【文档说明】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高一下学期数学周考试题（大竹林2021.6.27） 含答案.docx，共(15)页，507.981 KB，由小赞的店铺上传

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西南大学附属中学高一数学周测（大竹林，6.27）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知复数552izi−=−，则z的虚部为（）A．3−B．3i−C．1−D．i−2．如果平面向量()2,4a=−r，()6,12b=−，那么下列结论中不正确的是（）A．3ba=

B．//abC．a，b的夹角为180°D．向量a在b方向上的投影为253．设(3,),(5,1)amb==，p：向量a与ab−的夹角为钝角，q：()2,3m−，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件4．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且1a=，2224Sbca=+−，则ABC外接圆的半径为（）A．2B．2C．1D．225．已知向量()1,2AB=，()3,4AC=，则ABC的面积为（

）．A．1B．2C．3D．46．正方体的内切球和外接球的体积之比为（）A．1:33B．1:9C．1:3D．1:37．已知直线m和平面,，则下列结论一定成立的是（）A．若//,//maa，则//mB．若m⊥，⊥，则//mC．若m⊥，//，则m⊥D．若//m，

⊥，则m⊥8．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（）A．423B．2C．223D．23二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．给出以下结论：正确的为（）A．直线//a平面，直线b，则//abB．若aA

=，则aC．若a，则//a或a与相交D．若a，b，则a、b无公共点10．下列命题是真命题的有（）A．有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．数据1，2，3，3，4，5

的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为511．下列结论正确的是（）A．已知a是非零向量，bc，若abac=，则()a

bc⊥−B．非零向量a和b，满足||||||abab==−，则a与ab+的夹角为30°C．点P在ABC所在的平面内，满足0PAPBPC++=，则点P是ABC的外心D．以(1,1),(2,3),(5,1),(6,1)−为顶点

的四边形是一个矩形12．如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，1APAB==，则（）A．异面直线PB，AC所成的角为60B．三棱锥DPBC−的体积为16C．直线PD与平面PAC所成的角为30°D．平

面PBD与平面PAB所成的角为30°三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若复数()izaa=+R与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，则a=_______．14．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B=，223acac+=，则b=________．15

．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.16．在如图所示四边形ABCD中，ADDC=，53AC=，322BC=，120ADC=，75BCD=，则四边形ABCD的面积为________.四、解答题（本大题共20分）17

．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，//AFDE，DEAD⊥.（1）求证：ADCE⊥；（2）求证：//BF平面CDE．高一数学周测（大竹林，6.27）参考答案1．C【分析】根据

复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.【详解】复数()()()()552553222iiiiiii−+−==−−−+所以z的虚部为1−，故选：C.2．D【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．

【详解】解：因为(2,4)a=−，(6,12)b=−，所以3ba=−，对于A，因为3ba=−，所以3ba=，故A正确；对于B，因为3ba=−，故ab，故B正确；对于C，因为3ba=−，所以b与a的夹角为180°，故C正确；对于D，a在b

方向上的投影为：||cosaa，222(4)25b=−+−=−，故D错误.故选：D.3．A【分析】由题知()2,1abm−=−−，进而根据题意得以()0aab−且a与ab−的不共线，解得23m−且35m，再结合集合关系判断即可得答案.【详解】由题知()2,1ab

m−=−−,因为向量a与ab−的夹角为钝角,所以()0aab−且a与ab−的不共线,所以260mm−+−且()312mm−−,解得23m−且35m因为332,,355m−是()2,3m−的真子集,所以p是q的充分不必要条件,故选:A【点睛】结论点睛：本

题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的

既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．4．D【分析】由三角形的面积公式和余弦定理结合已知条件可求出角A，再利用正弦定理可求得结果【详解】解：因为222cos2bcaAbc+−=，所以2222cosbcabcA+−=，因为1sin2SbcA=，2224Sbca=+−，所以14si

n2cos2bcAbcA=，所以sincosAA=，因为cos0A，所以1tanA=，因为(0,)A，所以4A=，设ABC外接圆的半径为R则由正弦定理得1122sin2sin42aRA====，得22R=,故选

：D5．A【分析】利用向量运算求得cosA，由此求得sinA，利用三角形的面积公式求得三角形ABC的面积.【详解】5,5ABAC==，3811cos5555ABACAABAC+===,()0,A，所以2112sin15555A=−=

，所以12551255ABCS==.故选：A6．A【分析】本题可设正方体的棱长为a，然后求出内切球的体积1V，最后求出外接球的体积2V，即可得出结果.7．C【分析】利用特例排除法，容易否定ABD,利用线面、面面垂直、平行的的关系可以断定C正确.【详解】选项A中，

也可能m；选项B中，m也有可能在内；选项D中，m与的关系不确定，故可排除A，B，D.由线面平行和垂直的判定与性质可以看出C正确.故选C.8．D【分析】本题首先可根据题意求出侧棱长均为2，然后根据三条侧棱两两垂直即可求出棱锥的体积.【详解】因为正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥

的底面边长为2，因为侧面都是直角三角形，所以侧棱长均为2，因为三条侧棱两两垂直，所以此棱锥的体积112222323V==，故选：D.9．BC【分析】根据线线、线面关系一一分析即可.【详解】对于A，直线//a平面，直线b

