【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）综合测试卷：高二上学期期末复习（基础篇） Word版含解析.docx，共(13)页，122.668 KB，由小赞的店铺上传

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高二上学期期末复习综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·山东东营·高二期末）经过点(1,0)，倾斜角为150°的直线方程是（）A．𝑦=−√3𝑥+1B．𝑦=−√33𝑥+1C．𝑦=−√33𝑥+√33D．�

�=−√33𝑥−√33【解题思路】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【解答过程】由倾斜角为150°可得，直线斜率为𝑘=tan150∘=−√33由直线的点斜式方程得直线方程为𝑦−0=−√33(𝑥−1)；即

𝑦=−√33𝑥+√33.故选：C.2．（5分）（2022春·湖北荆州·高二期末）若方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑎+6=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆,则实数𝑎的取值范围是（）A．𝑎>3B．𝑎<−2C．𝑎>3或𝑎<−2D．

−2<𝑎<0或0<𝑎<3【解题思路】根据椭圆焦点在𝑦轴上,可得𝑎2<𝑎+6,𝑎2≠0,解出范围即可.【解答过程】解:由题知𝑥2𝑎2+𝑦2𝑎+6=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆,则有:{𝑎2<𝑎+6

𝑎2≠0,解得:−2<𝑎<0或0<𝑎<3.故选:D.3．（5分）已知空间向量𝑎⃗=(−1,2,𝑥)，𝑏⃗⃗=(3,−6,−3)，且𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，则𝑥=（）A．9B．−1C．1D．−9【解题思路】根据空间向量共线的充

要条件即可求解.【解答过程】因为空间向量𝑎⃗=(−1,2,𝑥)，𝑏⃗⃗=(3,−6,−3)，且𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，所以−13=2−6=𝑥−3，解得：𝑥=1，故选：C.4．（5分）已知三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶中，点M，N分别为AB，OC的中点，

且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，则𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．12(𝑏⃗⃗+𝑐⃗−𝑎⃗)B．12(𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗)C．12(𝑎⃗−𝑏⃗⃗+𝑐⃗)D．12(𝑎⃗+𝑏⃗⃗−𝑐⃗)

【解题思路】利用空间向量线性运算计算即可.【解答过程】𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑁𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=12(𝑎⃗+𝑏⃗⃗−𝑐⃗).故选：D.5．（5分）（2022春·江苏南京·高三期末）若等差数列{𝑎𝑛}的前5项和为75，𝑎4=2𝑎2，则𝑎9=（）A．40B．45C．50D．55【解题思路】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，根据等差数列前𝑛项和与基本量𝑎1和

𝑑的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【解答过程】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，根据题意可得{5𝑎1+5×42𝑑=75𝑎1+3𝑑=2(𝑎1+𝑑)，解得𝑎1=5，𝑑=5，∴𝑎9=𝑎1+

8𝑑=45.故选：B.6．（5分）（2022·全国·高二假期作业）已知𝑓(𝑥)=sin2𝑥+tan𝑥+1，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(π4,𝑓(π4))处的切线方程为（）A．2𝑥+𝑦+6−π=0B．

2𝑥−𝑦+3−π=0C．4𝑥−2𝑦+6−π=0D．4𝑥−2𝑦+6+π=0【解题思路】根据导数几何意义可求得切线斜率𝑓′(π4)，结合𝑓(π4)=3可求得切线方程.【解答过程】∵𝑓′(𝑥)=2cos2𝑥+1cos2𝑥，∴𝑓′(π4)=2cosπ2+1c

os2π4=2，又𝑓(π4)=sinπ2+tanπ4+1=3，∴所求切线方程为：𝑦−3=2(𝑥−π4)，即4𝑥−2𝑦+6−π=0.故选：C.7．（5分）（2022春·江西宜春·高三阶段练习）已知过点𝑀(2,1)的

直线l与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−6𝑦+5=0相切，则直线l的方程为（）A．2𝑥+𝑦−5=0B．𝑥−2𝑦−5=0C．𝑥−2𝑦=0D．𝑥=2或2𝑥+𝑦−5=0【解题思路】根据点与圆的位置关系，结合圆切线的性质进行求解即可.【解答过程】由题知圆𝐶:(𝑥−1)2+

(𝑦−3)2=5，因为(2−1)2+(1−3)2=5，所以点M在圆C上.因为𝑘𝑀𝐶=3−11−2=−2，所以直线l的斜率𝑘=12，所以直线l的方程为𝑦−1=12(𝑥−2)，即𝑥−2𝑦=0，故选：C.8．（5分）（2022春·北京·高三阶段练习）下列关于函数𝑓(𝑥

