【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含解析.docx，共(17)页，751.446 KB，由小赞的店铺上传

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银川一中2022/2023学年度（上）高二期末考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1.已知21zii=++,则复数z=A.13i−+B.13i−−C.13i−D.13i+【答案】C【解析】【分析

】根据复数的乘法运算求得z，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：()()1213ziii=++=+13zi=−本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.2.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中

甲、乙两人站在一起的概率是A.16B.13C.23D.12【答案】C【解析】【详解】甲、乙、丙3名学生排成一排，共有336A=种排法，其中甲、乙两人站在一起的排法共有22224AA=种，所以概率为23，故选C．3.831()2xx−展开式中常数项为（）A.28B.28−C.7D.7

−【答案】C【解析】【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意831()2xx−得展开式通项为：()88483188311C1C22rrrrrrrrxTxx−−−+=−=−,令48

03r−=，得6r=，所以常数项为()2667811C72T=−=.故选：C.4.已知F是抛物线22yx=的焦点，,AB是该抛物线上的两点，11AFBF+=，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A.3B.4C.5D.7【答案】C【解析】【详解】F是抛物

线22yx=的焦点1(,0)2F,准线方程12x=−，设1122(,),(,)AxyBxy12111122AFBFxx+=+++=1210xx+=,线段AB的中点横坐标为5线段AB的中点到y轴的距离为

5，所以C选项是正确的.故选：C5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析

】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】当1n=时，1542ab==，，满足进行循环的条件；当2n=时，45,84ab==满足进行循环的条件；当3n=时，135,168ab==满足进行循环

的条件；当4n=时，405,3216ab==不满足进行循环的条件，故输出的n值为4.故选：C．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.某工厂生产某种产品的

产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.0.72.5ˆ0yx=+B.0.

71ˆyx=+C.0.735ˆ0yx=+D.0.70.5ˆ4yx=+【答案】C【解析】【详解】由题意可知，4.5,3.5xy==，线性回归方程过样本中心(4.5,3,5)，所以只有C选项满足．选C.【点睛】

线性回归方程过样本中心(,)xy，所以可以代入四个选项进行逐一检验．7.已知4k，则曲线22194xy+=和22194xykk+=−−有()A.相同的短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质计算并判断.【详解】4k，

940kk−−，曲线22194xy+=和22194xykk+=−−都是焦点在x轴上的椭圆，由椭圆22194xy+=，得1113,2,5abc===，所以长轴长为6，短轴长为4，焦点坐标为()5,0，离心率为53，由椭圆22194xy

kk+=−−，得2229,4,5akbkc=−=−=，所以长轴长为29k−，短轴长为24k−，焦点坐标为()5,0，离心率为59k−.所以两个椭圆有相同的焦点．故选：B8.5个大学生分配到三个不同的村庄当村干部，每个村庄至少有一名

大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为A.14B.35C.70D.100【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，甲村庄恰有一名大学生，有155C=种分法，另外四名大学生分为两组，共有21344322437CCCA+=+=种，再分配到

两个村庄，共有22714A=种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生的分法种数为51470=种不同的分法，故选C.考点：计数原理和排列组合的应用.9.已知P是△ABC所在平面内﹣点，20PBPCPA++=，现将一粒黄豆随机撒在

△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A.23B.12C.13D.14【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内

的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PBPC+=PD，∵20PBPCPA++=，∴2PBPCPA+=−，∴2PDPA=−，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△A

BC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBCABCSS=12．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、

应用意识，是中档题．10.方程(x+y-1)224xy+−=0所表示的曲线是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意得方程()22140xyxy+−+−=，得10xy+−=或，且，所以方程()22140xyxy+−+−=所

表示的曲线为选项D，故选D．考点：曲线与方程．11.过点(1,1)M的直线与椭圆22143xy+=交于,AB两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为（）A.4370xy+−=B.3470xy+−=C.3410xy−+=D.4310xy−−

=【答案】B【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，代入22143xy+=作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程【详解】设()()1122,,,AxyBxy，直线l斜率为k，则有22112222143143xyxy+=+=①②，①-②得()()()

()12121212043xxxxyyyy+−+−+=，因为点M为AB中点，则12122,2xxyy+=+=，所以12122()023xxyy−−+=，即121234yykxx−==−−，所以直线l的方程为()

3114yx−=−−，整理得3470xy+−=故选：B12.过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交

点，则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,10)C.(2,10)D.(5,10)【答案】C【解析】【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到22222(2)0aabba+−，即

1ba．由k＝3得到22222(910)09aabba+−，即3ba，再求离心率21()bea=+的范围．【详解】双曲线右焦点为22(,0)ab+，设过右焦点的直线为()22ykxab=−+，与双曲线方程联立消去y可得到：2222222222