，则a与b的关系可以平行或者异面，故A错误；对于B，若aA=，则a与平面只有一个交点，即相交，a，故B正确；对于C，若a，则//a或a与相交，故C正确；对于D，若a，b，则b与平面可以相交且与a相交，故D错

误；故选：BC10．BCD【分析】根据分层抽样的性质判断A；计算出平均数、中位数、众数判断B；计算乙的方差判断C；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A项，乙、丙抽取的个体数分别为36,，则样本容量为36918++=，故A错误；对于B项，平均数为12334536+++

++=，中位数为3，众数为3，故B正确；对于C项，乙的平均数为56910575++++=，方差为()22222212221232555s=++++=，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D项，将该组数据总小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6

，由1085%8.5=，则该组数据的85%分位数为5，故D正确；故选：BCD11．ABD【分析】对A，由向量垂直的的运算法则可判断正确；对B，可结合线性运算作图快速判断正确；对C，结合重心性质可判断当0PAPBPC++=时，应为三角形中心，判断错误；对D，可设(1,

1),(2,3),(5,1),(6,1)ABCD−，可证ABADAC+=，可判断四边形为平行四边形，再证0ABAD=uuuruuur即可判断四边形为矩形【详解】对A，a是非零向量，bc，若abac=，即0−=abac，()0−=ab

c，即()abc⊥−，故A正确；对B，由非零向量a和b，满足||||||abab==−，如图所示：当向量,ab方向如图所示，夹角为120°时，刚好满足题设条件，则ab+为菱形的斜对角线所示方向，a与ab+的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为3

0°，故B正确；对C，当0PAPBPC++=时，P点为ABC的重心，故C错误；对D，可设(1,1),(2,3),(6,1),(5,1)ABCD−，则()()()1,24,25,0ABAD+=+−=，()5,0AC=，则四边

形ABCD为平行四边形，又()()1,24,2440ABAD=−=−=，故0ABAD=uuuruuur，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形可判断四边形ABCD为矩形，故D正确.故答案为：ABD.【点睛】本题考查平线向量的综合应用，向量垂直的判断，向量在几何关

系中的应用问题，属于中档题12．ABC【分析】取PD中点E并过E作PB的平行线得异面直线PB，AC夹角，再计算并判断A；用等体积法转化计算并判断B；证BD⊥平面PAC得线面角再计算并判断C；作出二面角A-PB-D的平面角，再计算并判断D.

【详解】四棱锥PABCD−的底面为正方形，令ACBDO=,则O是BD，AC的中点，如图：取PD中点E，连OE，则//OEPB，异面直线PB，AC所成的角为EOD或其补角，因PA⊥平面ABCD，1APAB==，则22OEODDE===，60EOD=，A正确

；三棱锥DPBC−的体积111113326DPBCPBCDBCDVVPAS−−====，B正确；连PO，因BD⊥AC，而BD⊥PA，即BD⊥平面PAC，PO是PD在平面PAC内射影，即DPO是直线PD现平面PAC所成角，1sin2DODPOPD==，即30DPO=，C正确

；取PB中点F，连AF，DF，则AF⊥PB，而2BDPD==，则DF⊥PB，即AFD是二面角A-PB-D的平面角，tan2ADAFDAF==，AFD不等于30，即D不正确.故选：ABC【点睛】思路点睛：作二面角

的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．13．【分析】利用数量积为0列方程，解方程求得a.【详解】zai=+对应坐标为()

,1a，zai=−对应坐标为(),1a−，依题意()()2,1,110aaa−=−=，解得1a=.故答案为：14．22【分析】由三角形面积公式可得4ac=，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac===，所以224,12acac=+=，所以2221

2cos122482bacacB=+−=−=，解得22b=（负值舍去）.故答案为：22.15．39【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303Vh==∴52h=∴2222513622lhr

=+=+=∴136392Srl===侧.故答案为：39.16．103【分析】由已知条件可得5ADDC==，6DCA=，4ACB=，应用三角形面积公式求ADCS△，ACBS△，即可求四边形ABCD的面积.【详解】由题意，知：52sin2ACADDCADC===，且

6DCA=，4ACB=，∴1sin2ADCSDCACDCA=，1sin2ACBSACBCACB=，∴四边形ABCD的面积1113225535310322222ADCACBSS+=+=.故答案为：10317．（1）见解析

；（2）见解析.【分析】（1）易证AD⊥平面CDE，从而AD⊥CE；（2）先证平面ABF∥平面CDE，可得BF∥平面CDE.【详解】证明：（1）因为矩形ABCD所以AD⊥CD又因为DE⊥AD，且CDDE=D，CD、DE平面C

DE所以AD⊥平面CDE又因为CE平面CDE所以AD⊥CE（2）因为AB∥CD，CD平面CDE，AB平面CDE所以AB∥平面CDE又因为AF∥DE，DE平面CDE，AF平面CDE所以AF∥平面CD

E又因为ABAF=A，AB、AF平面ABF所以平面ABF∥平面CDE又因为BF平面ABF所以BF∥平面CDE【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.