【文档说明】《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题03 导数及其应用（选填题）（理科专用）（教师版）.docx，共(14)页，480.612 KB，由管理员店铺上传

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专题03导数及其应用（选填题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】已知𝑎=3132,𝑏=cos14,𝑐=4sin14，则（）A．𝑐>𝑏>𝑎B．𝑏>𝑎>𝑐C．𝑎>𝑏>𝑐D．𝑎>𝑐>𝑏【答案】A【解析】【分析】由𝑐𝑏

=4tan14结合三角函数的性质可得𝑐>𝑏；构造函数𝑓(𝑥)=cos𝑥+12𝑥2−1,𝑥∈(0,+∞)，利用导数可得𝑏>𝑎，即可得解.【详解】因为𝑐𝑏=4tan14,因为当𝑥∈(0,π2),sin𝑥<𝑥<tan𝑥所以tan14>14,即𝑐𝑏>1,所以𝑐>𝑏

；设𝑓(𝑥)=cos𝑥+12𝑥2−1,𝑥∈(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=−sin𝑥+𝑥>0，所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增，则𝑓(14)>𝑓(0)=0,所以cos14−3132>0，所以𝑏>𝑎,所以𝑐>𝑏>𝑎，故选：A2．【2022年新高

考1卷】设𝑎=0.1e0.1,𝑏=19，𝑐=−ln0.9，则（）A．𝑎<𝑏<𝑐B．𝑐<𝑏<𝑎C．𝑐<𝑎<𝑏D．𝑎<𝑐<𝑏【答案】C【解析】【分析】构造函数𝑓(𝑥)=ln(1

+𝑥)−𝑥，导数判断其单调性，由此确定𝑎,𝑏,𝑐的大小.【详解】设𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥(𝑥>−1)，因为𝑓′(𝑥)=11+𝑥−1=−𝑥1+𝑥，当𝑥∈(−1,0)时，𝑓′

(𝑥)>0，当𝑥∈(0,+∞)时𝑓′(𝑥)<0，所以函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，所以𝑓(19)<𝑓(0)=0，所以ln109−

19<0，故19>ln109=−ln0.9，即𝑏>𝑐，所以𝑓(−110)<𝑓(0)=0，所以ln910+110<0，故910<e−110，所以110e110<19，故𝑎<𝑏，设𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)(0<𝑥

<1)，则𝑔′(𝑥)=(𝑥+1)e𝑥+1𝑥−1=(𝑥2−1)e𝑥+1𝑥−1,令ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1，ℎ′(𝑥)=e𝑥(𝑥2+2𝑥−1)，当0<𝑥<√2−1时，ℎ′(𝑥)<0，函数ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1

单调递减，当√2−1<𝑥<1时，ℎ′(𝑥)>0，函数ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1单调递增，又ℎ(0)=0，所以当0<𝑥<√2−1时，ℎ(𝑥)<0，所以当0<𝑥<√2−1时，𝑔′(𝑥)>0，函数𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)单调递增，所以�

�(0.1)>𝑔(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以𝑎>𝑐故选：C.3．【2021年新高考1卷】若过点(),ab可以作曲线exy=的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【解析】【分析

】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye=的图象，根据直观即可判定点(),ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在

曲线xye=上任取一点(),tPte，对函数xye=求导得exy=，所以，曲线xye=在点P处的切线方程为()ttyeext−=−，即()1ttyexte=+−，由题意可知，点(),ab在直线()1ttyexte=+−上，可得()()11tttbaeteate=+−=+−，令(

)()1tftate=+−，则()()tftate=−.当ta时，()0ft，此时函数()ft单调递增，当ta时，()0ft，此时函数()ft单调递减，所以，()()maxaftfae==，由题意可知，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点，则(

)maxabfte=，当1ta+时，()0ft，当1ta+时，()0ft，作出函数()ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye=的图象如图所示，根据直观即可判定点(),ab在

曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清

晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.4．【2020年新课标1卷理科】函数43()2fxxx=−的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）A．21yx=−−B．21yx=−+C．23yx=−D．21yx=+【答案】B【解析】【分析】求得函数()yfx=的导数()

fx，计算出()1f和()1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432fxxx=−，()3246fxxx=−，()11f=−，()12f=−，因此，所求切线的方程为()121yx+=−−，即21yx=−+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，

考查计算能力，属于基础题5．【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数

的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx=上的切点为()00,xx，则00x，函数yx=的导数为12yx=，则直线l的斜率012kx=，设直线l的方程为()

00012yxxxx−=−，即0020xxyx−+=，由于直线l与圆2215xy+=相切，则001145xx=+，两边平方并整理得2005410xx−−=，解得01x=，015x=−（舍），则直线l的方程为210xy−+=，即1122yx=+

.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．【2019年新课标3卷理科】已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ae处的切线方程为2yxb=+，则A．,1aeb==−

B．,1aeb==C．1,1aeb−==D．1,1aeb−==−【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．【详解】详解：ln1,xyaex=++1|12xkyae===+=，1ae−=将(1,1)代

