【文档说明】吉林省白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(26)页，2.884 MB，由小赞的店铺上传

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白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题姓名：____________班级：____________考号：____________一、单选题1.在底面是菱形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，

平面CEF与PA交于点K，且3PAAB==，2AF=，则AKPK等于A.23B.35C.47D.592.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2AB=，角C的平分线交对边AB于点D，且CD将ABC的面积分成3:4的两部分，则

cosB等于（）A.13B.12C.23D.343.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222||||PAPBPC+=A.2B.4C.5D.104.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只

有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A.12VV=B.22VV=C.12VVD.12VV5.在正方体1111ABCDABCD−中，E

为线段1BC的中点，若三棱锥1EADD−的外接球的体积为36，则正方体的棱长为（）A.2B.22C.33D.46.如图所示为起重机装置示意图，支杆10BC=m,吊杆15AC=m，吊索519AB=m，起吊的货物与岸的距离AD为A.30mB.1532

mC.153mD.45m7.已知两定点()3,5A−、()2,8B，动点P在直线10xy−+=上，则PAPB+的最小值为（）A.513B.34C.55D.2268.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高

OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱22AP的长为（）A.()12624m−B.()12624m+C.()24126m−D.不确定二、多选题9.已知单位向量i，j，k两两夹角均为π0π,2，若空间向量a满足

(),,axiyjzkxyz=++R，则有序实数组(),,xyz称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,axyz=，则下列命题是真命题的为（）A.已知()1,3,2a=−，()4,0,2b=，则0ab=B.已知()π,,03axy

=，()π0,0,3bz=，其中,,0xyz，则当且仅当xy=时，向量,ab的夹角取得最小值C.已知()111,,axyz=，()222,,bxyz=，则()121212,,abxxyyzz+=+++D.已知()π1,0,03OA=，()π0,1,03OB=，()π0,0

,13OC=，则三棱锥OABC−的表面积2S=10.某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加的了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（）A.他只属于音乐小组的概率为113B.他只属于英语小组的概率为81

5C.他属于至少2个小组的概率为35D.他属于不超过2个小组的概率为1315（2023・江苏省徐州高级中学期中）11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称

为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(2,2)A，(4,2)B−，点P满足||1||2PAPB=，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为228440xyxy+−−+=B.在C上存在点M到点(3,2

)−−距离为4C.C上的点到直线3460xy−+=的最大距离为6D.过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l距离为2，则该直线的斜率为151512.ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于ABC，有如下命题，其中正确的有（）A.si

n(B+C)=sinABcos(B+C)=cosAC.若222+=abc，则ABC为直角三角形D.若222abc+，则ABC锐角三角形三、填空题13.如图所示，某学校高一（1）班期中考试成绩的统计图

．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为______分．的的.为14.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.15.一

艘船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛C，若次轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿______________方向行驶_________

_____海里至海岛C.16.如果21iz=−，那么100501zz++=______．17.直线1:lyxa=+和2:lyxb=+将单位圆22:1Cxy+=分成长度相等的四段弧，则22ab+=__________

.四、解答题18.如图，多面体11ABCDBC−是正三棱柱111ABCABC-沿平面11DBC切除一部分所得，11BCCC==，点D为1AA的中点.（1）求证:1BC⊥平面1BCD；（2）求点1B到平面BCD的距离.19.如图所示，若P为平行四边形ABC

D所在平面外一点，点H为PC上的点，且PH1HC2=，点G在AH上，且AGAH=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.20.两条相互平行的直线分别过点(6,2)A和(3,1)B−−，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：（1）d的取值范围；（2）当d取最

大值时，两条直线的方程.21.某公司为了解用户对其产品的满意度，从,AB两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191

465373648293486581745654766579（1）根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满

意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．22.已知函数2()

2sincos3(2cos1)fxxxx=+−．（1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足()326Af−=，求锐角A的大小.（2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．23.如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的

切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：RTST=．白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题姓名：____________班级：______

______考号：____________一、单选题1.在底面是菱形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且3PAAB==，2AF=，则AKPK等于A.23B.35C.47D.59【答案】A【解析】【详解】如图，延长CF交BA延

