【文档说明】陕西省咸阳市永寿中学2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题 含答案.docx，共(10)页，554.748 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-13ad42399b8183c27df795abe523e1cd.html

以下为本文档部分文字说明：

永寿中学2020～2021学年度第二学期第二次月考高二数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择題两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择題每小题选出答案后，用2B

铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数(1)(2)ii−−=（）A．13i−−B．13i−+C．13i−D

．13i+2．函数2()ln(0)fxxaxa=−的减区间为(0,1)，则实数a的值为（）A．2B．12C．1D．43．下列函数中，存在极值的函数为（）A．xye=B．lnyx=C．2yx=D．22yxx=−4．函数4()fxx=在区

间[,2]aa上的平均变化率为15，则实数a的值为（）A．13B．12C．1D．25．已知()sin22fxxx=−，则6f=（）A．1−B．31−C．2−D．32−6．如图是函数()()y

fxx=R的导函数()yfx=的函数图象，则下列关于函数()yfx=的说法正确的是（）A．函数()yfx=的减区间为1,2−，增区间为1,2+B．函数()yfx=在点(2,(2))f−−和点(3,

(3))f处的切线斜率相等C．(0)2f=D．函数()fx只有一个极小值点，没有极大值点7．已知函数3()fxxax=−，若曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线与直线2yx=平行，则函数()fx的所有极值之积为（）A．12

7−B．427−C．49−D．827−8．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．9．若函数()2()2xfxxaxe=−+既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）A．(,2)(2,)−−+

B．(3,1)−C．(,1)(0,)−−+D．1,(1,)2−−+10．若函数21()ln2fxxaxx=−−在区间(1,2)内有最小值，则实数a的取值范围为（）A．(0,1)B．

12,23C．30,2D．31,211．已知函数()ln()fxx=−与函数()(1)xgxeexa=−−−的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．(0,)eB．[1,)+C．[,)e+

D．1,e+12．已知函数()yfx=在R上可导，且满足不等式()2()fxfx，且(0)fe=，则关于x的不等式21()xfxe+的解集为（）A．[1,)+B．(,1]−C．[0,)+D．(,0]−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．定

积分112exdxx−=________．14．已知2()2(1)fxxfx=+，则(1)f=________．15．用数学归纳法证明()(1)(2)()213(21)nnnnnnn+++=−N时，从“nk=到1nk=+”左边需

增乘的代数式为_________．16．已知函数421()12fxxaxx=−，A，B是其图象上任意不同的两点，若直线AB的倾斜角的取值范围为30,,44，则实数a的取值集合为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出

必要的文字说眀、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知i为虚数单位，复数1(),zaiazz=++R为实数．（1）求实数a的值；（2）若复数z是方程20(,)xbxcbc++=RR的一个根，求实数b，c的值．18．（本小题满分12分）在代数运算中有下列乘法公式：2(1)(1)

1xxx−+=−()23(1)11xxxx−++=−()234(1)11xxxxx−+++=−()2345(1)11xxxxxx−++++=−．（1）观察上述结果，你能做出怎样的猜想？（2）证明你的猜想，并判断1001001−是否是99的倍数？19．（本小题满分12分）已知函数32()2

(0)fxaxaxba=−+在区间[1,2]−上的最小值为2−，最大值为1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数()()gxfxm=−有且仅有三个零点，求实数m的取值范围．20．（本小题满分12分）将一个面

积为2100m的长方形铁皮制作成一个无盖的正四棱锥容器（图为无盖容器倒置图），要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，记正四棱锥的无盖底面边长为x，容器的容积为()fx．（1）求函数()yfx=的表达式；（2）当该正四棱锥形

容器的容积取得最大值时，求此时x的值．21．（本小题满分12分）已知函数()2lnfxxx=−．（1）求曲线()yfx=过点(1,0)−的切线方程；（2）令函数()()lngxfxxxax=−−，若函数()gx单调递减，求实数a的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数21()2()xax

xfxae+−=+R的定义域为[0,)+．（1）当0a时，证明：()1fx；（2）当0a时，若()0fx恒成立，求实数a的取值范围．永寿中学2020～2021学年度第二学期第二次月考·高二数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．C(1)(2)13i

ii−−=−．2．A由()2afxxx=−，有(1)20fa=−=，得2a=．3．D由二次函数的图象和性质可知D选项正确．4．C由区间可知2aa，可得0a，又由443(2)()1615152fafaaaaaaa−−

===−，解得1a=．5．A由()2cos22fxx=−，有2cos2163f=−=−．6．B由函数图象可知，函数()fx的减区间为(1,2)−，增区间为(,1)−−，(2,)+，(2)(3)4ff−==，(0)2f=−．7．B由2()3fxxa=−，有(1

