【文档说明】江西省吉安县立中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(10)页，957.000 KB，由小赞的店铺上传

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吉安县立中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二年级数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。只有一个选项是符合题目要求的）1．命题p:x∈N，x3>1，则p为（）A．x∈N，x3<1B．x∉N，x3≥1C．x∉N

，x3≥1D．x∈N，x312．若直线1:260laxy++=与直线()2:150lxay+−+=垂直，则实数a的值是（）A．12B．23C．1D．23．圆221:4Cxy+=与圆222:(3)(4)9Cxy−+−=的公切线有（）A．1条B．

2条C．3条D．4条4．已知命题p：2x，22xx，命题q：0xR，()20ln10x+，则（）A．命题pq是假命题B．命题pq是真命题C．命题()pq是假命题D．命题()pq是真命题5．设mn，是条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列

命题中正确的是（）A．若//,//mn，则//mnB．若//,,mn，则//mnC．若,mmn⊥⊥，则//nD．若,//,//mmnn⊥，则⊥6．正四棱锥SABCD−的侧棱长与底面边长相等，

E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．13B．12C．33D．227．直线2ykx=+与圆2220xyx++=只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（）A(),1−B．3,14C．3,14D．3,4+

8．已知圆22:230Cxyx+−−=，直线:1lykx=+与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时k的值为（）A．1B．2C．1−D．2−9．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所

在直线方程为（）A．x﹣y+2＝0B．x2−y+2＝0C．x3−y+2＝0D．x﹣2y+2＝010．我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（）图（1）图（2）A．9

929++B．181829++C．189218++D．1818218++11．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．312+B．2C．32D．22

12．如图，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为60°，A，B是1上的两个定点，且AB＝2．C∈α，D∈β，满足AB与平面BCD所成的角为30°，且点A在平面BCD上的射影H在△BCD的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于（）A．36B．3C．33D．23二、填空题（本大

题共4小题，每小题5分，共20分）13．空间中点(3,3,1)A关于x轴的对称点为'A,点(1,1,5)B−则',AB连线的长度为___________.14．两条平行直线34120xy+−=与8100axy++=间的距离是_______.15．若曲线

21yx=−与直线()21ykx=++仅有一个交点，则实数k的取值范围是__________.16．已知正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长6AB=,侧棱长127AA=,它的外接球的球心为O，点E

是AB的中点，点P是球O上的任意一点，有以下命题：①PE的长的最大值为9;②三棱锥PEBC−的体积的最大值是323;③存在过点E的平面，截球O的截面面积为9;④三棱锥1PAEC−的体积的最大值为20；其中是真命题的序号是___________三、解答题

（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知集合22Axaxa=−+，1Bxx=或4x．（1）当4a=时，求AB；（2）若>0a，且“xA”是“RxBð”的充分不必

要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=2，求四棱锥11EBBC

C−的体积．19．（12分）已知两直线1:310lxy−−=，2:250lxy+−=（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线3:430lxaya−+−=与1l，2l不能构成三角形，求实数a的值.20．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AE

⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，5BDCD==，2AE=．（1）证明：平面EBD⊥平面BCD；（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知圆O：222(

0)xyaa+=，点()0,4A，()2,2B.（1）若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；（2）过直线AB上的点P引圆O的两条切线，切点为MN、，若60MPN=，则称点P为“好点”.若直线AB上有且只有两个“好点”

，求实数a的取值范围.22．（12分）已知过点()0,2M且斜率为k的直线l与圆C：()2211xy−+=交于A，B两点.（1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为

坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值.期中考试高二年级数学（理科）试卷参考答案1．D2．B3．C4．A5．D6．C7．C8．A9．D10．D11．B12．A13．21714．17515．11,03−−16．①③④17．（1）∵当4a=时，26Axx=

−，1Bxx=或4x，…………3分∴21ABxx=−或46x；……………5分（2）∵1Bxx=或4x，∴14RBxx=ð，……………6分由“xA”是“RxBð”的充分不必要条件，得A是BRð的真子集，……………8分