长线于点O，则由AOFDFC可得236AO==，又36623562AKOAAKEGOG===+，则693355PKAK=−=−=，故652593AKPK==，应选答案A．点睛：本题旨在考查空间的点线面之间的位置关系与点面距离的计算问题，求解时先运用平面的性质，计算出线段65=AK的

长度，再求693355PKAK=−=−=进行求解，从而使得问题获解．2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2AB=，角C的平分线交对边AB于点D，且CD将ABC的面积分成3:4的两部分，则cosB等于（）A.13B.12C.23D.34【答案】C【解析】的【分析】根据题意

，由三角形的面积公式可得43CBCA=，再由正弦定理代入计算，结合正弦函数的二倍角公式，即可得到结果.【详解】因为2AB=，所以ab，结合题意得1sin4213sin2BCDACDCBCDBCDSSCACD

ACD==△△．因为CD是角C的平分线，所以ACDBCD=，所以43CBCA=，由正弦定理，得sin4sin3CBaACAbB===，即sin22sincos42cossinsin3BBBBBB===，所以2cos3B=.故选：C．3.在直角三角形ABC中，点D

是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222||||PAPBPC+=A.2B.4C.5D.10【答案】D【解析】【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点C与原点重合，设(,0)Ba，(0,)Ab，那么,22abD，,44abP那么22222222299

||||1616161610||1616abbaPAPBabPC++++==+，故选D．考点：1．坐标系；2．两点间距离．【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题

设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．4.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小

球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的

是A.12VV=B.22VV=C.12VVD.12VV【答案】D【解析】【分析】先设大球半径为R，小球半径为2R，根据题中条件，分别表示出21,,VVV，进而可作差比较大小．【详解】设大球半径为R，小球半径为2R，根据题意3312444()332RVRVV==−+，所以333214424

()033232RVVVRR−=−==．故选：D．【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．5.在正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1BC的中点，若三棱锥1EADD−的外接球的体积为36，则正方体的棱长为（）A.2B.22

C.33D.4【答案】D【解析】【分析】如图所示，设三棱锥1EADD−外接球的半径为r由34363r=，解得r．取1AD的中点F，连接EF．则三棱锥1EADD−的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在1RtOFD中，利用勾股定理解出即可得出．【详解】解：如

图所示，设三棱锥1EADD−的外接球的半径为r，三棱锥1EADD−的外接球的体积为36，则34363r=，解得3r=．的取1AD的中点F，连接EF．则三棱锥1EADD−的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在1RtOFD中，由勾股定理可得：2222(3)32xx+

−=，0x．解得：4x=．正方体的棱长为4．故选：D．【点睛】本题考查了正方体的性质、三棱锥的性质、勾股定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.如图所示为起重机装置示意图，支

杆10BC=m,吊杆15AC=m，吊索519AB=m，起吊的货物与岸的距离AD为A.30mB.1532mC.153mD.45m【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦定理求得cosACB的值，然后结合同角三角函数基本

关系可得sinACB的值，最后在RtADC中解三角形即可求得最终结果.【详解】在ABC中，15,519,10ACmABmBCm===，由余弦定理得()222222151051912215102ACBCABcosACB

ACBC+−+−===−.32sinACB=.又180.ACBACD+=32sinACDsinACB==.在RtADC中，·ADAC=()31531522sinACDm==.本题选择B选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅

读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.7.已知两定

点()3,5A−、()2,8B，动点P在直线10xy−+=上，则PAPB+的最小值为（）A.513B.34C.55D.226【答案】D【解析】【分析】作出图形，可知点A、B在直线10xy−+=的同侧，并求出点B关于直线10xy−+=的对称点B的坐标，即

可得出PAPB+的最小值为AB.【详解】如下图所示：由图形可知，点A、B在直线10xy−+=的同侧，且直线10xy−+=的斜率为1，设点B关于直线10xy−+=的对称点为点(),Bab，则2810228

12abba++−+=−=−−，解得7a=，3b=，即点()7,3B，由对称性可知()()223753226PAPBPAPBAB+=+=−−+−=，故选：D.【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合

思想的应用，属于中等题.8.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱22AP的长为（）A.()12624m−B.()12624m+C.()24126m−D.不确定【答案】A【解析】【分

析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入2P点，得解【详解】如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为()18,0−，()

