【文档说明】甘肃省兰州市第二十七中学2020-2021学年高二期末考试数学（理）试卷含答案.doc，共(8)页，526.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第一学期期末试题高二数学（理）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每

小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若曲线C上所有点的坐标都满足方程0(),Fxy=，则（）A.方程0(),Fxy=是曲线C的方程B.坐标满足方程0(),Fxy=的点都在曲线C上C

.曲线C是方程0(),Fxy=所表示的曲线D.点的坐标满足方程0(),Fxy=是点在曲线C上的必要条件2．已知互不重合的三个平面，，，命题p:若⊥，⊥，则//；命题q:若上不共线的三点到的距离相等，则//，下列结论中正确的是（）．A.命题“p且

q”为真B.命题“p或q”为假C.命题“p或q”为假D.命题“p且q”为真3．“0AC=且0B=”是“220AxBxyCyDxEyF+++++=表示圆的方程”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要4．以双曲线1124

22−=−yx的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A.1121622=+yxB．1161222=+yxC．141622=+yxD．116422=+yx5．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为

A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是()A.2B．26|C．24|D．23|

6．若向量a=(1,0,z)与向量b=(2,1,2)的夹角的余弦值为32，则z=（）A.0B.1C.1-D.27．已知向量a、b满足：a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于()A.23B．－23C.±23D．18．椭圆短轴上的两

个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为()A.1010B.1717C.13132D.37379.平面直角坐标系上动点(),Mxy，满足2222(3)(3)6xyxy−++++=，则动点M的轨迹是（）A.直线B.线段C.圆D.椭圆10．如图，过抛物线22ypx=（0p）

的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若2CBBF=，且3AF=，则p的值为（）A.92B.3C.32D.3211.设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足

A.2B.25C.1D.512．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy+=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所

有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置)13．命题“∀x∈R，∃x∈N*，使得n≥x”的否定形式是________．14.非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋k

e2共线的k的值是________．15.直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是．16．曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨

迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于22a.其中,正确结论的序号是．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分

）已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）已知空间三点A

(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．19．(本题满分12分)已知动点P与平面上两定点A(－2，0

)、B(2，0)连线的斜率的积为定值－21.(1)试求动点P的轨迹方程C.(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当时，求直线l的方程．324||=MN20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC⊥，2AB

AC==，14AA=，点D是BC的中点.(1)证明:直线1//AB平面1ADC；(2)求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值.21.(本题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中

点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．22.(本题满分12分)已知动点M到定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为42.(1)求动点M轨迹C的方程；

(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．数学（理）答案Ⅰ选择题题号123456789101112答案DCBDAAAABCCCⅡ非选择题二、13．∃x∈R，∀x∈N

*，使得n<x14．±115．m≥1且m≠516．②③三、解答题：17．解：p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，所以a≤－4或a≥4.q真：－a4≤3，所以a≥－12.由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题得：p、q两命题一真一假．当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜

4.综上，a取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．18．解：a＝AB→＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b＝AC→＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)c

osθ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a与b的夹角θ的余弦值为－1010.(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋

2，k，－4)，所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，所以k＝－52或k＝2.19．解：设点P(x，y)，则依题意有yx＋2·yx－2＝－12

，整理得x22＋y2＝1.由于x≠±2，所以求得的曲线C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．(2)由x22＋y2＝1y＝kx＋1，消去y得：(1＋2k2)x2＋4kx＝0.解得x1＝0，x2＝－4k1＋2k2(x1、x2分别为M、N的横坐标)．由|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋

k2|4k1＋2k2|＝432，解得：k＝±1.所以直线l的方程x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.20．解：(1)连接1AC，交1AC于M，连结MD，直三棱柱111ABCABC−中，侧面11AACC为平行四边形，M为1AC中点，点D是BC的中点，

1//ABMD又MD平面1ADC，1AB平面1ADC1//AB平面1ADC(2)设平面1ADC的法向量1(,,)nxyz=.因为1(1,1,0),(0,2,4)ADAC==，所以1110,0nADnAC==，即0xy+=且20

yz+=，取1z=，得2,2−==yx，所以1(2,2,1)n=−是平面1ADC的一个法向量，取平面1AAB的一个法向量2(0,1,0)n=，设平面1ADC与平面1AAB所成二面角的大小为.由121222cos391nnnn===，得5sin3=.因此平面1ADC与平面1AAB所成

二面角的正弦值为53.21．解：(1)∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点，∴A1O⊥AC.又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.(2)连接OB，如图，以O为原点，分别

以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，3)，A(0，－1,0)．∴A1C→＝(0,1，－3)，令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，

z)，则n·AA1→＝n·AB→＝0，而AA1→＝(0,1，3)，AB→＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，3)∴|cosA1C→，n|＝|n·A1C→||n|·|A1C→|＝62×21＝217，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为217.22

.解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，以42为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝22，得b＝2.故曲线C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，由

x28＋y24＝1，y＋2＝k（x＋1），得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－4k（k－2）1＋2k2，x1x2＝2k2－8k1＋2k2.从而k1＋k2＝y1－2x1＋y2－2x2＝2kx1x2

＋（k－4）（x1＋x2）x1x2＝2k－(k－4)4k（k－2）2k2－8k＝4.当直线l的斜率不存在时，得A－1，142，B－1，－142，得k1＋k2＝4.综上，恒有k1＋k2＝4.