且A，又()22>0Axaxaa=−+，∴2>1,012+4aaa−．……………10分18．（1）因为在长方体1111ABCDABCD−中，11BC⊥平面11AABB；BE平面11AABB，所以11BCBE⊥，……………3分又1BEEC⊥

，1111BCECC=，且1EC平面11EBC，11BC平面11EBC，所以BE⊥平面11EBC；……………5分（2）设长方体侧棱长为2a，则1AEAEa==，由（1）可得1EBBE⊥；所以22211EBBEBB+=，即2212

BEBB=，又2AB=，所以222122AEABBB+=，即22284aa+=，解得2a=；取1BB中点F，连结EF，因为1AEAE=，则EFAB∥；所以EF⊥平面11BBCC，……………9分所以四棱锥11EBBCC−的体积

为11111111162423333EBBCCBBCCVSEFBCBBEF−====矩形.……………12分19．（1）联立直线方程310250xyxy−−=+−=解得12xy=

=，交点坐标(1,2)，…………2分当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程2yx=，……………3分当直线不过原点时，设其方程为0xyb++=，过(1,2)得120,3bb++==−，所以直线方程30xy+

−=……………5分综上：满足题意的直线方程为2yx=或30xy+−=……………6分（2）直线3:430lxaya−+−=与1l，2l不能构成三角形当1l与3l平行时：131,3aa==……………8分当2l与3l平行时：2,2aa−==−……………10分当三条直线交于一点，即3l过点(1,2)

，则12430,1aaa−+−==综上所述实数a的值为1,2,13−……………12分20．证明：（1）取BC中点O，连结,AODO，∵5BDCD==，∴DOBC⊥，222DOCDOC=−=，∵DO平面BCD，平面DBC平面ABCBC=

，平面BCD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∵AE⊥平面ABC，∴AEDO∕∕，又2DOAE==，∴四边形AODE是平行四边形，∴EDAO∕∕，∵ABC是等边三角形，∴AOBC⊥，∵AO平面ABC，平面BCD平面ABCBC=，平面BCD⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCD，∴ED⊥平面BCD

，∵ED平面EBD，∴平面EBD⊥平面BCD．……6分（2）由（1）得AO⊥平面BCD，∴AODO⊥，又,DOBCAOBC⊥⊥，分别以,,OBAOOD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则(

)()0,3,0,1,0,0,0,0,2()(,0,)3,2ABDE−−，平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，设平面BED的一个法向量为(),,nxyz=，(1,0,2),(1,3,2)BDBE=−=−−，则20320nBDxznBExyz=−+==−−+=，取2

x=，得()2,0,1n=，……………9分设平面BED与平面ABC所成锐二面角的平面角为，则||15cos5||||5mnmn===．……………11分∴平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值为55．……………1

2分21．解：（1）由()0,4A，()2,2B得：AB的中点坐标为()1,3，直线AB的斜率为1−，所以AB的中垂线方程为()311yx−=−，即20xy−+=，又因为AB的中垂线与圆O相切，所以圆心O到AB中垂线的距离2

2a=，即2a=；……………5分（2）连接,POOM，在RtPOM中，30OPM=，OMa=，所以22POOMa==，所以点P的轨迹是以O为圆心，2a为半径的圆，记为圆O，则圆O的方程为2224xya+=，……………8分又因为直线AB

的方程为xy40+−=，且直线AB上有且只有两个“好点”，则直线AB与圆O相交，……………10分所以圆心O到直线AB的距离422a，故实数a的取值范围是()2,+.…………12分22．（1）由题意知直线l的斜率存在，且直线l与圆C相交，设l：2ykx=+，则圆心到直线的距离小于半径，即2

211kk++，解得：34k−…3分（2）由题意知两个圆相交，满足圆心距11rMCr−+，……………4分因为()()2201205MC=−+−=，所以1515rr+−即51051rr−

+，所以5151r−+.……………6分（3）将直线l与圆C方程联立得()22211ykxxy=+−+=得：()()2214240kxkx++−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，则122241kxxk−+=+，12241xxk=+，……………8分()12121212121

2222242212OAOBxxyykxkxkkkkkxxxxxx+++−+=+=+=+=+=，…………11分所以直线OA与OB斜率之和为定值1.……………12分