【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题4.15 平行四边形-常考题（专项练习）.docx，共(38)页，255.350 KB，由管理员店铺上传

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1专题4.15平行四边形-常考题（专项练习）一、单选题1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平

行四边形时，运动时间为（）A.4sB.3sC.2sD.1s2.根据下列条件，能作出平行四边形的是（）A.两组对边的长分别是3和5B.相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9C.一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8D.一边

的长为7，两条对角线的长分别为6和53.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<94.若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则

第四个顶点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2

S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（）A.②④B.①②④C.①②③④D.②③④6.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,𝐴𝐷=2√3,𝐷𝐸=2,则四边形OCED的面积为（）2A.4B.2√

3C.4√3D.87.如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.68.如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1

；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（）A.122013B.122014C.122015D.1220169.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.∠A=∠C，∠B=∠DB.∠A=∠B=∠C=

90°C.∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D.∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°10.如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立

的是（）3A.S△BEC=2S△CEFB.EF=CFC.∠DCF=12∠BCDD.∠DFE=3∠AEF11.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F，𝑆△𝐴𝑂𝐸=3,𝑆△𝐵𝑂𝐹=5,则

▱ABCD的面积…（）A.24B.32C.40D.4812.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是()A.∠D的度数为αB.a∶b＝CD∶BCC.若α＝6

0º，则平行四边形ABCD的周长为43√3(𝑎+𝑏)D.若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半二、填空题13.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延

长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：________使四边形ABCD是平行四边形。14.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF

=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.415.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为__

______．16.如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD=________17.如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，𝐴�

�=5，𝐵𝐸=2，则𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是________.18.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝________.19.如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是

坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．520.在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=________cm．21.如图，平面直角坐标系中,直线y=43x＋8分别交x轴，y轴于A，B

两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP＋PH＋HQ值最小时，点P的坐标为________。22.如图，在平行四边形ABCD中

，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为________.23.如图，口ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为________。624.如图，在□𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹

.若𝐴𝐸=4，𝐴𝐹=6，且□𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为40，则□𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为________。三、解答题25.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速

度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？26.如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.27.如图，△ABC是边长为10

的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B7不重合）．求证：BP＝AQ；（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点

P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．28.已知：如图，在四边形ABCD中，AC与

BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．四、综合题（共6题；共78分）29.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F

，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5√3，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发

沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．8（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线

段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△B

EF的面积是2√3？31.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE

′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。32.在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒

．（1）当t=2时，∠NMP=________度；（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．33.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴

正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．9（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E

的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM=√3，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上

时，直接写出所有满足条件的t的值．34.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并

加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．10参考答案一、单选题1.【答案】B【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，根据题意得到12-3t=t，解

得：t=3，故选B．【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．2.【答案】A【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质，平行四边形的判定【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；B，因为

3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边

关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；故选A．【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．3.【答案】D【考

点】三角形三边关系，平行四边形的性质【解析】【解答】解：如图11∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=12BD=5，OC=12AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。4.【答

案】C【考点】坐标与图形性质，平行四边形的判定【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；③以AB为对角线作平行四边形AC

BD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限．故选：C．【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答

案．5.【答案】B12【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BC

D=2∠DCF，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，{∠𝐴=∠𝐹𝐷𝑀𝐴𝐹=𝐷𝐹∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝑀，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE

=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，13∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC

，故S△BEC=2S△CEF，故③错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，故选：B．【分析】利用平行四边形的性质：平

行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．6.【答案】B【考点】勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定【解析】【解答】解：连接OE，与DC交于

点F.∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD.∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形.∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，14∴DF=CF，OF

=EF，DC⊥OE.∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形.∵AD=2√3,DE=2，∴𝑂𝐸=2√3,∴𝑂𝐹=𝐸𝐹=√3.在Rt△DEF中，根据勾股定理得：𝐷𝐹=√22−(√3)2=1,∴

DC=2，∴𝑆菱形𝑂𝐶𝐸𝐷=12𝑂𝐸⋅𝐷𝐶=12×2√3×2=2√3．故选B.7.【答案】B【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我们不难

看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝EF，所以EF＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题8.【答案】C【考点】平

行四边形的性质，矩形的性质【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的12，∴平行四边形AOC1B的面积=12×1=12，∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2

，∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的12，∴平行四边形ABC3O2的面积=12×12×1=122，15…，依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积=122015cm2．故答案为：C．【分析

】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.9.【答案】D【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】（A）

∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；（B）∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明

四边形ABCD为矩形，故B选项正确；（C）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；（D）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足

