【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题4.13 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）.docx，共(25)页，725.144 KB，由管理员店铺上传

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1专题4.13《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.掌握平行四边形的概念，理解并掌握它们之间边、角、对角线之间的关系.2.探索并掌握平行四边形有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3.掌握三角形中位线定理.4.掌握多边形内角和与外

角和，并解决相关问题。【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组

对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（

7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.高底平行四边形=S21

2ABCDEAABCAB几何语言：如图，在中，、为BC中AC、BC的中点。DE为的中位线DE//AB,DE=要点三、反证法的步骤反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾

;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题.适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.简而言之：反证法步骤：①提出假设；②推理论证；③得出矛盾；④结论

成立。【典型例题】类型一、平行四边形的性质1（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在ABCDY中，AP､BP分别是DAB和CBA的角平分线，已知5AD=．（1）求线段AB的长；（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．①请在答卷上补全图形；②

若6BP=，求ABQ△的周长．【答案】（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，进而得出3AB的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到

AB＝QB，再根据BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长．【详解】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP

＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，A

P＝QP，∴Rt△ABP中，AP=22ABBP−=8，4∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．举一反三：【变式1】（2021·上海九年级专题练习）如图，ABCDY中，E、F

是直线AC上两点，且AECF=．求证：（1）BEDF=；（2）//BEDF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．证明：（1）Q

四边形ABCD是平行四边形，,//ADBCADBC=，DACBCA=，DAFBCE=，AECF=Q，AFEC=，在ΔFAD和ΔECB中，AFCEFADECBADBC===，ΔΔ()FA

DECBSAS，BEDF=；5（2）ΔΔFADECBQ，FE=∴，//BEDF．【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题的关键．【变式2】（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，点E在

ABCDY内部，//,//AFBEDFCE．（1）求证：BCEADFV；（2）求证：AEDF1S2ABCDS=Y四边形【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明CBEDAF=，BCEADF=，然后利用ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在ABCDY内部，可知

：S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，可得结论．【详解】解：()1四边形ABCD是平行四边形，,//ADBCADBC=Q，180,ABCBAD+=o//,AFBEQ180,EABBAF+=,CBEDAF=同理得,BCEADF=6()BCEADFASA

()2点E在ABCDY内部，∴12BECAEDABCDSSS+=Y，由()1知：,BCEADFBCEADFSS=∴AEDF1S2ADFAEDBECAEDABCDSSSSS=+=+=Y四边形．【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性

质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．类型二、平行四边形的判定2（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中//ADBC，5cmAD=，9cmBC=，M是CD的中点，P是BC边

上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【答案】（1）见解析

；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，7∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ

，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．举一反三：【变式】（2021·广东广州市·八年级

期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：VAEF≌VDEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线

的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．8解：（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD

，∴∠FAE＝∠CDE，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中FAECDEAEDEAEFDEC===，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．【点拨】本题考查平行四边形的判定与

性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．【变式】（2021·山东烟台市·八年级期末）在ABCV中，ABAC=，点D在边BC所在的直线

上，过点D作//DFAC交直线AB于点F，//DEAB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DEDFAC+=．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②，线段DE，DF，AC之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点D在

边BC的反向延长线上时，如图③，线段DE，DF，AC之间的数量关系是____（不需要证明）．【答案】）（1）见解析；（2）DFACDE=+，见解析；（3）DEACDF=+【分析】9（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；（2）结论：当点D在边BC的延

长线上时，在图②中，DFACDE=+，证明方法类似（1）；（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，DEACDF=+．证明方法类似（1）．证明：（1）∵//DFAC，//DEAB．∴四边形AFDE是平行四边形．∴DFA

E=．∵ABAC=．∴BC=．∵//DEAB．∴EDCB=．∴EDCC=．∴DEEC=．∴DEDFECAEAC+=+=．（2）DFACDE=+．理由：∵//DFAC，//DEAB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AEDF=．∵//DEAB，∴BBDE=．∵ABAC=，∴BA

CB=．∵DCEACB=，10∴BDEDCE=．∴DECE=．∴ACDEACCEAEDF+=+==．（3）DEACDF=+理由：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF

=AE，∠EDC=∠ABC，又∵∠AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，∴DEECAEACACDF==+=+．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型．类型三、三角形的中位线3（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在ABCV中，CD是AB边的中线，E是CD的中点，连接AE并延长交BC于点F．求证：2BFCF=．11【答案】见解析【分析】取AF的中点M，连接DM，则DM是

△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．证明：取AF的中点M，连接DM，∵CD是AB边的中线，∴D是AB边的中点，∴2BFDM=，//DMBC．∴MDEFCE=，DMECFE=．∵E是C