18,0，()0,6．设圆拱所在的圆的方程是220xyDxEyF++++=．因为A，B，P在此圆上，故有22218180,18180,660,DFDFEF−+=++=++=解得0,48,324DEF===−故圆拱所在圆的方程是22483240xyy++−=．将点2P的横坐

标6x=代入上式，结合图形解得24126y=−+.故支柱22AP的长为()12624m−．二、多选题9.已知单位向量i，j，k两两的夹角均为π0π,2，若空间向量a满足(),,axiyjzkxyz=++R，则有序实数组(),,xyz称为向量a在“仿射”坐标系Oxy

z（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,axyz=，则下列命题是真命题的为（）A.已知()1,3,2a=−，()4,0,2b=，则0ab=B.已知()π,,03axy=，()π0,0,3bz

=，其中,,0xyz，则当且仅当xy=时，向量,ab的夹角取得最小值C.已知()111,,axyz=，()222,,bxyz=，则()121212,,abxxyyzz+=+++D.已知()π1

,0,03OA=，()π0,1,03OB=，()π0,0,13OC=，则三棱锥OABC−的表面积2S=【答案】BC【解析】【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解.【详解】对于A，()()()()1,3

,24,0,23242421268412cosabijkikikijjkki=−=+−+=+++−−=，因为0π，且π2，所以0ab，故A错误；对于B，如图所示，设OB=b，

OA=a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当xy=时，AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()11122211222,,,,jabxyzxyzxiyjzkxiyjzk+=+=+++++()()

()()121212121212,,xxiyyjzzkxxyyzz=+++++=+++，故C正确；对于D，由已知可得三棱锥OABC−为正四面体，棱长为1，其表面积21341322S==，故D错误．故选：BC．10.某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32

，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（）A.他只属于音乐小组的概率为113B.他只属于英语小组的概率为815C.他属于至少2个小组的概率为35D.他属于不超过2个小组的概率为1315【答案】CD【解析】【分析】由

题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可【详解】由题图知参加兴趣小组的共

有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为826015=，只属于英语小组的概率为616010=，“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况

，故他属于至少2个小组的概率为1110783605+++=，“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，的其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是8316015P=−=.故选：CD.（2023・江苏省徐州高级中学期中）11.古希腊著名数学家阿波

罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(2,2)A，(4,2)B−，点P满足||1||2P

APB=，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为228440xyxy+−−+=B.在C上存在点M到点(3,2)−−的距离为4C.C上的点到直线3460xy−+=的最大距离为6D.过点B作直线l，若

C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为1515【答案】ACD【解析】【分析】根据题意求出P的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.【详解】设(,)Pxy，则()()()()2222221242xyPAPBxy−+−==++

−，化简得，228440xyxy+−−+=，则选项A正确；将圆C的方程化为标准方程为22(4)(2)16xy−+−=，则圆心为(4,2)，半径为4，则圆上的点到点(3,2)−−的最小距离为()()22342246544−−+−−−=−，则在圆

C上不存在点M到点(3,2)−−的距离为4，则选项B错误；C上点到直线3460xy−+=的最大距离为圆心到直线3460xy−+=的距离加半径，即128646916−++=+，则选项C正确；显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为2(4)ykx−=+，即4

20kxyk−++=，的由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即2821kk=+，解得1515k=，则选项D正确．故选：ACD．12.ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于ABC，有如下命题，其中正确的有（）A.sin(B+C)=

sinAB.cos(B+C)=cosAC.若222+=abc，则ABC为直角三角形D.若222abc+，则ABC为锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.【详解】依题意，ABC中，

BCA+=−，sin()sin()sinBCAA+=−=，A正确；cos()cos()cosBCAA+=−=−，B不正确；因222+=abc，则由余弦定理得：222cos02abcCab+-==，而0C，即有2C=，ABC为直角三角形，C正确；因222abc+，则2

22cos02abcCab+−=，而0C，即有2C，ABC为钝角三角形，D不正确.故选：AC三、填空题13.如图所示，某学校高一（1）班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为______

分．【答案】46【解析】【分析】根据统计图结合平均数公式运算求解.【详解】根据题中统计图，可知有4人成绩在)0,20之间，估计其考试分数之和为41040=；有8人成绩在)20,40之间，估计其考试分数之和为830240=；有10人成绩在)4

