【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三下学期开学考试数学（理）试题含答案.doc，共(13)页，1.195 MB，由小赞的店铺上传

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育才学校2021届高三下学期2月开年考试卷理科数学本卷满分150分，考试用时120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U={-1,0,1,2,3,4}，集合2{|430}AxNxx=−+，集合2{|2}BxNy

xx+==−++，则()UCAB=（）A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,4}C.{4}D.{-1,0,3,4}2.已知复数z满足(3425ziii−=+为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A.21,5B.2,1

5C.21,5−−D.2,15−−3.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是1−，则判断框内可填入的条件是（）A.6?iB.7?iC.7?iD.6?i4.为了更好地支持“中小型企业”的

发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计

有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.35.函数f（x）＝2sin2（ωx﹣6）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在3,44

上的最小值是（）A.1+32B.12C.2D.1﹣326.已知函数()()()200xxeexfxxx−−=−，若0.015a=，33log22b=，2log0.9c=，则有（）A.()()()fbfafcB

.()()()fafbfcC.()()()fafcfbD.()()()fcfafb7.如图，点A的坐标为()1,0，点C的坐标为()2,4．函数()2fxx=，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（

）A.13B.12C.23D.5128.在三棱锥PABC−中，平面PAB⊥平面ABC，25,6,3APABACB===，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.13B.52C.523D.521339.正项等比数列na中，2

25689264aaaa++=，且3a与7a的等差中项为2，则1a=（）A.325B.2C.25D.11710.已知()'fx是函数()fx的导函数，且对任意的实数x都有()()1'xfxfxe=−（e是自然对数的底数），()00f=，若不等式()0

fxk−的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A.221,eeB.3232,eeC.3232,eeD.3232,ee11.若函数()(1)(0xxfxkaaa−=−−且1a）在R上既是奇函数,又是减函

数,则()log()agxxk=+的图象是（）A.B.C.D.12.已知函数1,(0)()ln2,(0)xxexfxxxx+=−−，若函数()yfxa=−至多有2个零点，则a的取值范围是（）A.1

,1e−−B.1,1(1,)e−−+C.11,1e−−D.[1,1]e+第II卷（非选择题90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知单位向量12,e

e的夹角为3，若向量122ee+与向量122eke+的夹角为2，则实数k=________.14.函数f（x）＝22,0ln,0xxxxx+„，则f（f（1e））＝_____.15.已知双曲线(

)2222:1,0xyCabab−=的左、右焦点为1F、2F，点2F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是________．16.四棱锥SABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD

为斜边的等腰直角三角形，若224SC，则四棱锥SABCD−的体积取值范围为_____．三、解答题(共6小题,共70分。需给出必要的演算步骤。)17.（本小题满分12分）已知ABC中三个内角A，B，C满足2cossin()1BAC=++．（1）求s

inB；（2）若2CA−=，b是角B的对边，3b=，求ABC的面积．18.（本小题满分12分）某芯片公司为了制定下一年的某种产品研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）和年收益z（单位：亿元）的影响，为

此收集了近12年的年研发资金投入量ix和年销售额iy的数据并对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.为了进一步了解年研发资金投入量x对年销售额y的影响，公司三位员工查阅大量资料，对历史数据进行对比分析，分别提出了三个回归方程模型：①yabx=

+；②2ycdx=+；③gxyfe=.xy()1221iixx=−()()121iiixxyy=−−()1221iiyy=−4066770250200u()1221iiuu=−()()121iiiuuxx=−−v()1221iivv=−()()121iiivvyy

=−−3.600.499.8065.0030.00表中lniiuy=，2iivx=.（1）根据散点图及表中数据，请分别选用两个比较恰当的回归方程模型，建立y关于x的回归方程；（2）①根据（1）的回归方程模型，从数据相关性的角度考虑，判断哪一个更适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x

的回归方程？并说明理由；②已知这种产品的年收益z服正态分布(40,204.75)N，那么这种产品的收益超过54.31亿元（含54.31亿元）的概率为多少？附：①最小二乘估计以及相关系数公式：()()()(

