【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.5 三角恒等变换 （3） 含答案【高考】.docx，共(8)页，126.514 KB，由小赞的店铺上传

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-1-【新教材】5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计（人教A版）本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是

本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。课程目标1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、

求值、证明问题．数学学科素养1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；2.逻辑推理：运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。.重点：两角和与差的正弦、余弦、

正切公式的探究及公式之间的内在联系；难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入我们在初中时就知道2cos452=，3cos302=，由此我们能否得到-2-()cos15c

os4530?=−=大家可以猜想，是不是等于cos45cos30−呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本215-218页，思考并完成以下问题1.两角和与差的正弦、余

弦和正切公式是什么（共六组）？2.二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2_α－sin2_α＝2cos2_α－1＝1－2sin2_α；tan

2α＝2tanα1－tan2α.提醒：1．必会结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓t

anα·tanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，

α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．四、典例分析、举一反三题型一给角求值-3-例1利用和（差）角公式计算下列各式的值.(1)sin72cos42cos72sin42;(2)cos20cos70sin20sin70;1tan15(3).1tan15−−+−【答

案】（1）12（2）0（3）3.()()1=sin7242=sin30=2=cos2070=cos90=0tan45tan15=tan603.1tan45tan15−++==−（1）原式；（2）原式；（【

解】3）原式析解题技巧：（利用公式求值问题）在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结

构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.跟踪训练一1.cos50°=()A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C.cos70°cos20°+sin70°si

n20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°【答案】C【解析】cos50°=cos(70°-20°)=cos70°cos20°+sin70°sin20°.2.cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6的值是

()A.0B.12C.√22D.√32【答案】C【解析】cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6=cos5π12cosπ6+sin5π12sinπ6=cos(5π12-π6)=cosπ4=√22.3.求值：(1)tan75°；(2)3－tan15°1＋3tan15°.-4-【答案】

（1）2＋3；（2）1.【解析】(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋

tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.题型二给值求值例245sin,,,cos,cos().5213==−−已知是第三象限角，求的值【答案】33.65−223cos=-1si

n.512sin-1cos,133512433cos()=coscossinsin==.51313565−=−=−=−−+−−+−−是第二象限角，是第三【解析，】象限角则例33sin,sin(

),cos(),tan().5444=−−+−已知是第四象限角，求的值【答案】见解析.43cos=,tan.54243272sin()=sincoscossin==444255210243272cos()=coscossinsin==44425521037tant

an1444tan()=7.3141tantan1444=−−−−−+−−−−+−===+−是第四象限【解析角；】，；解题技巧：(给值求值的解题策略)(1)已知某些角的三角函数值,求另外一

些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.-5-(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(

α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).跟踪训练二1.(1)已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cosβ=45,则sin(α+β)=.(2)若sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sin

β=35,且α∈(π2,π),则tan(α-3π4)=.【答案】（1）0；（2）17【解析】(1)∵α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∵β是第四象限角,cosβ=45,∴sinβ=-35.∴sin(α+β

)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×45+45×(-35)=0.(2)由已知得sin[(α-β)+β]=35,即sinα=35,又因为α∈(π2,π),所以cosα=-45,于是tanα=-

34,故tan(α-3π4)=tanα-tan3π41+tanαtan3π4=-34-(-1)1+(-34)×(-1)=17.题型三给值求角例4已知tanα＝17，sinβ＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．【答案】π4.【解析】∵tanα＝17<1且α为锐角，∴0<α<π4.又∵

sinβ＝1010<5010＝22且β为锐角．∴0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4.①由sinβ＝1010，β为锐角，得cosβ＝31010，∴tanβ＝13.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝17＋131－17×13＝12.-6

-∴tan(α＋2β)＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)(1)给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②

确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．(2)选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是0，π2，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是－π2，π2

，选正弦较好．跟踪训练三1.若tanα=12,tanβ=13,且α∈(π,3π2),β∈(0,π2),则α+β的大小等于()A.π4B.5π4C.7π4D.9π4【答案】B.【解析】由已知得tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtan

β=12+131-12×13=1.又因为α∈(π,3π2),β∈(0,π2),所以α+β∈(π,2π),于是α+β=5π4.题型四二倍角公式应用例55sin2,,sin4cos4tan4.1342=已知求，，的值【答案】见解析.-7-221252,c

os2=,tan2.4221312512120sin42sin2cos22;131316912119cos42cos2121;13169sin4120tan4.cos4119−=−==−=−

=−=−−===−【，解析】解题技巧：(二倍角公式应用)应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．跟踪训练四1.(1)已知α∈π2，π，sinα＝55，

则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________；(2)已知sinπ4－x＝513，0<x<π4，求cos2x的值．【答案】（1）－45，35，－43；（2）120169.【

解析】(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43，故填－45，35，－43.(2)因为

x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4，又因为sinπ4－x＝513，所以cosπ4－x＝1213，所以cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝12016

9.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、六组公式例1例2二、二倍角公式例3例4-8-七、作业课本228页习题5.5.本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差

的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。