)=(2𝑥−𝑥2)e𝑥的判断正确的是（）①𝑓(𝑥)>0的解集是{𝑥|0<𝑥<2}；②𝑓(−√2)是极小值，𝑓(√2)是极大值；③𝑓(𝑥)没有最小值，也没有最大值；④𝑓(𝑥)有最大值，没有最小值.A．①③B．①②③C．②④D．①②④【解题思路】令𝑓(𝑥)>0可解

x的范围确定①正确；对函数𝑓(𝑥)进行求导，利用导数判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性结合最值的定义分析判断③、④的正误，从而得到答案．【解答过程】对①：∵e𝑥>0，若𝑓(𝑥)>0，则2𝑥−𝑥2>0，解得0<𝑥<2，∴𝑓(𝑥)>0的解集是{�

�|0<𝑥<2}，①正确；对②：又∵𝑓′(𝑥)=(2−𝑥2)e𝑥，令𝑓′(𝑥)>0，则2−𝑥2>0，解得−√2<𝑥<√2，∴𝑓(𝑥)在(−∞,−√2),(√2,+∞)上单调递减，在(−√2

,√2)上单调递增，则𝑓(−√2)是极小值，𝑓(√2)是极大值，②正确；对③④：∵𝑓(−√2)=−2(1+√2)e−√2,𝑓(4)=−8e4，则𝑓(−√2)>𝑓(4)，∴当𝑥>4时，𝑓(𝑥)在(4,+∞)上单调递减，则𝑓(𝑥)<𝑓(4)<𝑓(−√2)，故𝑓(𝑥)

无最小值；又∵𝑓(√2)=2(√2−1)e√2>0，当𝑥∈(−∞,0)∪(2,+∞)时，则𝑓(𝑥)<0<𝑓(√2)；当𝑥∈[0,2]时，𝑓(𝑥)在[0,√2]上单调递增，在(√2,2]上单调递减，则𝑓(�

�)≤𝑓(√2)；综上所述：对∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)≤𝑓(√2)，即𝑓(√2)为𝑓(𝑥)的最大值；故③错误，④正确；故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二期末）下列求导运算错误的是（）A．(𝑥+3𝑥)′=1+3𝑥2

B．(log2𝑥)′=1𝑥ln2C．(3𝑥)′=3𝑥ln𝑥D．(𝑥2cos𝑥)′=−2𝑥sin𝑥【解题思路】利用导数的运算法则进行计算即可判断.【解答过程】对于A，(𝑥+3𝑥)′=1−3𝑥2，故选项A错误；对于B，(log2𝑥)′=1𝑥ln2，

故选项B正确；对于C，(3𝑥)′=3𝑥ln3，故选项C错误；对于D，(𝑥2cos𝑥)′=2𝑥cos𝑥−𝑥2sin𝑥，故选项D错误，所以导数运算错误的是：ACD，故选：ACD.10．（5分）（2022春·高二校考期末）已知数

列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，下列说法正确的（）A．若𝑆𝑛=𝑛2+1，则{𝑎𝑛}是等差数列B．若𝑆𝑛=3𝑛−1，则{𝑎𝑛}是等比数列C．若{𝑎𝑛}是等差数列，则𝑆9=9𝑎5D．若{𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1>0,𝑞>0，则𝑆1⋅𝑆3>𝑆2

2【解题思路】对于A，求出𝑎1，𝑎2,𝑎3即可判断；对于B，利用𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1求出通项公式，再验证是否满足𝑎1=2，即可判断；对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；对于D，当𝑞=1时，可得𝑆1⋅𝑆3−𝑆22=−𝑎12<0，即可判断．【解答过

程】解：对于A，若𝑆𝑛=𝑛2+1，则𝑎1=𝑆1=2，𝑎2=𝑆2−𝑆1=3，𝑎3=𝑆3−𝑆2=5，则{𝑎𝑛}不是等差数列，A错误；对于B，若𝑆𝑛=3𝑛−1，则𝑎1=𝑆1=2，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=3𝑛−1−(3𝑛

−1−1)=2×3𝑛−1，满足𝑎1=2，所以𝑎𝑛=2×3𝑛−1，则{𝑎𝑛}是等比数列，B正确；对于C，{𝑎𝑛}是等差数列，则𝑆9=9(𝑎1+𝑎9)2=9𝑎5，C正确；对于D，若{𝑎𝑛}是等比数列