0,60之间，估计其考试分数之和为1050500=；有6人成绩在)60,80之间，估计其考试分数之和为670420=；有2人成绩在80,100之间，估计其考试分数之和为290180=，由此可知，考生人数为48106230++++=，

考试总成绩为402405004201801380++++=，所以估计平均分数为13804630=．故答案为：46.14.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物

CD的张角为________.【答案】45【解析】【分析】利用勾股定理分别求得AD，AC，然后在CAD中，利用余弦定理求解.【详解】由勾股定理得：222220602010ADABBD=+=+=，()22223060305ACCDABBD=−+=+=，由余弦定理得：()()2222223052010

502cos2223052010ACADCDCADACAD+−+−===，因为0180CAD，所以45CAD=故答案为：4515.一艘船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北

偏东10的方向行驶10海里至海岛C，若次轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿______________方向行驶______________海里至海岛C.【答案】①.北偏东40②.103【解析】【分析】(1)画图易得ABC为等腰三角形,再根据角度

关系求解即可.【详解】(1)如图,因为B在A点北偏东70,C在B北偏东10,故1807010120ABC=−+=,又ABBC=,故30CABACB==,故C在A北偏东103040+=方向.(2)由(1)22101021010cos120103AC=+−

=.故此轮船沿着北偏东40方向行驶103海里到达海岛C.故答案为：(1).北偏东40(2).103【点睛】本题主要考查了方位角的应用,同时也考查了利用余弦定理求解实际距离的问题,属于基础题.16.如果21iz=−，那么100501zz++=__

____．【答案】i【解析】【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案.【详解】因为21iz=−，故()()()()21i21i1i1i2z+==+−+，所以()2211ii2z=+=，故()251002i1z==−，()12502iiiz==，故100501izz++=.故答案为：i17

.直线1:lyxa=+和2:lyxb=+将单位圆22:1Cxy+=分成长度相等的四段弧，则22ab+=__________.【答案】2【解析】【详解】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当

时满足题意，所以.考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.四、解答题18.如图，多面体11ABCDBC−是正三棱柱111ABCABC-沿平面11DBC切除一部分所得，11BCCC==，点D为1AA的中点.（1）求证:1BC⊥平面1BCD；（2）求

点1B到平面BCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）设1BC1与1BCC交于点E，连接DE，可得1BDCD=，1BCDE⊥，即可证明1BC⊥平面1BCD.（2）利用等体积法求点1B到平面BCD的距离．【详解】（1）设1BC与1BC交于点E，连接DE.∵多面体1

1ABCDBC是正三棱柱111ABCABC-沿平面11DBC切除部分所得，1BCCC=，∴四边形11BBCC是正方形，四边形1CCDA､1ABBD均为直角梯形，其中ABAD⊥，ACAD⊥.∵点D为1AA的中点，1AA平行且等于1BB，∴2252BDBAAD=+=.又()221152DC

CCADAC=−+=，∴1BDCD=.∵E为1BC的中点，∴1BCDE⊥.又∵11BCBC⊥，1BCDEE=，∴1BC⊥平面1BCD；（2）设点1B到平面BCD的距离为d，∵11BBCDDBCBVV−−=，点D到平面11B

CCB的距离即为ABC边BC上的高，即为213122−=，∴1113332BCDBBCSdS=.又∵52DCBD==，1BC=，∴121122BBCSBC==，22111242BCDSBCBDBD=−=.∴131332221

22BBCBCDSdS===，即点1B到平面BCD的距离为32.【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．19.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且PH1HC2=，点G在AH上，且AGAH=m，若G，B，

P，D四点共面，求m的值.【答案】34【解析】【分析】连接BD，BG.由题意可得PC=-PA+PB+PD.则AG=m·AH=4m3−PA+m3PB+m3PD,BG=(14m3−)PA+(m3-1)PB+m3PD.结合四点共面的

充分必要条件可得m的值是34.【详解】连接BD，BG.∵AB=PB-PA,AB=DC,∴DC=PB-PA,∵PC=PD+DC，∴PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.∵PH1HC2=,∴PH=1PC3，∴PH=13(-PA+PB+PD)=13−

