【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第21讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 Word版含解析.docx，共(10)页，647.051 KB，由小赞的店铺上传

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第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式思维导图知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan_α(α≠π2＋kπ，k∈Z)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α

π－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型归纳题型1同角三角函数基本

关系的应用【例1-1】（2020春•隆回县期末）已知3sin3=，是第二象限角，则cos(=)A．33B．63C．33−D．63−【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解．【解答】解：3sin3=，是第二象限角，2236cos11()33sin

=−−=−−=−．故选：D．【例1-2】（2020•武汉模拟）已知sin3cos=，则2sinsincos1(++=)A．434+B．734+C．1D．3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan，进而化简所求即可求解．【解答】解：sin3cos=，tan3

=，22222222sincos2tan1233173sinsincos11314sincostansincostan+++++++++====+++．故选：B．【例1-3】（2020春•葫芦岛期末）若3sin5cos1sin2c

os5+=−−，则tan的值为()A．32B．32−C．2316D．2316−【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】解：3sin5cos3tan51sin2costan25++==−−−，解得2

3tan16=−．故选：D．【例1-4】（2020春•浦东新区校级期中）已知1sincos5+=−，(0,)，求下列式子的值：（1）sincos；（2）tan2；（3）33sincos+．【分析】（1）将已知等式两边平

方，利用同角三角函数基本关系式可求得sincos的值；（2）由已知可求(0,)22，sin0，cos0，tan02，利用平方差公式可求7sincos5−=，进而可求3sin5=，利

用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】解：（1）1sincos5+=−，(0,)，两边平方，可得112sincos25

+=，解得12sincos25=−；（2）1sincos05+=−，①又(0,)，(0,)22，sin0，cos0，tan02，27sincos(sincos)12sincos5−=−=

−=，②由①②可得3sin5=，即2222sincos2tan322251222sincostan==++，整理可得：23tan10tan3022−+=，解得tan32=，或13−（舍去）．（3）332211237sincos(sincos)(sinco

ssincos)()(1)525125+=++−=−+=−【跟踪训练1-1】（2020春•焦作期末）已知(0,)2，tan2cos=，则sin(=)A．33B．63C．22D．32【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求2sincos2=

，结合22sincos1+=，可得解sin的值．【解答】解：(0,)2，tan2cos=，sin2coscos=，即2sincos2=，又22sincos1+=，2sinsin12+=，即

22sinsin20+−=，解得2sin2=，负值舍去．故选：C．【跟踪训练1-2】（2020春•揭阳期末）若1cos3=−，(2，)，则tan等于()A．24−B．24C．22−D．22【分析】由已知利用平方

关系求得sin，再由商的关系可得tan．【解答】解：1cos3=−，(2，)，22122sin11()33cos=−=−−=．22sin3tan221cos3===−−．故选：C．【跟踪训练1-3】（2020•新乡二模）已知3tan4=，则sin2

cos(2sincos−=+)A．2−B．2C．12−D．12【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：3tan4=，sin2costan212sincos2tan12−−==−++．故选：C．【跟踪训练1-4】（2019秋•宿州

期末）已知tan3=，则sincos2sincos+−−的值为()A．210−B．10210−C．210D．10210【分析】由tan3=，可得sin3cos=，结合22sincos1

+=，可求sin，cos，代入即可求解．【解答】解：由tan3=，可得sin3cos=，又22sincos1+=，联立可得，10cos10310sin10==或10cos10310sin10=−−

=，当10cos10310sin10==时，310102sincos210210sincos3101010+−+−==−−−，当10cos10310sin10=−−=时，4102sincos210210sincos21010−−+−

==+−−．故选：C．【跟踪训练1-5】（2019秋•清远期末）已知sin2cos=−，则222sincos3cos(2sincos+=−)A．16−B．16C．17−D．17【分析】将

已知代入所求即可化简求值得解．【解答】解：sin2cos=−，22222222sincos3cos(2cos)cos312sincos2(2cos)77coscoscoscos

+−+===−−−．故选：D．【跟踪训练1-6】（2019秋•茂名期末）已知tan2=，计算：（1）4sin2cos5cos3sin−+；（2）sincos；（3）若是第三象限角，求sin、cos．【

