【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）课时规范练27　平面向量的数量积及其应用含解析【高考】.docx，共(6)页，91.977 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练27平面向量的数量积及其应用基础巩固组1.(2021北京人大附中高三月考)在等边三角形ABC中,AB=1,D为AB边的中点,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.34B.14C

.-14D.-342.(2021河北张家口二模)设平面向量a=(1,0),若a·b=2,cos<a,b>=13,则|b|=()A.2B.3C.9D.63.(2021山西太原一模)已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=√2,则|2a+b|=()A.

√3B.√7C.√5D.2√24.(2021西藏拉萨二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则cos<a+b,a-b>为()A.√1010B.-√55C.√22D.-√225.(2021江西萍乡二模)已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则a与b的夹

角为()A.120°B.90°C.60°D.30°6.(2021吉林长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|

=4km/h,设v1和v2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cosθ等于()河流两岸示意图A.-√215B.-25C.-35D.-457.(2021贵州贵阳二模)若

向量a,b满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b在a方向上的投影为()A.1B.-1C.-12D.128.(2021山东济南一模)已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π629.(2021山西晋中三模)若向量

m=(0,-2),n=(√3,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量.10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,P为半圆上任意一点,则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为.11.(2

021北京海淀模拟)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.综合提升组12.(2021湖南师大附中高三月考)已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是()

A.π6B.π3C.2π3D.5π613.(2021四川成都二诊)在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=3,则BC边的长度为()A.√6

B.2√3C.2√6D.614.(2021山东临沂二模)点A,B,C在圆O上,若|AB|=2,∠ACB=30°,则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.3B.2√3C.4D.615.若点O和点F分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和

左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为.16.(2021天津部分学校高三调研)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=2√3,∠ABC=π3,且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12,则|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=,若M是线段AB上的一

个动点,则𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是.3创新应用组17.已知圆O上有三点A,B,C,AB=2且∠ACB=90°,D为BC中点,AD延长线与圆O交于点E,如图,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=185,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.-1B.-85C.-85或-1D.-85或1答案：课时规范练1.C解析:∵<𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗>=120°,又D为AB边的中点,AB=1,∴|𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=12.∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|cos120°=1×12×-12=-14.2.D解析:cos<a,b>=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=13⇒21·|𝑏|=13⇒|b|=6.3.C解析:a,b为单位向量,且满足|a-b|=√2,所以a

2-2a·b+b2=2,解得a·b=0,所以|2a+b|=√4𝑎2+4𝑎·𝑏+𝑏2=√5.4.B解析:因为a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cos<a+b,a-b>=(𝑎+𝑏)·(𝑎-𝑏)|𝑎+

𝑏||𝑎-𝑏|=-82√5×4=-√55.5.C解析:由|a-2b|=√13,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,所以a·b=1,即1×2×cos<a,

b>=1,cos<a,b>=12,<a,b>=60°.6.B解析:由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cosθ+𝑣22=0,即10×4cosθ+42=0,所以cosθ=-25.47.D解析:由已知条件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=

4+2a·b=6,∴a·b=|a|·|b|cos<a,b>=1,因此,b在a方向上的投影为|b|cos<a,b>=12.8.C解析:由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,所以a·b=

-12,由a·b=|a||b|·cos<a,b>=-12,得<a,b>=2π3.9.(√3,1)(答案不唯一)解析:因为m=(0,-2),n=(√3,1),所以2m+n=2(0,-2)+(√3,1)=(√3,-3),设a=(x,y),x·

y≠0,因为a与2m+n垂直,所以a·(2m+n)=0,即√3x-3y=0,令x=√3,则y=1,所以a=(√3,1).10.2-√5解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y)(y≥0),故𝐵𝑃⃗

⃗⃗⃗⃗=(x+2,y),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-2),所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x-2y+2.令x-2y+2=t,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离

公式可得|2-𝑡|√5=1,t=2-√5,即𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是2-√5.11.π32√7解析:由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3

,则cos<a,b>=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=31×6=12,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,即a与b的夹角为π3,又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=2√7

.12.B解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0,∴a2=b2=2a·b,设a与b的夹角为θ,cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=12,∵θ∈[0,π]

,∴θ=π3.13.A解析:在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,5∴AD⊥BC,在Rt△BDO中有BD=BO·cos∠OBD,且BD=𝐵𝐶2,∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为∠OBD,即𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·

𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|·cos∠OBD=3,∴|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|22=3,可得|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√6,∴BC边的长度为√6.14.C解析:点A,B,C在圆O上,|AB|=2,∠

ACB=30°,设三角形的外接圆的半径为R,可得2R=2sin30°=4,所以R=2,如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,所以当𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗共线同向时,向量的数量积取得最大值4.故选C

.15.6解析:由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有𝑥024+𝑦023=1,解得𝑦02=31-𝑥024,因为𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x0+1,y0),𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x0,y0),所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗=x0(x0+1)+𝑦02=𝑥02+x0+31-𝑥024=𝑥024+x0+3=14(x0+2)2+2,因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗取得最大值6.16.4454,18解析:因为AB=BC=2√3,∠ABC=π3,所以△A

BC为正三角形,所以AC=2√3,∠BAC=π3.因为AB⊥AD,所以∠CAD=π6.因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12,所以|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·cosπ6=12,所以|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=122√3×√3

2=4.因为M是线段AB上的一个动点,所以可设𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(0≤t≤1),所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=(t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗)·(t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=t2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2-t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2√3)2t2-t·2√

3×2√3×12-0+12=12t2-6t+12=12t-142+454,因为0≤t≤1,所以t=14时,12t-142+454取得最小值454,6当t=1时,12t-142+454取得最大值18,所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是454,

18.17.C解析:由∠ACB=90°,可得BA为直径,连接BE,则∠ACB=∠AEB=90°,故𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗2

+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|2=185,∴|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|2=√4-185=√105,∵∠BDE=∠ADC,∠AEB=∠ACB=90°,则△DBE∽△DAC.设|

BC⃗⃗⃗⃗⃗|=2x,|AD⃗⃗⃗⃗⃗|=y,|AC⃗⃗⃗⃗⃗|=2z,∵D为BC中点,则|BD⃗⃗⃗⃗⃗|=|CD⃗⃗⃗⃗⃗|=x,由△DBE∽△DAC可得|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

|BE⃗⃗⃗⃗⃗||AC⃗⃗⃗⃗⃗|=|DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,∴{xy=√1052z=3√105-yx,4x2+4z2=4,解得{x=√22,y=√102,z=√22或{x=2√55,y=2√105,z=√55.∵D为BC的中点,则AD⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗+BD⃗

⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗+12BC⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗+12(AC⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗),当x=z=√22,y=√102时,AD⃗⃗⃗⃗⃗·BC⃗⃗⃗⃗⃗=12(A

B⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗)·(AC⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AC⃗⃗⃗⃗⃗2−AB⃗⃗⃗⃗⃗2)=-1;当x=2√55,y=2√105,z=√55时,AD⃗⃗⃗⃗⃗·BC⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗

+AC⃗⃗⃗⃗⃗)·(AC⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AC⃗⃗⃗⃗⃗2−AB⃗⃗⃗⃗⃗2)=1245-4=-85.综上所述,AD⃗⃗⃗⃗⃗·BC⃗⃗⃗⃗⃗=-1或-85.