以证明四边ABCD为平行四边形，故D选项错误．故选D．【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．10.【答案】A【考点】平行四边形的性质【解析】【解答

】A、延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，16∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞B

E，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；B、∵△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；C、∵F是AD的中点，∴AF=F

D，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；17D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=1

80°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．故答案为：A．【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>A

B，所以𝑆△𝐸𝑀𝐶>𝑆△𝐵𝐸𝐶，所以𝑆△𝐵𝐸𝐶<2𝑆△𝐸𝐹𝐶，所以A错误.B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=90°，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半，所以EF=FC；C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=12∠𝐵𝐶𝐷；D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.11.【答案】B【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OB=OD，

AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO在△DOE和△BOF中{∠𝐸𝐷𝑂=∠𝐹𝐵𝑂𝑂𝐷=𝑂𝐵∠𝐷𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝐹)∴△DOE≌△BOF（ASA）∴S△DOE=S△BOF=5∵S△AOD=S△AOE+S△DOE=3+5=8∴平行四边形ABCD的面积为：4S△AO

D=4×8=32.故答案为：B.【分析】利用平行四边形的性质易证OB=OD，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠EDO=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，利用全等三角形的面积相等，可得到S△DOE=S△BOF=5，从

而可求出△AOD的面积，然后根据平行四边形ABCD的面积为18=4S△AOD，代入计算可求解。12.【答案】D【考点】勾股定理，平行四边形的性质【解析】【解答】解：A.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=

90°，∴∠α+∠C=180°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C+∠D=180°，∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；B.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，∵AE＝

a，AF＝b，∴BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；C.由A知∠D=∠α，∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，∴∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=30°，在Rt△ABE中，∵AE＝a，∴

BE=12AB，AB2=BE2+AE2，即AB2=（12AB）2+a2，解得：AB=2√33a，∵AF⊥CD，∴∠AFC=90°，∴∠DAF=30°，在Rt△ADF中，∵AF＝b，19∴DF=12AD，AD2=DF2+AF2，即AD2=（12A

D）2+b2，解得：AD=2√33b，∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（2√33a+2√33b）=4√33（a+b），故正确，C不符合题意；D.由C知AB=2√33a，AD=2√33b，∴BE=√33a，DF=√33b，∴S△ABE=12·BE·AE=12×√33a×a=√36

a2，S△ADF=12·DF·AF=12×√33b×b=√36b2，∵S四边形ABCD=BC·AE=2√33ab，∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，=2√33ab-√36a2-√36b2，故错误，D符合题意；故答案为：D.【分析】A.根据垂直定义和四

边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；B.由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；C.由A知∠B

=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=2√33a，AD=2√33b，根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=4√33（a+b），故正确；D.由C知AB=2√33a，AD=2√33b，从而可得BE=√33a，DF=√33b，根据三角形面积公式分别

求得S△ABE=√36a2，S△ADF=√36b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=2√33ab-√36a2-√36b2，故错误.二、填空题2013.【答案】AB=BF【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】添加条件是AB=BF，理由是：∵CD∥

AF，∴∠CDE=∠F，∵E是BC边的中点，∴CE=BE，在△CDE和△BFE中{∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐹∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐵𝐸𝐹𝐶𝐸=𝐵𝐸∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DC=BF，∵AB=BF，CD∥AF，∴AB=CD，CD∥AB，∴四边

形ABCD是平行四边形，故答案为：AB=BF．【分析】添加条件是AB=BF，求出∠CDE=∠F，CE=BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC=BF，推出AB=CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．14.【答案】①②④．【考点】平行线的性质，

全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质【解析】【解答】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，

故此选项正确；21延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，{∠𝐴=∠𝐹𝐷𝑀𝐴𝐹=𝐷𝐹∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝑀，∴△AEF≌△D

MF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△

CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，22∴∠DFE=3∠AEF

，故此选项正确．15.【答案】2或2√3或√19【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质【解析】【解答】解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=12AB=1，∴AM=√

3BM=√3，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC=√𝐴𝑀2+𝐶𝑀2=2√3，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP

=CD=AB=2时，BP=√𝐵𝐶2−𝐶𝑃2=√42−22=2√3；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：23则CP=AM=√3，∴BP=√𝐵𝐶2+𝐶𝑃2=√19；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2√3或√19．【分析】根据题意得到两种情况，当∠BPC=90°

时，根据平行四边形的性质对边相等，和由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BM的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，得到当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，BP=BA；当∠BCP=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，根据勾股定