分析】（1）由已知化弦为切求解；（2）分母看作1，用平方关系替换，在化弦为切求解；（3）联立商的关系与平方关系求解．【解答】解：（1）4sin2cos4tan242265cos3sin53tan53211−−−===+++；（2）2222sincostan22si

ncostan1215sincos====+++；（3）tan2=，sin2cos=，①代入22sincos1+=中，可得224coscos1+=．215cos=，得5cos5=，又是第三象限角，5cos5=−．代入①式得52

5sin2()55=−=−．【跟踪训练1-7】（2020春•锦江区校级月考）已知1sincos(0)5+=，求下列各式的值：（1）sincos−；（2）33sincos−；（3）sin4cos5sin2cos−+．【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式

展开，求出2sincos的值，再利用完全平方公式求出sincos−的值．（2）由（1）联立求出sin与cos的值，即可计算得解．（3）由（2）利用sin与cos的值即可计算得解．【解答】解：（1）将1sincos5+=，两边平方得：21(sincos)12sincos

25+=+=，即242sincos025=−，249(sincos)12sincos25−=−=，(0,)，sin0，cos0，即sincos0−，则7sinc

os5−=；（2）由（1）可得1sincos(0)5+=，7sincos5−=；解得4sin5=，3cos5=−，33642791sincos()125125125−=

−−=；（3）由（2）可得434()sin4cos855435sin2cos752()55−−−==++−．【名师指导】1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、

逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．2.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切

值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．3.对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，

sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．题型2诱导公式的应用【例2-1】（2020春•忻府区校级月考）已知5sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f−−−=−−−，则25()3f−的值为()A．1

2−B．12C．32−D．32【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出()f，即可求出所求式子的值．【解答】解：sincoscos()cos(cos)(sin)f==−−，则25251()cos()cos(8)cos33332f

−=−=+==．故选：B．【例2-2】（2020春•吉林月考）若4sincos3−=，且3(4，)，则sin()cos()(−−−=)A．23−B．23C．43−D．43【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求72sincos9=−，结合角的范围，可求si

ncos0+，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：4sincos3−=，两边平方可得1612sincos9−=，可得72sincos9=−，3(4，)，2sin(0,)2

，2cos(1,)2−−，sincos0+，272sin()cos()sincos(sincos)12sincos1()93−−−=+=−+=−+=−+−=−．故选

：A．【跟踪训练2-1】（2020春•静安区期末）sin240的值是()A．12−B．12C．32D．32−【分析】由题意利用诱导公式，求得结果．【解答】解：3sin240sin(18060)sin602=+=−=−，故选：D．【跟踪训练2-2】（2020春•日照期末）已

知51sin()25+=，那么cos()(+=)A．25−B．15−C．15D．25【分析】由已知利用诱导公式可得1cos5=，然后求出cos()+的值．【解答】解：51sin()cos25+==，1cos()cos5+=−=−．

故选：B．【名师指导】1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．题型

3诱导公式与同角关系的综合应用【例3-1】（2019秋•吉安期末）已知2，且4cos5=−，则4cos(2)3sin()23cos()2sin(22)2−−+−+−的值为．【分析】由题意利用同角

三角函数的基本关系求得sin的值，再利用诱导公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：已知2„，且4cos5=−，23sin1cos5=−=，则24cos(2)3sin()4cos23cos4(2c

os1)3cos23sin2sin2sin4sincoscos()2sin(22)2−−+−−−−−==−−−−−+−216483()48cos3cos43232255334sin4sincos33334

()555+−−+−−====+−+−，故答案为：3233．【跟踪训练3-1】（2020•通州区一模）已知(0,)2x，tan()34x+=−，则2sin()sin21cosxxx−+=+．【

分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosx，sinx，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：(0,)2x，1tantan()341tanxxx++==−−，tan2

x=，即sin2cosxx=，22222sincos(2cos)cos5cos1xxxxx+=+==，解得5cos5x=，25sin5x=，25255222sin()sin22sinsin2455551cos1cos5515xxxxxx+−+

+===+++．故答案为：455．【跟踪训练3-2】（2019秋•西昌市期末）已知sin(2)sin()223cos()cos()2−−−=+++，则22sin2sincoscos+−=．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求ta

n的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：sin(2)sin()223cos()cos()2−−−=+++，sincostan12sincostan1++==−−，解得tan3=，222222222sincos2tan19617s

in2sincoscos1915sincostansincostan+−+−+−+−====+++．故答案为：75．【名师指导】求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分

析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值