NDCB为平行四边形，所以//DCNB，又,EH分别为线段,PDPC，所以//EHDC，所以//E

HNB，则四边形EHBN为四棱锥PABCD−过点,BE及棱AD中点的截面，则5BNCD==，142ENPA==，1522HECD==，在PBC中，14,4,2BCHCPC===，21cos84PCB==，所以22212cos161624424

.4BHBCHCBCHCHCB=+−=+−=，则26.BH=，所以截面周长为52354262622BNENHEHB+++=+++=+.19.（17分）【答案】(1)3；(2)π；(3)max()2fx=，5

π12x=【解析】（1）解法1：因为当π3x=时，ππ32sin,3cos3,362a==，5ππ1sin,2sin,3632b==，π133333322fab=−=+

−2333=−=.解法2：由诱导公式可得()2sin,3sinaxx=，()cos,2sinbxx=，所以()32sincos3sin2sin3fxabxxxx=−=+−()2sin2312

sinxx=−−sin23cos2xx=−π2sin23x=−,所以ππ2sin333f==.（2）由解法2得()π2sin23fxx=−，故函数()yfx=的最小正周期为π.（3）当π02x时，ππ2π2333x−−，当ππ

232x−=，即5π12x=时，函数πsin23yx=−取最大值1，此时max()2fx=.