，当𝑞=1时，则𝑆1⋅𝑆3−𝑆22=3𝑎12−4𝑎12=−𝑎12<0，D错误.故选：BC．11．（5分）（2023春·广东江门·高二期中）已知椭圆𝐶:𝑥225+𝑦29=1，𝐹1，𝐹2分别为它的左右焦点，𝐴,𝐵分别为它的左右顶点，点𝑃是椭圆上的一个动点，下列结论

中正确的有（）A．短轴长是3B．△𝐹1𝑃𝐹2的周长为15C．离心率𝑒=45D．若∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，则△𝐹1𝑃𝐹2的面积为9【解题思路】根据短轴长2𝑏的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率𝑒=𝑐𝑎来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出

|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|可判断D.【解答过程】A，由𝑥225+𝑦29=1，可得𝑎=5，𝑏=3,𝑐=4，所以椭圆𝐶的短轴长为2𝑏=6，故A不正确；B，△𝐹1𝑃𝐹2的周长为|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|

+|𝐹1𝐹2|=2𝑎+2𝑐=18，故B不正确.C，离心率𝑒=𝑐𝑎=45，故C正确；D，∵∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，∴|𝑃𝐹1|+⬚2|𝑃𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2=64，又因为|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=10，所以(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2

|)2=100，即∴|𝑃𝐹1|+⬚2|𝑃𝐹2|2+2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=100，解得|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=18,所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=9，故D正确.

故选：CD.12．（5分）已知向量𝑎⃗=(−2,−1,3),𝑏⃗⃗=(1,−3,2),𝑑⃗=(2,1,𝑥),则下列命题中，正确的是（）A．若𝑎⃗⊥𝑐⃗，𝑏⃗⃗⊥𝑐⃗，|𝑐⃗|=√3，则𝑐⃗=(1,1,1)B．以𝑎⃗，𝑏⃗⃗为邻边的平行四边形的面积是7√3C．

若𝑥<53，则𝑎⃗，𝑑⃗之间的夹角为钝角D．若𝑥>53，则𝑎⃗，𝑑⃗之间的夹角为锐角【解题思路】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.【解答过程】选项A，

设𝑐⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，由𝑎⃗⊥𝑐⃗，𝑏⃗⃗⊥𝑐⃗，得{−2𝑎−𝑏+3𝑐=0𝑎−3𝑏+2𝑐=0，化简得𝑎=𝑏=𝑐，因为|𝑐⃗|=√3，所以𝑐⃗=(1,1,1)或𝑐⃗=(−1,−1,−1)，即A错误；选项B，由𝑎⃗=(

−2,−1,3)，𝑏⃗⃗=(1,−3,2)，知𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−2+3+6=7，|𝑎⃗|=√10，|𝑏⃗⃗|=√14，所以cos⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗||𝑏⃗⃗|=7√14×√14=12，即⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=

π3，所以sin⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=√32，所以以𝑎⃗，𝑏⃗⃗为邻边的平行四边形的面积𝑆=|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗⃗|sin⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=14×√32=7√3，即B正确；选项C，若𝑥=−3，则𝑑⃗=(

2,1,−3)=−(−2,−1,3)=−𝑎⃗，即𝑎⃗，𝑑⃗共线反向，故C错误；选项D，若𝑥>53，则𝑎⃗⋅𝑑⃗=−4−1+3𝑥=−5+3𝑥>0，此时𝑎⃗，𝑑⃗之间的夹角为锐角，故D正确，故选:BD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知直线x+my+m

-2=0在两坐标轴上的截距相等，则实数m的值为2或1.【解题思路】分别求出直线在两坐标轴上的截距，列等式求解.【解答过程】由题意可知𝑚=0时不符合题意，所以𝑚≠0.令𝑥=0，有𝑦=2−𝑚𝑚，令𝑦=0，有𝑥=2−𝑚，因为直线在两坐标轴上的截距相等，所

以2−𝑚𝑚=2−𝑚，解得𝑚=1或𝑚=2.故答案为：2或1．14．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=12，且𝑎𝑛+1=1+𝑎𝑛1−𝑎𝑛(𝑛∈N∗)，则𝑎20=−13.【解题

思路】利用数列的周期性变化的特点求解.【解答过程】由题意，𝑎1=12，𝑎2=1+𝑎11−𝑎1=3，𝑎3=1+𝑎21−𝑎2=−2，𝑎4=1+𝑎31−𝑎3=−13，𝑎5=1+𝑎41−𝑎4=12=𝑎1，所以{𝑎𝑛}是周期为4的周期数列，故𝑎20=𝑎

