【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.5 三角恒等变换 含答案【高考】.docx，共(7)页，138.972 KB，由小赞的店铺上传

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-1-【新教材】5.5.2简单的三角恒等变换教学设计（人教A版）它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦

、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.课程目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角

恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．数学学科素养1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数

式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.教学方法：以学生为主体

，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。-2-一、情景导入前面已经学习过二倍角公式，那么如何用cosα表示sin2α2，cos2α2和tan2α2？要求：让学生自由发言，教师不做判断

。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本225-226页，思考并完成以下问题1.半角公式是什么？2.辅助角公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcos

x＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tanθ＝ba)．四、典例分析、举一反三题型一化简求值问题例1设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2【答案】D【解析】∵5π＜θ＜6π，

∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.-3-又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.解题技巧：（利用半角公式化简求值）1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换

时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途

径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．

跟踪训练一1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．【答案】sinα2＝255，cosα2＝－55，tanα2＝－2.【解析】∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α2＜

3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.题型二三角恒等式的证明例2求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin

2α.-4-【答案】证明略.【解析】证明：法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2

cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·

tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法)(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论

之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练二1.求证：2s

inxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.【答案】证明略.【解析】证明：左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2si

nxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.-5-题型三三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例3已知函数f(x)＝cos

π3＋xcosπ3－x－sinxcosx＋14.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．【答案】(1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值

为22.(2)函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π8，kπ－π8，k∈Z.【解析】(1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin2x＋14＝12cosx－32sinx12cosx＋32sinx－12

sin2x＋14＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x＋14＝12(cos2x－sin2x)＝22cos2x＋π4.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为22.(2)由2kπ－

π≤2x＋π4≤2kπ，k∈Z，得kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π8，kπ－π8，k∈Z.解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)＝asin

ωx＋bcosωx＋k的形式↓利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，研究其性质跟踪训练三1．已知函数f(x)＝23cos2x＋sin2x－3＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小

正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；-6-(3)若x∈－π4，π4，求f(x)的值域．【答案】(1)最小正周期为T＝π.(2)函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)值域为[0，3].

.【解析】f(x)＝sin2x＋3(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)

，得2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)∵x∈－π4，π4，∴2x＋π3∈－π6，5π6，∴sin2x＋π3∈－12，

1.∴f(x)∈[0，3].五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本228页习题5.5.5.5.2简单的三角恒等变换1.半角公式例1例2例32.辅助角公式-7-本节课通过例题的解答，引导学

生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心，求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学

生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性.