【文档说明】四川省泸州市合江县马街中学校2024届高三一诊模拟考试数学（文）试题 含解析.docx，共(19)页，1.224 MB，由小赞的店铺上传

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马街中学高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()ii1ixy+=+（x，yR，i为虚数单位

），复数izxy=+，则zz=（）A.2B.2C.23i+D.23i−+【答案】A【解析】【分析】对()ii1ixy+=+化简，可求出复数z，从而可求出zz【详解】由()ii1ixy+=+，得i1iyx+=−+．所以1,1xy==−因为izxy=+，所以1iz

=−，1iz=+，所以()()1i1i2zz=−+=．故选：A2.设集合|0Mxx=，1|282xNx=，R是实数集，则()RCMN=U（）A.{|3}xxB.|10xx−C.|10xxx−或D.|3xx【答

案】A【解析】【分析】先求出集合N，再求解并集和补集.【详解】因为1282x，所以13222x−，即13x−，{3}MNxx=，所以(){3}RMNxx=ð，故选A.【点睛】本题主要

考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pHlgH+=−，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸

中氢离子的浓度为22.510−摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：20.3010lg）A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602【答案】C【解析】【分析】根据对数运算以及pH的定义求得此时胃酸的pH值.【详解】依题意()22.5100lg2.510lglgl

g401002.5pH−=−=−==()lg410lg4lg102lg2120.301011.602==+=++=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.4.若2log0.2a=，0.2

2b=，0.2log0.3c=，则下列结论正确的是A.cbaB.bacC.abcD.bca【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数函数性质以及对数函数的性质，分别确定2log0.2a=，0.22b=，0.2log0.3c=的范围，从而可得结果.详解：

因为0.22log0.20,21,ab==0.20log0.31c=，所以bca，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),

0,0,1,1,−+）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.函数()41fxxx=+的图象为（）A.B.C.D.的【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.【详解】因为()f

x的定义域为{|0}xx，且()4411()()fxfxxxxx−===−+−+所以()fx为偶函数，可排除AB；又当0x时，()410fxxx=+，故C错误.故选：D6.已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合

，点()2,5P−是角终边上的一点，则cos2=（）A.2029B.2129C.2129−D.2029−【答案】C【解析】【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出cos，再利用二倍角余弦公式计算可

得.【详解】因为点()2,5P−是角终边上的一点()2222cos2925−==−−+，故2421cos22cos1212929=−=−=−，故选：C．【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础

题.7.在长方体1111ABCDABCD−中，直线1AC与平面11ABD的交点为,MO为线段11BD的中点，则下列结论错误的是（）A.,,AMO三点共线B.1,,,MOAB四点异不共面C.1,,,BBOM四点共面D.1,,,BDCM四点共面【答案】C【解析】【分析】由长方体性质易知11,,,AAC

C四点共面且1,OMBB是异面直线,再根据M与1AC、面11ACCA、面11ABD的位置关系知M在面11ACCA与面11ABD的交线上,同理判断OA、,即可判断各选项的正误.【详解】因为11//AACC,则11,,,AACC四点共面.因为1MAC,则M平面11

ACCA,又M平面11ABD,则点M在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,同理,OA、也在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,所以,,AMO三点共线;从而1,,,MOAA四点共面,都在平面11ACCA内，而点B不在平面11ACCA内，所以1,,,MOAB四点不共面，故选项B正确

；1,,,BBO三点均在平面11BBDD内，而点A不在平面11BBDD内，所以直线AO与平面11BBDD相交且点O是交点，所以点M不在平面11BBDD内，即1,,,BBOM四点不共面，故选项C错误；11B

CDA，且11=BCDA，所以11BCDA为平行四边形，所以11,CABD共面，所以1,,,BDCM四点共面，故选项D正确.故选:C.8.已知()fx是定义在R上的偶函数，且()fx在)0,+上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A.(

)()25ff−B.()()50ff−C.()()20ff−D.()()52ff−【答案】D【解析】【分析】由()fx是R上的偶函数，得()()55ff−=，()()22ff−=，再根据()fx在)0,+上是增函数可逐项判断得出答案.【详解】因为

()fx是R上的偶函数，所以()()55ff=−，()()22ff−=，且()fx在)0,+上是增函数，因为()()()255fff=−，所以A错误；因为()()()550fff−=，所以B错误；因为()()()220fff−=，所以C错误；因为()()()552fff−=，所以D正

确.故选：D.【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函

数值大小，由此得到结果.9.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的图象如图所示，图象与x轴的交点为5,02M，与y轴的交点为N，最高点()1,PA，且满足NMNP⊥，则A=（）A.102B.10C.25D.10【答案】B【解析】