)()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiiiinnniiiiiixxyyxxyybaybxrxxxxyy=====−−−−==−=−−−；②若()2~,zN，则有()0.6826Pz−+=，(

22)0.9544Pz−+=；③参考数据：21.41,103.16,204.7514.31===.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥EABCD−中，ADCD⊥，2DADCDE===，22EAEC==，M是EA的中点.（1）证明：AE⊥平面MCD；（2）若//CDAB，三棱锥MB

CE−的体积为13，求底棱AB的长.20.（本小题满分12分）已知椭圆221:163xyC+=的焦点与抛物线()22:20Cxpyp=的焦点之间的距离为2.（1）求抛物线2C的方程；（2）设1C与2C在第一象限的交点为A，过点A斜率为()0kk的直线1l与1C的

另一个交点为B，过点A与1l垂直的直线2l与2C的另一个交点为C.设ABmAC=，试求m的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()ln1fxxkx=++，（1）讨论函数()fx的单调区间；（2）若对于任意的0x，不等式()()877xfxkxe−+−，恒成立，求k的范围.四、选

考题22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，P（0，1），曲线C1的参数方程为31232xtyt=−=（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos=．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）曲线C1与C2交于M，N两点，求||PM|﹣|PN||．参考答案1.B2.B3.D4.D5.D6.B7.D8.B9.C10.D11.A12.B13.85−14.1−15.216.4

38,3317.（1）13（2）322解：（1）在ABC中，ABC++=，即()BAC=−+，∴sinsin()BAC=+，由题意得2cossin1BB=+．两边平方可得222cossin2sin1BBB

=++，根据22sincos1BB+=，可整理为23sin2sin10BB+−=，解得1sin3B=或sin1B=−（舍去）．∴1sin3B=．（2）由2CA−=，且ABC++=，可得22AB=−，C为钝角，∴sin2cosAB=，又3b=，由正弦定理得33sinsinsinabc

ABC===，∴33sinaA=，33sincC=．又C为钝角，由（1）得cos223B=．∴ABC的面积为111sin33sin33sin223SacBAC==99sinsinsincos22

2AAAA=+=9992232sin2cos44432AB====综上所述，ABC的面积为322．18.（1）选用②，③两个回归方程模型；22306yx=+，0.0133.08xye+=；（2）①模型②更适宜作为收益y关于投入量x的回归方程；答案见解析；②0.158

7.【解析】（1）因为散点图中x与y之间不是线性关系，故可以判断模型①不适合.故选用②，③两个回归方程模型.令2vx=，先建立y关于v的线性回归方程：设y关于v的线性回归方程为ydvc=+.由于1211221()()()iiiiivvyydvv==−−=

−30.0065.00==，666630cydv=−=−=，所以y关于u的线性回归方程为306yv=+，因此模型②为22306yx=+；由gxyfe=，得lnlnygxf=+，令ln,,lnuygf===，所以ux=+，先

建立u关于x的线性回归方程.由于1211221()()9.800.013770()iiiiiuuxxxx==−−===−，3.60.013403.08ux=−=−=，所以u关于x的线性回归方程

为0.0133.08ux=+，因此模型③为0.0133.08xye+=；（2）①模型②中，相关系数121212122211()()30.003100.33.160.948105200()()iiiiiiivvyyrvvyy===−−===−

−，模型③中，相关系数121312122211()()9.800.5050.49770()()iiiiiiiuuxxruuxx===−−==−−，可得321rr，说明变量y与v的线性相关程度更好，即模型②：22306yx=+拟合效果更好，故

模型②更适宜作为收益y关于投入量x的回归方程.②依题意z服从正态分布2(40,204.75)(40,14.31)NN=，所以()(25.6954.31)0.6826PzPz−+==，所以10.6826(54.