入2yxb=+得21,1bb+==−，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7．【2018年新课标1卷理科】设函数()()321fxxaxax=+−+．若()f

x为奇函数，则曲线()yfx=在点()00，处的切线方程为()A．2yx=−B．yx=−C．2yx=D．yx=【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a=，进而得到()fx的解析式，再对()fx求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数()fx是

奇函数，所以10a−=，解得1a=，所以3()fxxx=+，2()31xf'x=+，所以'(0)1,(0)0ff==，所以曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)yffx−=，化简可得yx=，故选D.点睛：

该题考查的是有关曲线()yfx=在某个点00(,())xfx处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()fx，借助于导数的

几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8．【2022年新高考1卷】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1，则（）A．𝑓(𝑥)有两个极值点B．𝑓(𝑥)有三个零点C．点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心D．直线𝑦=2�

�是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合𝑓(𝑥)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1，令𝑓′(𝑥)>0得𝑥>√33

或𝑥<−√33，令𝑓′(𝑥)<0得−√33<𝑥<√33，所以𝑓(𝑥)在(−√33,√33)上单调递减，在(−∞,−√33)，(√33,+∞)上单调递增，所以𝑥=±√33是极值点，故A正确；因𝑓(−√33)=1+2√39>0，𝑓(√33)=

1−2√39>0，𝑓(−2)=−5<0，所以，函数𝑓(𝑥)在(−∞,−√33)上有一个零点，当𝑥≥√33时，𝑓(𝑥)≥𝑓(√33)>0，即函数𝑓(𝑥)在(√33,+∞)上无零点，综上所述，函

数𝑓(𝑥)有一个零点，故B错误；令ℎ(𝑥)=𝑥3−𝑥，该函数的定义域为𝑅，ℎ(−𝑥)=(−𝑥)3−(−𝑥)=−𝑥3+𝑥=−ℎ(𝑥)，则ℎ(𝑥)是奇函数，(0,0)是ℎ(𝑥)的对称

中心，将ℎ(𝑥)的图象向上移动一个单位得到𝑓(𝑥)的图象，所以点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心，故C正确；令𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1=2，可得𝑥=±1，又𝑓(1)=𝑓(−1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥−1，当

切点为(−1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥+3，故D错误.故选：AC.9．【2022年全国乙卷】已知𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−e𝑥2（𝑎>0且𝑎≠1）的极小值点和极大值点．若𝑥1<𝑥2，则a的取值范围是_

___________．【答案】(1e,1)【解析】【分析】由𝑥1,𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−e𝑥2的极小值点和极大值点，可得𝑥∈(−∞,𝑥1)∪(𝑥2,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0，

𝑥∈(𝑥1,𝑥2)时，𝑓′(𝑥)>0，再分𝑎>1和0<𝑎<1两种情况讨论，方程2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥=0的两个根为𝑥1,𝑥2，即函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数𝑦=e𝑥的图象有两个不同的交点，构造函数𝑔(𝑥)=ln𝑎⋅𝑎𝑥，利用指数函数的图

象和图象变换得到𝑔(𝑥)的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：𝑓′(𝑥)=2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥，因为𝑥1,𝑥2分别是函数𝑓(𝑥

)=2𝑎𝑥−e𝑥2的极小值点和极大值点，所以函数𝑓(𝑥)在(−∞,𝑥1)和(𝑥2,+∞)上递减，在(𝑥1,𝑥2)上递增，所以当𝑥∈(−∞,𝑥1)∪(𝑥2,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0，当𝑥∈(𝑥1,𝑥2)时

，𝑓′(𝑥)>0，若𝑎>1时，当𝑥<0时，2ln𝑎⋅𝑎𝑥>0,2e𝑥<0，则此时𝑓′(𝑥)>0，与前面矛盾，故𝑎>1不符合题意，若0<𝑎<1时，则方程2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥=0的两个根为𝑥1,𝑥2，即

方程ln𝑎⋅𝑎𝑥=e𝑥的两个根为𝑥1,𝑥2，即函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数𝑦=e𝑥的图象有两个不同的交点，∵0<𝑎<1,∴函数𝑦=𝑎𝑥的图象是单调递减的指数函数，又∵ln𝑎<0,∴𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥的图象由指数函数𝑦=𝑎𝑥向下关

于𝑥轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln𝑎|倍得到，如图所示：设过原点且与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象相切的直线的切点为(𝑥0,ln𝑎⋅𝑎𝑥0)，则切线的斜率为𝑔′(𝑥0)=ln2𝑎⋅𝑎𝑥0，故切

线方程为𝑦−ln𝑎⋅𝑎𝑥0=ln2𝑎⋅𝑎𝑥0(𝑥−𝑥0)，则有−ln𝑎⋅𝑎𝑥0=−𝑥0ln2𝑎⋅𝑎𝑥0，解得𝑥0=1ln𝑎，则切线的斜率为ln2𝑎⋅𝑎1ln𝑎=eln2𝑎，因为函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数𝑦=e𝑥