D的中点，∴DECE=，在△MDE和△FCE中，MDEFCEDMECFEDECE===∴MDEFCE≌△△．∴DMCF=，∴2BFCF=．【点拨】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边12且等于第三边的一半．【变式】（2021·山东淄博市·八年级期末）

如图，在RtABC△中，90BAC=，中线BD，CE相交于点O，点F，G分别为OB，OC的中点．（1）求证：//EFDG，EFDG=；（2）若3AB=，4AC=，求四边形EFGD的面积．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用中位线性质可得12EDBC=，//EDBC．12

FGBC=，//FGBC．可证四边形EFGD是平行四边形．由平行四边形性质可得EFDG=，//EFDG．（2）由EFGDY和OGGC=，可推得EOOGCG==．求13462ABCS==△由点D是A

C中点，1322DECAECSS==△△．由三等分可求2231332DEGDECSS===△△．根据平行四边形性质可得四边形DEFG的面积22DEGS==△．（1）证明：∵点E，D分别是AB，AC的中点，∴12EDBC=，/

/EDBC．∵点F，G分别是OB，OC的中点，∴12FGBC=，//FGBC．∴FGED=，//FGED．∴四边形EFGD是平行四边形．∴EFDG=，//EFDG；（2）解：∵EFGDY，∴EOOG=．13又∵OGGC=，∴EOOGCG==．∵3AB=，4AC=，∵13462ABCS==△

，∵点D是AC中点，∴1322DECAECSS==△△．∴2231332DEGDECSS===△△．∴四边形DEFG的面积22DEGS==△．【点拨】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握

中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键．类型四、多边形的内角和与外角和4（2021·江西赣州市·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角

∠DBC，∠ECB．①若∠A=50º，则∠O=______，∠P=______；②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；（3）如图

3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系______．【答案】（1）①115º；65º；②1902+，1902−；（2）1180()2AD

P=−+，14理由见解析；（3）1360()2PABEF=−+++【分析】（1）①由OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，可得∠ABO=1BC2A，∠ACO=1CB2A，由外角推出∠O=90°+12A∠=115°，由BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠

ECB，可得∠DBP=1DBC2，∠ECP=1ECB2，可推求出，1P=90-A2即可，②由①得∠O=90°+12A∠，1P=90-A2，把∠A=α代入可得∠O=90°+12，1P=90-2；（2）由

BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，可得∠CBP=1EBC2；∠BCP=1FCB2，推出1P180()2AD=−+；（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，由（2）得1180()2MNP=−+，由外角可求∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠

N=∠EFA+∠DEF-180º，可求∠M+∠N=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，即可推出结论．解：（1）①连结AO并延长到Q，连结PA∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABO=1BC2A；∠ACO=1CB2A，∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠Q

OC=∠OCA+∠OAC，∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，∴∠BOC=∠BAC+1BC2A+1CB2A，=∠A+1BC2A（+CBA），=∠A+180°-12A∠，=90°+12A∠，=115°

，15BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，∴∠DBP=1DBC2；∠ECP=1ECB2，∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，∴()1DBC+ECB=A+P2

，∴()1180+A=A+P2，∴90º+1A=A+P2，∴1P=90-A=90-25=652，故答案为：115º；65º；②由①得∠O=90°+12A∠，1P=90-A2，∵∠A=α，∴∠O

=90°+12，1P=90-2，故答案为：∠O=90°+12，1P=90-2，()2解：1180()2ADP=−+，16理由如下：在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，∴∠C

BP=1EBC2；∠BCP=1FCB2，()180BPPCPCB=−+，()11802EBCFCB=−+，()11801801802ABCDCB=−−+−，()1180360

2ABCDCB=−−−，1180()2AD=−+；（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，由（2）得1180()2MNP=−+，∴∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-

180º+∠EFA+∠DEF-180º=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，∴1180(BAF+ABC+FED+AFE-360)2P=−，∴1180(BAF+ABC+FED+AFE+1028)P=−，∴1360(A+B+E+F)2P=−

，故答案为：1360(A+B+E+F)2P=−．17【点拨】本题考查两内角平分线夹角的性质，与两外角平分线夹角性质，掌握角平分线的性质，多边形内角和公式，外角与内角关系是解题关键．举一反三：【变式】（2020·湖北黄冈市·思

源实验学校八年级月考）如图1，已知ACD是ABCV的一个外角，我们容易证明ACDAB=+，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，DBC与E

CB分别为ABCV的两个外角，则DBCECB+_______180A+（横线上填“>”、“<”或“=”）．初步应用：（2）如图3，在ABCV纸片中剪去CEDV，得到四边形ABDE，1135=，则2C−=_______．（3）解决问题：