2222()2()0bakxakabxaakbkb−++−++=，由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，∴22222(2)0aabba+−，得0＜a＜b，即1ba；当k=3时，此方程有两个不相等的同号

实根，∴22222(910)09aabba+−，得0＜b＜3a，3ba；又22221()abbeaa+==+，∴离心率的取值范围为()2,10．故选：C.二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.若坐标原点到抛物线2ymx=的准线距离为2，则

m=___________.【答案】18【解析】【分析】根据抛物线性质可得结果.【详解】由2ymx=化标准方程21xym=，准线方程14ym=−，故由题意124m−=，得18m=.故答案为：1814.已知椭圆221

102xymm+=−−的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的标准方程及焦点在y轴上且24c=，结合椭圆参数的关系即可求m.【详解】由题意知：10020210mmmm−−−−

，得610m，又24c=，焦点在y轴上∴2104mm−=−+，解得8m=.故答案为：815.设()|1|fxax=−，()2fx的解集为6,2−，则实数a的值为____.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】利用题给条件列出关

于实数a的方程组，解之即可求得实数a的值.详解】由()|1|fxax=−，()2fx可得|1|2ax−，则22|1|2ax−，整理得22230axax−−当0a=时不等式22230axax−−解集为R，不符合题

意；当0a时，由不等式22230axax−−解集为6,2−为【可得()222312212024aaaa−=−−+=−，解之得12a=−综上，实数a的值为12−故答案为：12−16.若O为坐标原点，直线y＝2b与双曲线2

2221xyab−=(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，直线OA的斜率为－1，则该双曲线的渐近线的方程为________.【答案】y＝±52x【解析】【分析】根据题意先求得点A，代入双曲线方程可得22ba，然后可得渐近线方程.【详解】易知直线OA方程为yx=

−，由2yxyb=−=解得(2,2)Abb−，代入22221xyab−=得2222441bbab−=，即2254ba=，所以渐近线方程为52yx=.故答案为：52yx=三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()13,1fxxxx=++−−.（1）

求不等式()6fx的解集；（2）若()fx的最小值为n，正数,ab满足22nabab=+，求2ab+的最小值.【答案】（1）1|4xx−（2）98【解析】【分析】（1）分13x−和3x两种情况，脱去绝对值符号

，解不等式，即得答案.（2）确定n的值，可得82abab=+，可得128ba+=，将2ab+变为112(2)()8abba++，结合基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】当13x−时，()134fxxx=++−=,当3x

时，()1322fxxxx=++−=−，不等式()6fx等价于1346x−或3226xx−，解得13x−，或34x，故14x−，∴原不等式的解集为{|14}xx−.【小问2详解】由（1）得，4,13()22,3xfx

xx−=−，当3x时，224x−，所以()fx的最小值为4，4n=，故82abab=+，可得128ba+=，因为0,0ab，11212212292(2)()(5)(52)8888ababababbababa+=++=+++=，当且仅当22abba=时，即38ab==，

取等号，∴2ab+的最小值为98.18.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，M为PD上一点，且45MDPD=.（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点()30，

且斜率为45的直线被方程C所截线段的长度【答案】（1）2212516xy+=（2）415【解析】【分析】（1）设(),Mxy，(),Pxy，则由PD⊥x轴与45MDPD=，得54xxyy==，代入2225xy+

=，整理得2212516xy+=；（2）由题意可求得直线方程为()435yx=−，代入椭圆方程，由韦达定理可知：123xx+=，128xx=−，进而由弦长公式()()22121ABkxx=+−即可求得直线被C所截线段的长度．【小问1详解】设点M的坐标为(),xy，点P的坐标为(),xy，

因为PD⊥x轴且45MDPD=，得45xxyy==，即54xxyy==，因为P在圆上，得2225xy+=，故225254xy+=，整理得2212516xy+=，故C的方程为2212516xy+=；

【小问2详解】由点斜式知，过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435yx=−，设直线与C的交点为()12,Axy，()22,Bxy，将直线方程()435yx=−代入C的方程，得()22312525xx−+=，整理得2380xx−−=，所以123xx+=，128x

x=−，故线段AB的长度为()()()2221212211641411141252554ABkxxxxxx−=+−=++==，所以直线被C所截线段的长度为415.19.已知点A(2,8)在抛物线22(0)ypxp=

上,直线l和抛物线交于B,C两点，焦点F是三角形ABC的重心，M是BC的中点（不在x轴上）（1）求M点的坐标；（2）求直线l的方程.【答案】（1）（11，－4）（2）4400.xy+−=【解析】【分析】（1）由点A