【分析】由题意()fx的周期6T=可得π3=，由()fx图象与x轴的交点为5,02M可得π6=，从而π()sin3π6fxAx=+，所以()fx与y轴的交点0,2AN

，由0NMNP=解得A.【详解】若()fx的周期为T，由题意有531422MPTxx=−=−=，所以6T=，所以2ππ63==，()fx图象与x轴的交点为5,02M，则)π5π(32kk+=Z，因为π||2，所以π

6=，即π()sin3π6fxAx=+，所以()fx与y轴的交点0,2AN，由NMNP⊥，则NMNP=255,1,022224AAA−=−=，解得10A=或10A=−(舍)．故选：B.10.若函数()329fxx

ax=+−在2x=−处取得极值，则=a（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由()fx在2x=−时取得极值，求出()fx得(2)0f−=，解出a的值．【详解】解：32()9fxxa

x=+−，2()32fxxax=+；又()fx在2x=−时取得极值，(2)1240fa−=−=；3a=．故选：B．【点睛】本题考查了应用导数求函数极值问题，是基础题．11.在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，BABC=，90ABC=，2PA=，若三棱锥−PABC的体积为

6，则三棱锥−PABC外接球的表面积为（）A.18B.24C.36D.40【答案】D【解析】【分析】PA⊥平面ABC，则有PAAC⊥，PABC⊥，然后由ABBC⊥得线面垂直后得PBBC⊥，从而可得PC就是外接球直径，再由体积

计算出PC长后可得球表面积．【详解】∵PA⊥平面ABC，∴PAAC⊥，PABC⊥，又BCAB⊥，PAABA=，∴BC⊥平面PAB，∴BCPB⊥，PC中点到四个点,,,PABC的距离相等，即PC为三棱锥−PABC外接球的直径．12633P

ABCABCABCVPASS−===△△，9ABCS=，又,90BAACABC==，∴2192ABCSBA==△，32BA=，∴3226AC==，2240PCPAAC=+=，∴所求外接球表面积为224402PCSPC=

==．故选：D.【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的．12.已知0，函数()sin()4fxx=+在(,)2上单调递减，则的取值范围是（）A.15[,]24B.13

[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A【解析】【详解】由题意可得,322,22442kkkZ++++，1542,24kkkZ++，的0，1524

．故A正确．考点：三角函数单调性．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.221log12log92−=______.【答案】2；【解析】【分析】根据对数的运算性质求值即可.【详解】222222211log12log9log3

4)log32log3log3222(−=−=+−=，故答案为：214.曲线()3fxxx=−在点（2，6）处的切线方程为_______．【答案】11160xy−−=【解析】【分析】求出()fx，()2f即可.【详解】因为()3fxxx=−，所以()231

fxx=−，()211f=所以切线方程为()6112yx−=−，即11160xy−−=故答案为：11160xy−−=15.已知奇函数()fx为R上的减函数，若()()23210fafa+−，则实数a的取

值范围是__________．【答案】11,3−【解析】【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a的不等式求解二次不等式即可确定实数a的取值范围.详解：不等式()()23210fa

fa+−即：()()2321fafa−−，函数为奇函数，则不等式等价于()()2321fafa−+，函数在R上单调递减，脱去f符号有：2321aa−+，即：23210aa+−，()()11310,13aaa+−−，故答案为：11,3−.点睛：对于求值或范围的问

题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．16.在ABC中，已知角2π3A=，角A

的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.【答案】642+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2ABcACbBCaAD====，依题意AD是角A的角平分线，由三角形

的面积公式得1π1π12π2sin2sinsin232323cbbc+=，化简得22cbbc+=，1112bc+=，()112222223cbABACcbcbbcbc+=+=++=++2232642cbbc+=+.当且仅当2,2cb

cbbc==，2222,22,222bbbbbc+==+=+时等号成立.故答案为：642+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()sin

3cos(0)fxxx=+，()fx图像的相邻两对称轴之间的距离为2．（1）求的值；（2）若2()3f=，求5sin46−的值．【答案】（1）2=；（2）79−【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和即可．（2）利用换元法，结合三角

函数的倍角公式进行转化即可．【详解】（1）13()2(sincos)2sin()223fxxxx=+=+，()fx图象的相邻两对称轴之间的距离为2，22T=，即2T==，得2=．（2）2=Q，()2sin(2)3fx

x=+，2()3f=，22sin(2)33+=，得1sin(2)33+=，设23=+，则1sin3=，且23=−，55523sin(4)sin[2()]sin(2)sin(2)6