4=−13.故答案为:−13.15．（5分）（2022春·湖北襄阳·高二阶段练习）已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1),𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,2),𝐵𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷，则𝐴𝐵与平面𝐵𝐶𝐷所

成角为π4．【解题思路】先由题意可知平面𝐵𝐶𝐷的一个法向量为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得𝐴𝐵与平面𝐵𝐶𝐷所成角.【解答过程】因为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,2),𝐵𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷，所以平面𝐵�

�𝐷的一个法向量为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)，设𝐴𝐵与平面𝐵𝐶𝐷所成角为𝜃，则0≤𝜃≤π2，所以cos𝜃=|cos⟨𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩|

=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|−1−2|√1+1×√4+1+4=√22，因为0≤𝜃≤π2，所以𝜃=π4.故答案为：π4.16．（5分）（2022秋·上海金山·高二期末）如图是函数𝑦=𝑓(𝑥

)的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象：①函数𝑓(𝑥)在区间(1,3)上严格递减；②𝑓(1)<𝑓(2)；③函数𝑓(𝑥)在𝑥=1处取极大值；④函数𝑓(𝑥)在区间(−2,5)内有两个极小值点．则

上述说法正确的是②④.【解题思路】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.【解答过程】由导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象可知：函数𝑓(𝑥)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，故𝑓(1)<𝑓(2)

，故①错误，②正确；由导函数的图象可知：𝑓(𝑥)在(−1,2)上均单调递增，故𝑥=1不是函数的极大值点，③错误；由导函数图象可得：在区间(−2,5)内有𝑓′(−1)=𝑓′(4)=0，且在(−2,−1)与(3,4)上

导函数小于0，在(−1,0)和(4,5)上导函数大于0，故𝑥=−1和𝑥=4为函数的两个极小值点，故在区间(−2,5)内有两个极小值点，④正确.故答案为：②④.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·广东江门·高二期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以

直线𝑦=±√2𝑥为渐近线，焦点是(−3,0)，(3,0)的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．【解题思路】（1）由题意设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0，𝑏>0)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出

𝑎，𝑏即可；（2）分椭圆的焦点在𝑥轴时和𝑦轴时讨论求解即可.【解答过程】（1）解：由题意设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由焦点坐标可知𝑐=3，双曲线的渐近线方程为𝑦=±√2𝑥，可得𝑏𝑎=√2，

又𝑎2+𝑏2=𝑐2，解得𝑎=√3，𝑏=√6，所以双曲线的方程为𝑥23−𝑦26=1.（2）解：当焦点在𝑥轴时，设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，由题可得{𝑐𝑎=452𝑏=6𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=5，𝑏=3，所以椭圆方程为�

�225+𝑦29=1；当焦点在𝑦轴时，设椭圆方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，由题可得{𝑐𝑎=452𝑏=6𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=5，𝑏=3，所以椭圆方程为𝑦225+𝑥29=1；所以，所求椭圆方程为𝑥2

25+𝑦29=1或𝑦225+𝑥29=1.18．（12分）（2022春·浙江杭州·高二期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，点P满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．

(1)用向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2)求|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|．【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=(14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗⃗)2，再开方即可求解【解答过程】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，点P满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34(𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34×23𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12×12(𝑂𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗．（2）因为四面体𝑂𝐴𝐵𝐶是正四面体，则|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×1×12=12，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=

(14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=116(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=116(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗⃗2+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=116(1+1+1+2×12+

2×12+2×12)=616，所以|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√64．19．（12分）（2022春·北京·高二期末）已知光线经过已知直线𝑙1:3𝑥−𝑦+7=0和𝑙2:2𝑥+𝑦+3=0的交点M，且射到x轴上一点�

�(1,0)后被x轴反射．(1)求反射光线所在的直线𝑙3的方程．(2)求与𝑙3距离为√10的直线方程．【解题思路】（1）由题可得𝑀(−2,1)，进而可得𝑘𝑀𝑁=−13，然后结合条件及直线的点斜式

即得；（2）根据平行线间距离公式即得.【解答过程】（1）由{3𝑥−𝑦+7=02𝑥+𝑦+3=0，可得{𝑥=−2𝑦=1，即𝑀(−2,1)，又𝑁(1,0)，所以𝑘𝑀𝑁=1−0−2−1=−13，所以反射光线所在的直