如图4，在ABCV中，BP、CP分别平分外角DBC、ECB，P与A有何数量关系？请尝试证明．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角EBC、FCB，请利用上面的结论直接写出P与A、D的数量关系．【答案

】（1）=（2）45°（3）1902PA=−；证明见解析（4）1118022PAD=−−18【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，两式相加可得结论

；（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1−∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝12∠DBC，∠BCP＝12∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（

1）中得的结论：∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，可得：∠P＝90°−12∠A；（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，由角平分线得：∠3＝12∠EBC＝90°−12∠1，∠4＝12∠FCB＝90°−12∠2，相加可

得：∠3＋∠4＝180°−12（∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．解答：（1）∠DBC＋∠ECB−∠A＝180°，理由如下：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，∴∠

DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，故答案为：＝；（2）∠2−∠C＝45°．理由是：∵∠2＋∠1−∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2−∠C＋135°＝180°，∴∠2−∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°−1

2∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝12∠DBC，∠BCP＝12∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°−∠CBP−∠BCP＝180°−12（∠DBC＋∠ECB），∵∠DBC＋∠E

CB＝180°＋∠A，∴∠P＝180°−12（180°＋∠A）＝90°−12∠A；19（4）∠P＝180°−12（∠A＋∠D）．理由是：如图：∵∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴

∠3＝∠EBC＝90°−12∠1，∠4＝12∠FCB＝90°−12∠2，∴∠3＋∠4＝180°−12（∠1＋∠2），∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°−（∠A＋∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°−（∠3＋∠4）＝12（∠1＋∠2），∴∠P＝12×[360°−（∠A＋∠D）]＝180

°−12（∠A＋∠D）．【点拨】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．类型五、平行四边形的性质与判定的综合训练5如图，平

行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．【答案与解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△

ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，20∴∠OBE=∠ODF．在△OBE与△ODF中，OBEODFBOEDOFBEDF＝＝＝∴△OBE

≌△ODF（AAS）．∴BO=DO．（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO

，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等

是解决问题（1）的关键．举一反三：【变式】已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若12EFDF=，AF=13，求DG的长；（2）如图

2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM=2DG．21【答案与解析】（1）设EF=x，DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD，根据勾股定理求出x，在△ADF中，根据三角形面积公式求出即可；

（2）过D点作DK⊥DM交AC于点K，求出MDKV为等腰直角三角形，求出MK=2DG即可．（1）解：设EF=x，12EFDF=Q，DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD在RtADFV中，AD2+DF2=AF2，

222(3)(2)(13)xx+=，∵x＞0，∴x=1，∴EF=1，DF=2，AD=3，∴由三角形面积公式得：11,22ADFSADDFAFDG=•=•V即32613,1313ADDFDGAF===

g（2）证明：过D点作DK⊥DM交AC于点K，∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，∴∠1=∠2，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，又∵∠4=∠EFM，∴∠3=∠5，在△ADK和△EDM中221235ADDE===，∴ADKEDM

VV≌（ASA），∴DK=DM，AK=EM，∴MDKV为等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK=2DG，∴AM﹣EM=AM﹣AK=MK=2DG．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．6

、如图，已知，在ABCV中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．（1）求证：AF＝CE．（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：90ABC

AEB+=．【答案与解析】（1）先根据线段中点的定义可得ADCD=，再根据平行线的性质可得,FCEDDAFDCE==，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）如图（见解析），先根据平行四边形的判

定与性质可得//CFAE，再根据平行线的性质可得AEAB⊥，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得证．（1）证明：Q点D是边AC的中点，23ADCD=，//AFBEQ，,FCEDDAFDCE==，在

ADFV和CDE△中，FCEDDAFDCEADCD===，()ADFCDEAASVV，AFCE=；（2）解：由（1）知，AFCE=，//AFBEQ，四边形AECF是平行四边形，/

/CFAE，CFAB⊥Q，AEAB⊥，90BAE=，90ABCAEB+=．【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．类型六、反证法7.（用反证法证明）已知

直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．【答案】证明：假设a与b相交，24则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b．【考点】反证法【解析】【分析】用反证法进行证明；先假设原命题

不成立，然后经过推导得出与已知或定理相矛盾，从而证得原结论正确．举一反三：【变式1】用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【答案】已知在△ABC中，M、

N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不

成立，故BN、CM不能互相平分，【考点】反证法【点拨】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【变式2】.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【答案】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1=∠A+∠B，证明：假设∠1

≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠2，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2，∴∠1=∠A+∠B，25与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立即：∠1=∠A+∠B．【考点】反证法【点拨】首先假设三角形的一个外角不等于与它不

相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．