63632−=−−=−+=−sin(2)cos22=−−=−217(12sin)1299=−−=−+=−18.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且()()sinsin2sinbBaAbcAB−=−+.（1）求A的大小；

（2）过点C作CDBA∥，在梯形ABCD中，4BC=，33CD=，120ABC=，求AD的长.【答案】（1）45（2）15【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得22(2)babcc−=−，利用余弦定理计

算即可得出结果.（2）BCD△中，由正弦定理求得26AC=，在ACD中，由余弦定理2222cosADACCDACCDACD=+−计算即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：22(2)babcc−=−，即2222bcabc+−=，所以

2222cos22bcaAbc+−==，又0180A,所以45A=.【小问2详解】在BCD△中，由正弦定理得sinsinBCACBACABC=，因为445,120BCBACABC===，，所以26AC=.在ACD中，由余弦定理可得，222222cos(2

6)(33)22633cos4515ADACCDACCDACD=+−=+−=所以15AD=.在19.已知函数()32215333fxxaxax=−++−．(1)若1a=−时，求()fx在区间[4

,2]−上的最大值与最小值；(2)若函数()fx仅有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)最大值为0，最小值为323−；(2)35(1)3−，．【解析】【分析】(1)求导，并判断()fx在[4,2]−上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨

论判断()fx在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a的取值范围.【详解】(1)由题意得()()()22'233fxxaxaxaxa=−++=−−+．当1a=−时，()(1)(3)fxxx−=−+，[4,2]x−．由()0fx

，解得31x−；由()0fx，解得43x−−或12x．∴函数()fx在区间(3,1)−上单调递增，在区间[4,3)−−，(1,2]单调递减．又2532(4)(3)33ff−=−−=−，，()()71023ff==−，，∴函数()fx在区间[4,2]−上的最大值为

0，最小值为323−．(2)函数()fx只有一个零点．∵22()23=(3)()fxxaxaxaxa=−++−−+，i)当a<0时，由()0fx，解得3axa−，∴函数()fx在区间(3,)aa−

上单调递增；由()0fx，解得3xa或xa−，∴函数()fx在区间(,3)a−，(,)a−+上单调递减．又5(0)03f=−，∴只需要()0fa−，解得10a−．∴实数a的取值范围为10a−．ii)

当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立．iii)当a>0时，由()0fx，解得3axa−，即()fx在区间(,3)aa−上单调递增；由()0fx，解得xa−或3xa，即函数f(x)在区间(

,)a−−，(3,)a+上单调递减；又5(0)03f=−，∴只需要f(3a)<0，解得3503a．综上：实数a的取值范围是35(1)3−，．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常

有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.20.如图所示，ABC等边三角形，//DEAC，//DFBC，面ACDE⊥面ABC，22ACCDADDEDF=====．（1）求证：EFBC⊥；

（2）求四面体FABC的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得3EF=，根据勾股定理的逆定理得EFDF⊥，结合//DFBC即可得出结果.的是(2)由面面垂直的性质定理得DO⊥平面ABC，且3DO=，根据线线平行得出平面/

/DEF平面ABC，进而得到F与D到底面ABC的距离相等，结合棱锥体积公式即可.【详解】（1）证明：//DEAC，//DFBC，又ABC是等边三角形，60EDFACB==，又22ACDEBCDF====，在EDF中，由余弦定理可得，2

221212cos603EF=+−=，222EFDFDE+=，故EFDF⊥，又//DFBC，EFBC⊥；（2）解：取AC的中点O，连接DO，由ADDC=，得DOAC⊥，又平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE

平面ABCAC=，DO⊥平面ABC，且求得22213DO=−=．由//DEAC，DF平面,ABCBC平面ABC，可得//DF平面ABC，则F与D到底面ABC的距离相等，则四面体FABC的体积113223132

2V==．【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；(2)求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧

面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21.已知函数()ln1fxaxax=++.（1）当1a=时，求()fx的图像在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若不等式()exfxx恒成立，求a的取值集合

.【答案】（1）y=2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()eln1xgxxaxax=−−−，将问题转化成求()gx的最小值，通过对a进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出

单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a=时，()ln1fxxx=++，所以(1)2f=，又()11fxx=+，所以()11121f=+=，故()fx的图像在点(1,(1))f处的切线方程为2(1)2yx=−+，即2yx=.【小问2详解】解

法一：因为()exfxx恒成立，eln10xxaxax−−−恒成立，令函数()eln1xgxxaxax=−−−，则()()1ee(1)e(1)(e)xxxxaxaagxxaxxxxx+=+−−=+−=+−①当0a时，()()1(e)0xagxxx=+−

