【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题4.9 三角形的中位线定理（知识讲解）.docx，共(11)页，375.363 KB，由管理员店铺上传

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1专题4.9三角形的中位线定理（知识讲解）【学习目标】理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等

于第三边的一半.12ABCDEAABCAB几何语言：如图，在中，、为BC中AC、BC的中点。DE为的中位线DE//AB,DE=要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2

）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.=4;(2).SSSSABCDEFADFCEFBDEDEFABCDEFABBCACDEEFDFABC===如图：在中，、、分别为、、三边的中

点，则、、为中位线，则有如下结论：(1).SS（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.12142【典型例题】类型一、三角形中位线有关的求解问题1．如图，RtABCV中，90ACB=，点D，E分别是,ABAC的中点，点F在BC的延长线上，且CEFA=．（1）求证：四边形DCFE是平行四

边形；（2）若26,==BCAB，求四边形DCFE的周长．【解析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE和CD，从而计算结果．（1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵∠

CEF=∠A，∴∠CEF=∠DCE，∴CD∥EF，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥CF，∴四边形DCEF是平行四边形．（2）∵D、E分别是AB、AC的中点，26,==BCAB，∴DE=12BC=1，CD=12AB=3，∴四边形DCFE的周长为

（1+3）×2=8．【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．举一反三3【变式】已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一

点，且AB=12BE．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．（1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，∴CD∥BE，CD=12BE，∴AB=12BE，∴AB=CD，∴四边形AB

CD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3cm，∵CD是Rt△FBE的中位线，∴BC=CE=12EF，∵∠E=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=3cm．【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性

质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD∥AB，CD=AB是解此题的关键．类型二、三角形中位线与面积问题2．如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线．（1）15ABE=，40BAD=，求BED的度数；（2）若ABC的面积为40，5BD=，则E到BC边的距

离为多少．4【答案】（1）55；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E作BC边的垂线即可得：E到BC边的距离为EF的长，然后过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．解：（1）BEDQ是ABE的外角，154055BEDA

BEBAD\??????；（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求的E到BC边的距离，过A作BC边的垂线AG，AD为ABC的中线，5BD=，22510BCBD===，ABCQ的面积为40，1402BCA

G=g，即110402AG?g，解得8AG=，∵AD为ABC的中线，∴11402022ABDABCSSDD==?，又∵BE为ABD的中线，∴11201022EBDABDSSDD==?，则有：1151022BDEFEF=?g4EF=．即E到BC边的距离为4．5【点

拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．举一反三【变式】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；（2

）EF=1，求四边形EBCF的面积．（1）证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF//BC，BE=12AB=12AC=CF，∴四边形EBCF是等腰梯形；（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，∵EF//BC，即E

F//CG，且CG=EF，∴四边形EFGC是平行四边形，又∵四边形EBCF是等腰梯形，∴FG=EC=BF，∵EF=CG，FC=BE，∴△EFB≌△CGF（SSS），∴BFGEBCFSS=V四边形，6∵GC=EF=1，且E

F=12BC，∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3．∵FG//EC，∴∠GFB=∠BOC=90°，∴FH=12BG=32，∴BFGEBCF1393224SS===V四边形．【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的

判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．类型三、与三角形有关的证明3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到A

M是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．证明：如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM

∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，7∴∠BAC=∠DAE=90∴∠EAN=90，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵

AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解

决问题．举一反三【变式】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．证明：四边形EFGH是平行四边形，理由如下连接AC，如图．8∵E，F分别是AB，BC的中点，∴

EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=12AC，同理HG∥AC，且HG=12AC，∴EF∥HG，且EF=HG．∴四边形EFGH是平行四边形．【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活应

用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．类型四、三角形中位线的应用4．在RtABC中，90BAC=o，,EF分别是,ABAC上的点，且//EFBC，作EG平分AEF交于点G，在EF上取点D，使EDEA=，连接D

G并延长，交BA的延长线于点P，连接PF.（1）求证：PDEF⊥；（2）若EDDF=，求BÐ的大小（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG的面积为S，请直接写出PEF的面积（用含S的式子表示）【分析】（1）由已知证明AEGDEG可得出GAEG

DE==90°，即PDEF⊥（2）根据已知由中垂线性质可得GEGF=，即GEFGFEAEG==，由//EFBC即可得出60BAEF==o.(3)由已知可推出3PEFSS=.（1）证明：EGQ平分AEF，AEGDEG=，9在AEG和DEG中，EDEAAEG

DEGEGEG===()AEGDEGSASGAEGDE=90EAG=oQ90GDE=o，即PDEF⊥；（2）,EDDFPDEF=⊥Q，由中垂线性质得：GEGF=，GEFGFEAEG==在RtAEF

中，30,60GEFGFEAEGAEF====oo，又//EFBCQ，60BAEF==o（3）由已知可得：3PEFSS=.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.举一反三【变式】如图，直线1:3lyx=−+与x

轴相交于点A，直线2:lykxb=+经过点31−（，），与x轴交于点()6,0B，与y轴交于点C，与直线1l相交于点D．()1求直线2l的函数关系式；()2点P是2l上的一点，若ABP△的面积等于ABD△的面积的2倍，求点P的坐标．(

)3设点Q的坐标为3m（，），是否存在m的值使得QAQB+最小？若存在，请求出点Q10的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=13x-2；（2）（212，32）或（32，−32）；（3）（92，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入

直线l2，求出k、b的值即可；（2）设点P的坐标为（t，13t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．解：（1）由题知

：1306kbkb−++＝＝解得：213bk−＝＝，故直线l2的函数关系式为：y=13x-2；（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t，13t-2）．解方程组1233yxyx−−+＝＝，得15434xy−＝＝，

∴点D的坐标为（154，-34）．∵S△ABP=2S△ABD，∴12AB•|13t-2|=2×12AB•|-34|，即|13t-2|=32，解得：t=212或t=32，∴点P的坐标为（212，32）或（32，−32

）；（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．11由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线

A′B上，∴3=-2m+12解得：m=92，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（92，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作

出辅助线，利用轴对称的性质求解．