理求出BP的值，得到△PBC为直角三角形时，BP的值.16.【答案】150°【考点】三角形内角和定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC，∴∠ODB=∠DBC=15°.又由折叠的性质知,∠EBD=

∠CBD=15°,即∠OBD=15°，∴在△OBD中,∠BOD=180°−∠OBD−∠ODB=150°，17.【答案】16【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中,AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=

∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=5，BE=2，∴AD=BC=5，∴CE=BC−BE=5−2=3，∴CD=AB=3，24∴▱ABCD的周长=5+5+3+3=16.故答案为：16.【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得

CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.18.【答案】105°【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=12∠1=25°，∴∠ADB=25°

根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105°故答案为：105°。【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。19.【答案】5【考点】平行四边形的性质【解析】【解

答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中

，25{∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝐵𝐸∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝐵𝑂𝐴=𝐵𝐶，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为：5．【分析】结合图形可知对角线OB长的最小，利用平行四边形的每组对边平行

且相等及垂直所得直角可证得△AOD≌△CBE，从而可求得BE的长，即可求得满足条件的OB长.20.【答案】4【考点】勾股定理，平行四边形的性质【解析】【解答】在▱ABCD中∵BC=AD=6cm，AO=CO∵AC⊥BC，∴

∠ACB=90°，∴AC=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=8cm，∴AO=12AC=4cm；故答案为：4【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出BC=AD=6cm，AO=CO，根据勾股定理得出AC，从而可求得AO。21

.【答案】(-4,4)【考点】待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质【解析】【解答】连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，26∵四边形PHCB是平行四边形，∴PB=CH，∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+

4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵两点之间线段最短，∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴OA是△BQM的中位线，∴QM=2OA=12，OM=OB=8，

∴Q（-12，-8），设直线CQ的关系式为：y=kx+b，将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：{𝑏＝4−12𝑘+𝑏＝−8，解得：{𝑏＝4𝑘＝1，∴直线CQ的关系式为：y=x+4，令y=0得：x=

-4，∴H（-4，0），27∵PH∥y轴，∴P（-4，4）．【分析】连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而根据平行四边形对边相等得出：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+4，然后根据两点之

间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后利用待定系数法求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标．22.【答案】2【考点】平行四

边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∵AB＝3，B

C＝5，∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝2.故答案为2.【分析】根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行、内错角相等得出∠AEB＝∠CBE，根据角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，故∠AEB＝∠ABE，根据等角对等边得出AE＝AB，从而利用DE

＝AD－AE＝BC－AB即可算出答案。23.【答案】14【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD∴AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6∵AC+BD=16∴2OC+2OB=16∴OC+OB=828∴△BOC的周长为：O

B+OC+BC=8+6=14故答案为：14【分析】利用平行四边形的性质，可证得AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6，再求出OC+OB的值，然后求出△OBC的周长。24.【答案】48【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵▱AB

CD的周长=2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，整理得,BC=32CD②，联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.故答案为：48.三、解答

题25.【答案】解：①以PQAD构成四边形设X秒成为平行四边形根据题意得：x=24﹣3x∴x=6∴当运动6s时成为平行四边形；②以PQBC构成四边形设Y秒成为平行四边形根据题意得：10﹣y=3y∴y=2.5∴当运动2.5s时也成为平行四边形．③四边形PAQC、四边形PDQ

B其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．故答案为6秒、2.5秒、7秒29【考点】平行四边形的判定【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形P

QAD；②可以构成四边形PQBC两种．26.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，∴OA＝OC,DF∥EB∴∠E＝∠F又∵∠EOA＝∠FOC∴△OAE≌△OCF,∴OE＝OF【考点】平行

四边形的性质【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题27.【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，∵AP＝

CQ，∴△BAP≌△ACQ（SAS），∴BP＝AQ．（Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠

AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，∴在△APE和△BQF中，{∠𝐴�

�𝑃=∠𝐵𝐹𝑄∠𝐴=∠𝐹𝐵𝑄𝐴𝑃=𝐵𝑄，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE＝12EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝12AB，又∵等边△ABC的边长为10，∴DE＝5，∴当点P、Q运动时，

线段DE的长度不会改变．30【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质【解析】【分析】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运

动且速度相同，可知AP＝BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝12AB，由等边△ABC的

边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．28.【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形【考点】平行四边形的判定【

解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；因此只须证明AB=CD即可。四、综合题29.【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中{𝐴

𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐸=𝐵𝐴)∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；31（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．【

考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2A

F，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理

即可证明四边形ADFE是平行四边形．30.【答案】（1）10；5（2）解：EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥

BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5

√3×√33=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10﹣2t，t=103．即当t=103时，四边形AEFD为菱形（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF=12CD，

∴CF=√3t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5√3﹣√3t，∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=12×𝐵𝐹×𝐵𝐸=2√3，即：12(5−𝑡)(5√3−√3𝑡)=2√3，32解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=

3时，△BEF的面积为2√3．故答案为：5，10；平行且相等；103；3【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定【解析】【分析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2A

B，根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴3AB2=75，∴AB=5，AC=10；在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证

得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5√3﹣√3t，从而得到𝑆△𝐵𝐸𝐹=12×𝐵𝐹×𝐵𝐸=2√3，

然后求得t的值．31.【答案】（1）【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）【解答】四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺

时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB-AE′=CD-CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．33【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正

方形的性质【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以B

E′=DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形．32.【答案】（1）30（2）解：若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4∴DE=12AD=2，AE=2√

3，∴AM=t，PC=2﹣t要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC∴t=2﹣t得t=1．若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．（3）解：若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，如图3中，当∠NPC=90°时，则M、

N、P在同一直线上，∴∠CNP=∠MNB=30°，∴BM=12BN，即4﹣t=12t，解得，t=83．如图4中，当∠PNC=90°时，34易知BG=2（4﹣t），MG=√3（4﹣t），GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°=2√33（3t

﹣8），∵PM=2√3，∴MG+GP=2√3，∴√3（4﹣t）+2√33（3t﹣8）=2√3，解得t=103，综上所述，t=83s或t=103时，△PNC是直角三角形．【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：（1）如

图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，∵PM⊥AB，∴PA=PB，35∴P与C重合，∵MN∥AC，【分析】连接AC，由t=2可得到AM

=BM=2，BN=CN=2，然后依据线段垂直平分线的性质可得到PA=PB，推出P与C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=12∠ACB=30°；（2）当点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD，垂足为E，然

后依据AM=PC列方程求解即可；（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，分两种情形讨论求解即可.33.【答案】（1）解：BC=12OC=3，则𝑡=32，OP=32，则OE=

OP+PE=OP+OA=32+3=92，则E的坐标是（92，0）（2）解：∵四边形PCOD是平行四边形，∴OC=PD，在△AOC和△EPD中，{𝑂𝐴=𝑃𝐸∠𝐴𝑂𝐶=𝐸𝑃𝐷𝑂𝐶=𝑃𝐷，∴△AOC≌△EPD，∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，∴

AC∥DE，∴四边形ADEC是平行四边形（3）解：C的坐标是（0，6﹣2t），P的坐标是（t，0），则F的坐标是（t+2，0）．，E的坐标是（t+3，0），D的坐标是（t，2t﹣6）．设CE的解析式是y=kx+b，则{𝑏=6−2𝑡(𝑡+3)𝑘+𝑏=0，解得：{𝑏=6

−2𝑡𝑘=2𝑡−3𝑡+3，36则CE的解析式是y=2𝑡−3𝑡+3𝑥+(6−2𝑡)，同理DE的解析式是y=6−2𝑡3𝑥+2(9−𝑡2)3．当M在CE上时，M的坐标是（t+2，√3）

，则2𝑡−3𝑡+3(𝑡+2)+(6−2𝑡)=√3，解得：t=21﹣12√3，或t=1.5．当N在DE上是，N的坐标是（t+2，﹣1），则6−2𝑡3(𝑡+2)+2(9−𝑡2)3=﹣1，解得：t=3+32

√3或t=9．总之，𝑡1=21−12√3，t2=1.5，𝑡3=3+32√3，t4=9【考点】平行四边形的判定与性质【解析】【分析】（1）当C运动到OB的中点时，根据时间t=路程/速度即可求得，进而求得E的坐标；（2）证明△AOC≌△EPD，则AC=DE，∠CA

O=∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC为平行四边形；（3）利用待定系数法求得CE和DE的解析式，然后用t表示出M、N的坐标，代入解析式即可求得t的值．34.【答案】（1）【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF（选

证一）△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°．又∵

EF=AE，∴BD=FE．37∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+C

E．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60°．∵EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60°．∴△ABE≌△

ACF．（2）【解答】四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．∴AB∥DF，BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．

（3）【解答】由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG=2√3.∴S四边形ABEF=12𝐸𝐺·(𝐴𝐵+𝐸𝐹)38=12×2√3×(6+4)=10√3．【考点】平行四边形的判定【解析】【分

析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，E

F≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．