的图象有两个不同的交点，所以eln2𝑎<e，解得1e<𝑎<e，又0<𝑎<1，所以1e<𝑎<1，综上所述，𝑎的范围为(1e,1).【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想

及分类讨论思想，有一定的难度.10．【2022年新高考1卷】若曲线𝑦=(𝑥+𝑎)e𝑥有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】【分析】设出切点横坐标𝑥0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经

过原点得到关于𝑥0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得𝑎的取值范围.【详解】∵𝑦=(𝑥+𝑎)e𝑥，∴𝑦′=(𝑥+1+𝑎)e𝑥，设切点为(𝑥0,𝑦0),则𝑦0=(𝑥0+𝑎)e𝑥0,切线斜率𝑘=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0,切

线方程为：𝑦−(𝑥0+𝑎)e𝑥0=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0(𝑥−𝑥0),∵切线过原点，∴−(𝑥0+𝑎)e𝑥0=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0(−𝑥0),整理得：𝑥02+𝑎𝑥0−𝑎=0,∵切线有两条，∴∆=𝑎2+4𝑎>0,解得𝑎<−4或𝑎>0,∴�

�的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)11．【2022年新高考2卷】曲线𝑦=ln|𝑥|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】𝑦=1e𝑥𝑦=−1e𝑥【解析】【分析】分𝑥

>0和𝑥<0两种情况，当𝑥>0时设切点为(𝑥0,ln𝑥0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出𝑥0，即可求出切线方程，当𝑥<0时同理可得；【详解】解：因为𝑦=ln|𝑥|，当𝑥>0时𝑦=ln𝑥

，设切点为(𝑥0,ln𝑥0)，由𝑦′=1𝑥，所以𝑦′|𝑥=𝑥0=1𝑥0，所以切线方程为𝑦−ln𝑥0=1𝑥0(𝑥−𝑥0)，又切线过坐标原点，所以−ln𝑥0=1𝑥0(−𝑥0)，解得𝑥0=e，所以切线方程为�

�−1=1e(𝑥−e)，即𝑦=1e𝑥；当𝑥<0时𝑦=ln(−𝑥)，设切点为(𝑥1,ln(−𝑥1))，由𝑦′=1𝑥，所以𝑦′|𝑥=𝑥1=1𝑥1，所以切线方程为𝑦−ln(−𝑥1)=1𝑥1(𝑥−𝑥1)，又切线过坐标原点，所以−ln(−𝑥1)=1𝑥1(−�

�1)，解得𝑥1=−e，所以切线方程为𝑦−1=1−e(𝑥+e)，即𝑦=−1e𝑥；故答案为：𝑦=1e𝑥；𝑦=−1e𝑥12．【2021年甲卷理科】曲线212xyx−=+在点()1,3−−

处的切线方程为__________．【答案】520xy−+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x=−时，3y=−，故点在曲线上．求导得：()()()()222

221522xxyxx+−−==++，所以1|5xy=−=．故切线方程为520xy−+=．故答案为：520xy−+=．13．【2021年新高考2卷】已知函数12()1,0,0xfxexx=−，函数()fx的图象在点()()11,Axfx和点()()22,Bxf

x的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||||AMBN取值范围是_______．【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120xx+=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM=+，2221xeBxN=+，化简即可得解.【详解】由题意，()

1011,0,xxxexfxeex=−−−=，则()0,,0xxxfxeex−=，所以点()11,1xAxe−和点()22,1xBxe−，12,xxAMBNkeke=−=,所以12121,0xxe

exx−=−+=，所以()()111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx−+=−−−+，所以()112221111xxxexexAM+=+=，同理2221xeBxN=+,所以()1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB−=

==++++++=.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120xx+=，消去一个变量后，运算即可得解.14．【2019年新课标1卷理科】曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30xy−

=.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexxexxe=+++=++所以，/0|3xky===所以，曲线23(

)exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy−=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．【2018年新课标1卷理科】

已知函数()2sinsin2fxxx=+，则()fx的最小值是_____________．【答案】332−【解析】【详解】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos1cos2fxxx=+−

，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233kkkZ−−，增区间为()2,233kkkZ−+，确定出函数的最小值点，从而求得33sin,sin222xx=−=−代入求得函数的最小值.详解：()()21'2cos2cos24cos

2cos24cos1cos2fxxxxxxx=+=+−=+−，所以当1cos2x时函数单调减，当1cos2x时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233kkkZ−−，函数的增区间为()2,233kkkZ−+，所以

当2,3xkkZ=−时，函数()fx取得最小值，此时33sin,sin222xx=−=−，所以𝑓(𝑥)min=2×(−√32)−√32=−3√32，故答案是332−.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公

式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.16．【2018年新课标2卷理科】曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为__________

．【答案】2yx=【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】2222101ykyxx====++【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点

P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.17．【2018年新课标3卷理科】曲线()1exyax=+在点()01，处的切线的斜率为2−，则=a________．【答案】3−【解析】【分析】求导，利用

导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y1xxaeaxe=++则()f012a=+=−所以3a=−故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．