PA+13PB+13PD.又∵AH=PH-PA，∴AH=43−PA+13PB+13PD，∵AGAH=m,∴AG=m·AH=4m3−PA+m3PB+m3PD,∵BG=-AB+AG=PA-PB+AG,∴BG=(14m3−)PA+(m3-1)PB+m3PD.又∵G,B,P,D四点共面，∴14

m3−=0,m=34.即m的值是34.【点睛】证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PAxPByPC=+或对空间任一点O，有OAOPxPByPC=++或OPxOA

yOBzOC=++uuuruuruuuruuur(x＋y＋z＝1)即可．20.两条相互平行的直线分别过点(6,2)A和(3,1)B−−，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：（1）d的取值范围；（2）当d取最大值时，两条直线的方程.【答

案】（1）(0,310]（2）3200xy+−=和3100xy++=【解析】【分析】（1）由图可知两直线距离d显然满足0dAB.（2）当两直线均与AB垂直时d取最大值，求出ABk再写出两直线方程.【小问1详解】如图，一般地，过A，B的两直线12,mm，其距离d显然满足0dAB.而()(

)226321310AB=+++=，故所求d的变化范围是(0,310].【小问2详解】由图知，当12,nn均与AB垂直时d取最大值，而()()211633ABk−−==−−，所以所求直线的斜率为3−.故所求的直线

方程为23(6)yx−=−−和13(3)yx+=−+，即3200xy+−=和3100xy++=.21.某公司为了解用户对其产品满意度，从,AB两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区

：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（1）根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析；（2）根据用户满意

度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，

根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）0.48.【解析】【分析】（1）选平均数作为统计量，作出茎叶图即可比较；（2）记1AC表示事件：“A地区

用户满意度等级为满意或非常满意”，2AC表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”，1BC表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”，2BC表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”，则()()1122BABACCCCC=

，根据互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【小问1详解】（1）选平均数作为统计量，两地区用户满意度评分的茎叶图如下：的通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值.【小问2详解】记1AC表示事件：“A地区用户满

意度等级为满意或非常满意”，2AC表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”，1BC表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”，2BC表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”，则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，11BACC1BC与22BA

CC互斥，()()1122BABACCCCC=，()()()()()11221122BABABABAPCPCCCCPCCPCC==+()()()()1122BABAPCPCPCPC=+．由所给数据得1AC

，2AC，1BC，2BC发生的频率分别为1620，420，1020，820，故()11620APC=，()2420APC=，()11020BPC=，()2820BPC=，()1016840.4820202020PC=

+=．22.已知函数2()2sincos3(2cos1)fxxxx=+−．（1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足()326Af−=，求锐角A的大小.（2）在（1）的

条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）πA3=；（2）334．【解析】【分析】（1）将()fx化简为()π2sin23fxx=+，代入326Af−=求得A；（

2）根据正弦定理求得a，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值.【详解】（1）()πsin23cos22sin23fxxxx=+=+2sin22sin326263AAfA−=−+==

，又A为锐角3A=（2）ABC的外接圆半径为11由正弦定理得：22sinaRA==32sin2sin2332aA====由余弦定理：222π2cos3abcbc=+−得：2232bcbcbcbcbc=+−−=即3bc（当且仅当bc=时取等号）则三角形的面积113

33sin32224SbcA==（当且仅当bc=时取等号）故三角形面积最大值为334【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.23.如图，过半径为2的圆

M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：RTST=．【答案】证明见解析【解析】【分析】以M为原点，直线AB为y轴建立坐标系，设出点

P的坐标，借助直线方程求出点,,PST的横坐标即可计算得证.【详解】如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则圆M的方程为224xy+=，(0,2),(0,2)AB−，设0000),0(,yxxyP，则22004xy+=，直

线AP的方程为0022yyxx−=+，令0y=，得点R的横坐标0022Rxxy=−，直线BP的方程为0022yyxx+=−，令0y=，得点S的横坐标0022Sxxy=+，切线PT的斜率为00xy−，方程为0000()xyyxxy−=−−，整理得004xxyy+=，由对称性知点T在x轴上，

令0y=，得点T的横坐标04Txx=，0000000002224||||||||()(|2|2)2RTxyyyRTxxyxyxx−=−=−==−−，0000000022(2)4||||||||2||2(2)STxyyySTxxyxyxx+=−

=−==++，所以||||RTST=.