《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.5 三角恒等变换 (2) 含答案【高考】

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以下为本文档部分文字说明:

-1-第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本(A版)》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换,主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用,本节

的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性

思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用

.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.3.体会知识之间的内在联系,培养学生的思考归纳能力,提高其思维灵活性.a.数学抽象:公式的

应用;b.逻辑推理:公式之间的联系;c.数学运算:运用公式求值;d.直观想象:公式的灵活运用;e.数学建模:运用三角公式解决实际问题;教学重点:体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.教学难点:了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒

等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.-2-多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标(一)创设问题情境提出问题学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富

.例7试以cos���表示���������2���2,���������2���2,���������2���2解:���是���2的二倍角.在倍角公式���������2���=1−2���������2���中,以���

代替2���,以���2代替���,得������������=1−2���������2���2,所以���������2���2=1−������������2,①在倍角公式���������2���=2���������2���-1中,以���代替2���,以���2代替���,得����

��������=2���������2���2-1,所以���������2���2=1+������������2,②将①②两个等式的左右两边分别相除,得���������2���2=1−������������1+������������.例7的结果还可以表示为s

inα2=±1-cosα2cosα2=_____±1+cosα2_,tanα2=__±1-cosα1+cosα并称为半角公式,符号由α2所在的象限决定。归纳总结因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在

所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据通过开门见山,提出问题,利用三角解决证明问题,培养和发展数学抽象、直观想象的核心

素养。通过对三角公式的灵活运用,发展学生,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养;-3-选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.例8求证:(1)������������������������=12[sin���+���+sin���−���],(2)��������

����+������������=2������������+���2������������−���2.这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同?证明:(1)因为sin���+���=��������������

����������+������������������������,sin���−���=������������������������−������������������������,将以上两式的左右两边分别相加,得sin���+���+sin���−���=2��

����������������������①即������������������������=12[sin���+���+sin���−���](2)由(1)可得sin���+���+sin���−���=2������������������������设���=���+�

��2,���=���−���2.把���,���代入①,即得������������+������������=2������������+���2������������−���2如果不用(1)的结果,如何证明?归

纳总结例8的证明用到了换元的方法.如把���+���看作θ,���−���看作���,从而把包含���,���的三角函数式转化为θ,���的三角函数式.或者,把������������������������看作���,c

os���������������看作���,把等式看作���,���的方程,则原问题转化为解方程(组)求���.它们都体现了化归思想.例9求下列函数的周期,最大值和最小值:(1)���=������������+3�

�����������;(2)���=3������������+4������������.分析:便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是���=������������(���+���),利用和角公式将其展开,可化为)���=���������������+��

�������������的形式.反之,利用和(差)角公式,可将���=���������������+���������������转化为���=������������(���+���)的形式,进而就可以求得其周期和最值了.解:(1)���=������������+3�����������

�=2(12������������+32������������)①通过对典型问题的分析解决,发展学生数学建模、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养;-4-=2(������������������������3+��

����������������������3)=2sin���+���3因此,所求周期为2���,最大值为2,最小值为-2.你能说说①这一步变形的理由吗?(2)设���=3������������+4������������=���������������+���,则3������������+

4������������=���������������������������+���������������������������于是���������������=3.���������������=4于是���2����

�����2���+���2���������2���=25所以���2=25.取A=5,则������������=35,������������=45.由���=5������������+���可知,所求周期为2�

��,最大值为5,最小值为-5例10如图5.5-2,已知OPQ是半径为1,圆心角为���2的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.分析:要求当角取

何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解:在OBCRt中,cosOB,sinBC.在OADRt中,360tanOADA,所以,sin33333

3BCDAOA,-5-所以,sin33cosOAOBAB.设矩形ABCD的面积为S,则sin)sin33(cosBCABS)2cos1(632sin21sin33cossin263

)2cos212sin23(31632cos632sin2163)62sin(31.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由03,得52666.所以当262

,即6时,max133.663S因此,当6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.注:(1)在求解最大值时,要特别注意“03”这一隐含条件;(2)应用问题转化为数学问题,最后要回

归到实际问题.通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数,从而使问题得到简化。化归思想三、当堂达标1.若cosα=23,α∈(0,π),则cosα2的值为()

A.66B.-66C.306D.-306【解析】由题意知α2∈0,π2,∴cosα2>0,cosα2=1+cosα2=306.【答案】C2.已知cosα=35,α∈32π,2π,则sinα2等于()通过练习巩固本节所学知识,巩固对三角公式运用,增强学生的直观想象

、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心-6-A.55B.-55C.45D.255【解析】由题知α2∈34π,π,∴sinα2>0,sinα2=1-cosα2=55.【答案】A3.已知sinα-cosα=-54,则sin2α的值等于()A.716B.-716C.

-916D.916【解析】由sinα-cosα=-54,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=2516,所以sin2α=-916.【答案】C4.函数y=32sin2x+cos2x的最小正周期

为________.【解析】∵y=32sin2x+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+π6+12,∴函数的最小正周期T=2π2=π.【答案】π5.求证:4sinθcos2θ2

=2sinθ+sin2θ.【证明】法一:左边=2sinθ·2cos2θ2=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边,所以原式成立.法二:右边=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ·2cos2θ2=4sinθcos2θ

2=左边,所以原式成立.6、如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?素养。-7-【精彩点拨】设∠AOB=α→建立周长lα→求l的最大值【解答】设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,∴l=OA+AB+OB=R+R

sinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=2Rsinα+π4+R.∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴l的最大值为2R+R=(2+1)R,此时,α+π4=π2,即α=π4,即当α=π4

时,△OAB的周长最大.四、小结1.知识:如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量

建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题.2.思想:本节课通过由特殊到一般方式把关系式sincosyaxbx化成sin()yAx的形式,可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式,可以很好地培养学生分析

问题、解决问题的能力和应用意识,进一步培养学生的建模意识.[来源:学科五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点;

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