【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.5 三角恒等变换 （2） 含答案【高考】.docx，共(7)页，163.052 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本

节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数

形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、

求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．3．体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.a.数学抽象：公式的应用；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用公式求值；d.直观想象：公式的灵活运用；e.数学建模：运用三角公式解决实际问题；

教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．-2-多媒体教学过程设计意图核心教学

素养目标（一）创设问题情境提出问题学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富．例７试以cos𝛼表示𝑠𝑖𝑛2𝛼2,𝑐𝑜𝑠2𝛼2,𝑡𝑎𝑛2𝛼2解：𝛼是𝛼2的二倍角．在倍角公式𝑐𝑜𝑠2�

�=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼中，以𝛼代替2𝛼，以𝛼2代替𝛼，得𝑐𝑜𝑠𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼2,所以𝑠𝑖𝑛2𝛼2=1−𝑐𝑜𝑠𝛼2,①在倍角公式𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼-1中

，以𝛼代替2𝛼，以𝛼2代替𝛼，得𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼2-1,所以𝑐𝑜𝑠2𝛼2=1+𝑐𝑜𝑠𝛼2,②将①②两个等式的左右两边分别相除，得𝑡𝑎𝑛2𝛼2=1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜�

�𝛼.例7的结果还可以表示为sinα2＝±1－cosα2cosα2＝_____±1＋cosα2_，tanα2＝__±1－cosα1＋cosα并称为半角公式，符号由α2所在的象限决定。归纳总结因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方

面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据通过开门见山，提出问题，利用三角解决证明问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对三角公式的灵活运用，

发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-3-选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个重要特点．例８求证：（1）𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽=12[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)],(2)𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜑=2𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜑2𝑐𝑜𝑠

𝜃−𝜑2.这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？证明：（１）因为sin(𝛼+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽,sin(𝛼−𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖

𝑛𝛽,将以上两式的左右两边分别相加，得sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽①即𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽=12[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]（2）由（1）可得sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)=2𝑠𝑖

𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽设𝛼=𝜃+𝜑2，𝛽=𝜃−𝜑2.把𝛼，𝛽代入①，即得𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜑=2𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜑2𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜑2如果不用（１）的结果，如何证明？归纳总结例８的证明用到了换元的方法．如把𝛼

+𝛽看作θ，𝛼−𝛽看作𝜑，从而把包含𝛼,𝛽的三角函数式转化为θ，𝜑的三角函数式．或者，把𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽看作𝑥，cos𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽看作𝑦，把等式看作𝑥，𝑦的方程

，则原问题转化为解方程（组）求𝑥．它们都体现了化归思想．例９求下列函数的周期，最大值和最小值：（１）𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥；（２）𝑦=3𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥．分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+�

�),利用和角公式将其展开，可化为）𝑦=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥的形式．反之，利用和（差）角公式，可将𝑦=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥转化为𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)的形式，进而就可以求得其周期和最值了．解：（1

）𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥=2（12𝑠𝑖𝑛𝑥+√32𝑐𝑜𝑠𝑥）①通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-4-=2（𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋3+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝜋3）=2sin(𝑥+𝜋3)因此，所求周期为2𝜋，最大值为２，最小值为－２．你能说说①这一步变形的理由吗？（２）设𝑦=3𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑),则3𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐�

�𝑠𝑥=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜑+𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝜑于是𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑=3．𝐴𝑠𝑖𝑛𝜑=4于是𝐴2𝑐𝑜𝑠2𝜑+𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝜑=25所以𝐴

2=25.取A＝５，则𝑐𝑜𝑠𝜑=35,𝑠𝑖𝑛𝜑=45．由𝑦=5𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)可知，所求周期为2𝜋，最大值为5，最小值为－5例10如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为𝜋

2的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的

最大值.解：在OBCRt中,cos=OB,sin=BC.在OADRt中,360tan==OADA,-5-所以,sin333333===BCDAOA,所以,sin33cos−=−=OAOBAB.设矩形ABCD的面积为S,则sin)sin33(cos−

==BCABS)2cos1(632sin21sin33cossin2−−=−=63)2cos212sin23(31632cos632sin21−+=−+=63)62sin(31−+=.对于第二步求具体值,要首先

确定变量的取值范围:由03,得52666+.所以当262+=,即6=时,max133.663S=−=因此,当6=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.注：（1）在求解最大值时，要特别注意“03”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到

实际问题.通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数,从而使问题得到简化。化归思想三、当堂达标1．若cosα＝23，α∈(0，π)，则cosα2的值为()A．66B．－66C．306D．－306通过练

习巩固本节所学知识，巩固对三角公式运-6-【解析】由题意知α2∈0，π2，∴cosα2>0，cosα2＝1＋cosα2＝306.【答案】C2．已知cosα＝35，α∈32π，2π，则sinα2等于()A．55B．－55C．45D．255【解析】由题知α2∈34π，π，

∴sinα2>0，sinα2＝1－cosα2＝55.【答案】A3．已知sinα－cosα＝－54，则sin2α的值等于()A．716B．－716C．－916D．916【解析】由sinα－cosα＝－54，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝2516，所以s

in2α＝－916.【答案】C4．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．【解析】∵y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.【答案】π5．求证：4sinθcos2θ2

＝2sinθ＋sin2θ.【证明】法一：左边＝2sinθ·2cos2θ2＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右边，所以原式成立．法二：右边＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ

(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2θ2＝4sinθcos2θ2＝左边，所以原式成立．6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。-7-【精彩点拨】

设∠AOB＝α→建立周长lα→求l的最大值【解答】设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsi

nα＋π4＋R.∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB的周长最大．四、小结1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值

.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把

关系式sincosyaxbx=+化成sin()yAx=+的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．[来源:学科五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主

总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；