31)0.15872Pz−==.19.解：（1）∵ADCD⊥，2DADC==，∴22AC=，又∵22EAEC==，∴AEC为等边三角形，又∵2DADE==，M是EA的中点∴AEDM⊥，AEMC⊥，2DM=又∵DMMCM=，,DMMC平面MDC∴AE⊥平面MCD；（

2）∵AE⊥平面MCD，∴AECD⊥，又∵ADCD⊥，ADAEA=，,ADAE平面ADE∴CD⊥平面ADE，又∵DM平面ADE，∴CD⊥DM，∵//CDAB，∴ABDM⊥，又∵AEDM⊥，ABAEA=，,ABAE平

面ABE，∴DM⊥平面ABE∵//CDAB∴C点到平面ABE的距离等于D点到平面ABE的距离∴MBCECBMEDBMEVVV−−−==，又∵11113332DBMEBMEBMEABEVSDMSDMSDM−===11112223223AB==，解得：1AB=.20.

（1）24xy=；（2）10,2.【解析】（1）由椭圆221:163xyC+=，得26a=，23b=，3c=，所以，椭圆1C的右焦点为()3,0F，抛物线()22:20Cxpyp=的焦点为0,2pF

，由题意可得()2230022pFF=−+−=，0p，2p=，因此，抛物线2C的方程为24xy=；（2）联立椭圆1C和抛物线2C的方程22216340xyxyx+==，解得21xy==，可得点()2

,1A，设点()11,Bxy、()22,Cxy，联立直线1l与椭圆1C的方程()2216312xyykx+=−=−，消去y得，()()22214218840kxkkxkk+−−+−−=，由题意可知，2是关于x的二次方程()(

)22214218840kxkkxkk+−−+−−=的一个根，由韦达定理得212884221kkxk−−=+，21244221kkxk−−=+，22124111221kkABkxk++=+−=+，直线2l的方程为()112yxk−=−−，联立直线2l与抛物线2C的方程

()21124yxkxy−=−−=，消去y得24840xxkk+−−=，由题意可知，2是关于x的二次方程24840xxkk+−−=的一个根，由韦达定理得2824xk=−−，242xk=−−，22222411114124kkkACxkkkk+++=+−=+=，所以，222110

,11222ABkmkACk===++，因此，m的取值范围是10,2.21.解：（1）∵()()1111xkkfxxx−−−=+=++，定义域为()1,+−若0k，则1()01xkfxx++=+对1x−成立，

∴()fx在区间()1,+−单调递增；若k0，则()fx在区间()1,1k−−−单调递减，在区间()1,+k−−单调递增.（2）原命题可化为0x，()()ln1710xkxxxe+−−+−恒成立.取()()()ln171xgxkxxxe=+−−+−

，∴()()()()21171(),711xxkgxkeuxuxexx=−−−==−++，∴()()()00,00,07gguk===−.若7k，即()070gk=−，∴存在1>0x使得1(0,)

xx，()0ux，所以()gx在1(0,)x单调递减，又∵(0)0g=，所以1(0,),()0xxgx，∴()gx在1(0,)x单调递减，又∵(0)0g=，∴1(0,),()0xxg

x，不合题意，∴7k若0k，则2()70(1)xkuxex=−+对0x成立，若07k，可知2()7(1)xkuxex=−+在(0,)+单调递增，∴0x，()(0)70uxuk

=−.∴7k时，0x，()0ux，∴()gx在(0,)+单调递增，∴0x，()(0)0gxg=，∴()gx在(0,)+单调递增，∴0x，()(0)0gxg=.综上，k的范围为(,7]−.22.（1）10xy+−=，2240xy

x+−=，（2）14解：（1）曲线C1的参数方程为31232xtyt=−=（t为参数），消去参数t得普通方程为10xy+−=，曲线C2的极坐标方程为4cos=，两边同乘以，得24cos=，

所以其直角坐标方程为2240xyx+−=（2）曲线C1过点P（0，1），则其参数方程为22212xtyt=−=+，将其代入方程2240xyx+−=得，22222()(1)4()0222ttt−++−−=，化简得()223210324140tt++==−=，，设上

式方程的根为12,tt，所以121232,1tttt+=−=，所以22121212()4(32)4114PMPNtttttt−=−=+−=−−=