在区间(0,)+恒成立，此时g(x)在区间(0,)+单调递增，又11221111()eln21(e2)(ln2)22222agaa=+−−=−+−，易知12e2,1ln22，所以1()02g，故0

a不合题意，②当0a时，由()()1e0xagxxx=+−=，可得e0xax−=，即e0xxa−=令()exhxx=，则()()ee1e0xxxhxxx=+=+在区间(0,)+上恒成立所以()exhxx=在区间(0,)+上单调递增，又因为()0

0h=，所以存在0(0,)x+，使得00exxa=，两边同时取对数可得00lnlnxxa+=，则当0(0,)xx时，exxa，即()0gx，当0(,)xx+时，exxa，即()0gx，所以当0xx=时，()0000mineln1ln1xgxxaxaxaa

a=−−−=−−，故要使()0gx恒成立，只需ln10−−aaa，令()ln1aaaa=−−，则()11lnlnaaaaa=−−=−，由()0a，得到01a，由()0a，得到1a，所以()a在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+上单调递减，()()10a

=，即()ln10aaaa=−−，所以ln10−−aaa只有唯一解，即1a=.综上，a的取值集合为1.解法二：由题意可得()elne10xxxax−−恒成立，令()extxx=，则()()ee1e0xxxtxxx=+=+在区间(0,)+上恒成立，所以()ex

txx=在区间(0,)+上单调递增，又因为()00t=，所以()e0xtxx=，所以()elne10xxxax−−恒成立，即ln10tat−−在区间(0,)+上恒成立，令()ln1gttat=−−，又因为(

1)0g=，要使()0gt恒成立，则1t=是()gt的极小值点，又因为()1agtt=−，所以()110ga=−=，解得1a=.当1a=时，令()ln1ln1gttattt=−−=−−，11()1tgttt−=−=，所以(0,1)t时，()

0gt，()1,t+时，()0gt，所以()(1)1ln110gtg=−−=，满足题意.综上，a的取值集合为1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0gx

，然后由导数求得()gx的最小值min()gx，解不等式min()0gx即可得参数范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程

）22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C的极坐标方程为2cos=，倾斜角为的直线l过点0M，点0M的极坐标为π(2,)3.（1）求曲线1C的普通方程和直线l的参数方

程.（2）若l与1C交于A，B两点，且点B为0AM的中点，求AB【答案】（1）222xyx+=，1cos3sinxtyt=+=+（t为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化

公式求解即得1C的普通方程，求出点0M的直角坐标，按条件写出l的参数方程作答.（2）将l的参数方程代入1C的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】曲线1C：22cos=，把222cosxx

y==+代入得1C的普通方程：222xyx+=，因点0M的极坐标为π(2,)3，则点0M的直角坐标是(1,3)，而直线l的倾斜角为所以直线l的参数方程为：1cos3sinxtyt=+=+（t为参数）.【小问2详解】把直线l的参数方程1cos

3sinxtyt=+=+代入曲线1C的普通方程22(1)1xy−+=得：22(cos)(3sin)1tt++=，整理得：223sin20tt++=，212sin80=−，即6sin3，令点A，B所对参数分别为12,t

t，则有122tt=，因点B为0AM的中点，即有212tt=，于是得2||1t=，所以122||||1ABttt=−==.（选修4-5不等式选讲）23.设函数()4fxxxa=+−，其中Ra.（1）当6a=时，

求曲线()yfx=与直线480xy−+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2fx<的解集是(,3)−−，求a的值.【答案】（1）64（2）17−【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6xxfxxx−=+，进而分别求解相应

的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分xa和xa两种情况求解得()2fx<的解集为2{|}5axx+，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a=时，()56,64636,6xxfx

xxxx−=+−=+，所以，()624f=，设(6,24)C；直线480xy−+=与36yx=+交于点(2,0)A−，与直线56yx=−交于点(14,64)B，且1617AB=，点(6,24)C到直线480

xy−+=的距离817d=，所以，要求图形的面积1642SABd==；【小问2详解】解：当xa时，()5fxxa=−，()2fx<，即52xa−，解可得25ax+，此时有25aax+，当xa时，()3fxxa=+，()2fx<，即32xa+，解

可得23ax−，又由a<0，则23aa−，此时有xa，综合可得：不等式的解集为2{|}5axx+，因为不等式()2fx<的解集是(,3)−−所以，235a+=−，解可得17a=−；所以，17a=−.获得更多资源请扫码加入享学资源

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