（2，8）在抛物线22ypx=上，有2822p=，求出p=16，得到抛物线方程为232yx=，焦点F（8，0）是△ABC的重心，设点M的坐标为()00,xy，则由23AFAM=即可求出M点坐标；（2

）设BC所在直线的方程为：()()4110.ykxk+=−由()2411,32ykxyx+=−=消x得()232321140kyyk−−+=，所以1232yyk+=，由（2）的结论得1242yy+=−，解得4.k=−，即可求出直线l的方程.【详解】解（1）由点A（2，8）在抛物线22yp

x=上，有2822p=，解得p=16.所以抛物线方程为232yx=，焦点F的坐标为（8，0）.F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，设点M的坐标为()00,xy，则23AFAM=所以点M的坐标为（11，－4）．（2）由于线段BC的中点M不在x轴上，

所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：()()4110.ykxk+=−的由()2411,32ykxyx+=−=消x得()232321140kyyk−−+=，所以1232yyk+=，由（2）的结论得1242yy+=−，解得4.k=

−因此BC所在直线的方程为：4400.xy+−=【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题.20.已知椭圆C与椭圆223737xy+=的焦点12,FF相同且椭圆C过点57,62−.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在椭圆C上，且123FPF

=，求12FPF△的面积.【答案】（1）22110064xy+=；（2）6433【解析】【分析】（1）根据椭圆223737xy+=的焦点坐标设出椭圆C的标准方程，再将点57,62−代入方程，即可得出椭圆C的标准方程；（2）由定

义得出12220PFPFa+==，由余弦定理得出2221212122cos3FPFPFPFPFF=+−，求出12PFPF，再由三角形面积公式得出面积.【详解】（1）因为椭圆22137xy+=的焦点坐标为(6,0),(6,0)−，所以设椭圆C的标准方程为(

)2222213636xyaaa+=−①将点57,62−代入①，整理得42446363000aa−+=解得2100a=或2634a=（舍去）所以椭圆C的标准方程为22110064xy+=.（2）因为点P在椭圆C上，所以1

2220PFPFa+==..由（1）知6c=，在12PFF△中，12212FFc==所以由余弦定理得2221212122cos3FPFPFPFPFF=+−，即222121212PFPFPFPF=+−.因为()2221212122PFPFPFPFPFPF+=+−所以()221212123

PFPFPFPF=+−即221212203PFPF=−.所以22122012328256333PFPF−===.1212112563643sin232323FPFSPFPF===△.所以12FPF△的面积为6433.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及椭圆中三角形的面

积问题，属于中档题.21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5.(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，

求证：以AB为直径的圆必过原点．【答案】（1）y2＝4x.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程.（2）设直线l：y＝k(x－4)(k≠0)，

A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点．【详解】解：(1)由题意得|MF|＝4＋＝5.∴p＝2.故抛物线方程为y2＝4x.(2)当直线l的斜率不存在

时，其方程为x＝4.由得y＝±4.∴|AB|＝8∴＝4.∴以AB为直径的圆过原点．.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝

0.∴x1＋x2＝，x1x2＝16.y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)＝k2[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝k2＝k2＝－16，∴x1x2＋y1y2＝0.又·＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA⊥OB．∴以AB为直径的圆必过原点．综上可知，以AB为直径的圆必过原

点．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，将以AB为直径的圆过原点转化为向量的数量积等于零即可，属于中档题．22.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点(

)2,0F−（1）求双曲线方程；（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若2MQQF=，求直线l的方程．【答案】（1）2213yx−=（2）()2122yx=+或()3522yx=+【

解析】【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为22221xyab−=，则2c=，再根据离心率求出a，即可求出b，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线l的斜率存在，设():2lykx=+，即可得到M的坐标，依题意可得

2MQQF=或2MQQF=−，分两种情况分别求出Q的坐标，再根据Q的双曲线上，代入曲线方程，即可求出k，即可得解；【小问1详解】解：设所求的双曲线方程为22221xyab−=（0a，0b），则2cea==，2c=，∴1a=，又222cab=+则3b=，∴所求的双曲线方程为2213yx−=

．【小问2详解】解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点()2,0F−，∴l的斜率一定存在，则设():2lykx=+．令0x=得()0,2Mk，∵2MQQF=且M、Q、F共线于l，∴2MQQF=或2MQQF=−当2MQQF=时，43Qx=−，23Qyk=

，∴42,33Qk−，∵Q在双曲线2213yx−=上，∴21641927k−=，∴212k=，当2MQQF=−时，()4,2Qk−−，代入双曲线可得：241613k−=，∴352k=．综上所求直线l的方程为：()2122yx=+

或()3522yx=+．