线𝑙3的斜率为13，故反射光线所在的直线𝑙3的方程𝑦=13(𝑥−1)，即𝑥−3𝑦−1=0；（2）由题可设所求直线方程为𝑥−3𝑦+𝑐=0，则|𝑐+1|√12+(−3)2=√10，解得𝑐=9或𝑐=−1

1，所以与𝑙3距离为√10的直线方程为𝑥−3𝑦+9=0或𝑥−3𝑦−11=0.20．（12分）（2022春·陕西渭南·高二期末）已知{𝑎𝑛}是等差数列，{𝑏𝑛}是首项为1、公比为3的等比数列，且𝑎1=𝑏1，𝑎14=𝑏4．(1)求{

𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑐𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前n项和．【解题思路】（1）由题意可知𝑏𝑛=3𝑛−1，分别求出𝑎1和𝑎14，可求公差d，根据{𝑎𝑛}是等差数列写出通项公式即

可；（2）由𝑐𝑛=2𝑛−1+3𝑛−1，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可.【解答过程】（1）依题意，知𝑏𝑛=3𝑛−1，则𝑎1=𝑏1=31−1=1，𝑎14=𝑏4=34−1=27，设{𝑎𝑛}的公差为d，则𝑎14=1+13𝑑

=27⇒𝑑=2，∴𝑎𝑛=1+2(𝑛−1)=2𝑛−1．（2）由（1）知，𝑎𝑛=2𝑛−1，𝑏𝑛=3𝑛−1，∴𝑐𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛=2𝑛−1+3𝑛−1，设{𝑐𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，则𝑇𝑛=𝑐1+𝑐

2+𝑐3+⋯+𝑐𝑛=1+1+3+3+5+9+⋯+2𝑛−1+3𝑛−1=(1+3+5+⋯+2𝑛−1)+(1+3+9+⋯+3𝑛−1)=𝑛(1+2𝑛−1)2+1−3𝑛−1⋅31−3=𝑛2+3𝑛−12．21．（

12分）（2022春·湖北荆州·高二期末）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+2=0和直线𝑙:𝑎𝑥+𝑦−1−𝑎=0.(1)判断直线𝑙与圆𝐶的位置关系；(2)求直线𝑙被圆𝐶截得的最短弦长及此时直线𝑙的方程.【解题思路】（1）根

据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果；（2）当当直线𝑙⊥𝐶𝑀时，直线𝑙被圆𝐶截得的弦长最短，结合弦长公式即可得到最短弦长及直线𝑙的方程.【解答过程】（1）因为直线𝑙:𝑎𝑥+𝑦−1−𝑎=0，即𝑎

(𝑥−1)+𝑦−1=0恒过定点𝑀(1,1)又因为圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+2=0，即(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=3即圆心𝐶(1,2)，半径为𝑟=√3因为|𝐶𝑀|=√(1−1)2+(2−1)2=1<√3所以点𝑀在圆内，即直线𝑙与圆

𝐶相交.（2）当直线𝑙⊥𝐶𝑀时，直线𝑙被圆𝐶截得的弦长最短，此时可得弦长的一半为√𝑟2−|𝐶𝑀|2=√3−1=√2即最短弦长为2√2又因为点𝑀,𝐶横坐标相同，故直线𝑀𝐶⊥𝑥轴，则直线

𝑙的斜率为0，所以直线𝑙的方程为𝑦=1.22．（12分）（2022春·陕西西安·高二期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+6ln𝑥，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数．(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓

(1))处的切线方程；(2)求函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+9𝑥的极值．【解题思路】（1）利用导数求出𝑓(1)=1,𝑓′(1)=9，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，用列表法求出极值即可.【解答过程】（1）因为𝑓(𝑥)=𝑥3+6ln�

�的定义域为(0，+∞),𝑓′(𝑥)=3𝑥2+6𝑥，所以𝑓(1)=1，𝑓′(1)=9，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦−1=9(𝑥−1)，即𝑦=9𝑥−8．（2）依题意,𝑔(𝑥)=𝑥3−3

𝑥2+6ln𝑥+3𝑥,𝑥∈(0,+∞)，则𝑔′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+6𝑥−3𝑥2，整理得𝑔′(𝑥)=3(𝑥−1)3(𝑥+1)𝑥2．令𝑔′(𝑥)=0，解得𝑥=1．当𝑥变化时，𝑔′(𝑥)，𝑔(𝑥)的变化情况如表所示：

𝑥(0,1)1(1,+∞)𝑔′(𝑥)值为负0值为正𝑔(𝑥)单调递减极小值单调递增∴函数𝑔(𝑥)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．故𝑔(𝑥)的极小值为𝑔(1)=1，无极大值．