)32fa=−=，解得1a=，有32(),()31fxxxfxx=−=−，令()0fx=得函数()fx的极值点为33x=，有3333233339f=−=−，32339f−=，则函数()

fx的极值之积为232349927−=−．8．A表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，規律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个为填充颜色的，故选A项．9．A由()22()22(2)(2)xxfxxa

xxaexaxae=−++−=+−+−，有2(2)4(2)0aa=−−−，解得2a−或2a．10．C由211()xaxfxxaxx=−−=−−，若函数()fx在区间(1,2)内有最小值，此时函数()fx必定存在极值点，由240a=+，设12,xx为一

元二次方程210xax−−=的两根，有121210xxaxx+==−，故只需要212x即可，令2()1gxxax=−−，有(1)0(2)320gaga=−=−，解得302a．11．B函数()fx关于y轴对称的函数为lnyx=，若函数()fx与函数()gx的图象上存在关于

y轴对称的点，只需要方程(1)lnxeexax−−−=有解，方程可化为(1)lnxaeexx=−−−，令()(1)lnxhxeexx=−−−，有1()1xhxeex=−+−，由函数()yhx=单调递增．且(1)0h=．可

得函数()hx的减区间为(0,1)，增区间为(1,)+，可得min()1hx=，当0x→时，1,(1)0,lnxeexx→−−→−→+，可得函数()hx的值域为[1,)+，故实数a的取值范围为[1,)+．12．C令2()()xfxgxe=，有2()2()()0xfxfxgxe−=

，可得函数()gx单调递增，不等式21()xfxe+可化为2()xfxee，又由0(0)(0)fgee==，不等式可化为()(0)gxg，可得关于x的不等式21()xfxe+的解集为[0,)+．13．22e−()()2221112lnln(ln11)2eexd

xxxeeex−=−=−−−=−．14．2−由()22(1)fxxf+=，取1x=，有(1)22(1)ff=+，可得(1)2f=−．15．42k+当nk=时，左式(1)(2)()kkkk=+++，当1nk=+时，左式(11)(12)(11)(1)(11)k

kkkkkkk=++++++−+++++，两式比较知左边需增乘的代数式为(1)(11)2(21)(1)kkkkkk+++++=++．16．32由3()42fxxax=−，直线AB的倾斜角的取值范围为30,,44

，有当1,12x时，31421xax−+恒成立，可化为2211424xaxxx−+，由函数211()412gxxxx=−单调递增，有max()(1)413gxg==−=．令211()412hxxxx=+，有

322181()80xhxxxx−=−=，可得函数()hx单调遍递增，有min1()1232hxh==+=，有323a，可得32a=．17．解：（1）由211()()()1aiaizaiaiaizaiaiaia−−+=++=++=++++−+22222111111aa

aaiaiaaaa=++−=++++++4分由1zz+为实数，有2201aa=+，解得0a=．5分（2）由（1）可知zi=，将zi=代入方程20xbxc++=，有20ibic++=整理为(1)0bic

+−=8分由复数相等有010bc=−=，解得01bc==故0,1bc==10分18．解：（1）猜想：当nN且2n时，()21(1)11nnxxxxx−−++++=−．4分（2）证明：①当0x=时，等式左边1=，等式右边1=

，等式成立5分②当1x=时，等式左边0=．等式右边0=，等式成立6分③当0x且1x时，由21111nnxxxxx−−++++=−等式左边1(1)11nnxxxx−=−=−−由上知，猜想成立10分利用猜想，有()()1002992991001(1001)1100100100991100100

100−=−++++=++++由2991100100100++++为整数，可知1001001−是99的倍数．12分19．解：（1）由2()34(34)fxaxaxaxx=−=−1分①当0a时，令()0fx，可得43

x或0x，此时函数()fx的增区间为4(,0),,3−+，减区间为40,32分由(0)fb=，(1)23faabba−=−−+=−，4643232327927faabba=−+=−，(2)88faabb=−

+=有132bba=−=−，可得11ab==5分②当0a时，令()0fx，可得403x，此时函数()fx的减区间为4(,0),,3−+，增区间为40,3．6分由(0)fb=，(1)23faabba−=−−+=

−，4643232327927faabba=−+=−，(2)88faabb=−+=有231bba=−−=，可得12ab=−=−由上知11ab==或12ab=−=−．8分（2）①当1ab==时，4325(0)1,132727ff

==−=−若函数()gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为5,127−．10分②当1,2ab=−=−时，43222(0)2,232727ff=−=−+=−若函数()gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为222,27−−

．12分20．解：（1）设正四棱锥容器的高为h，则正四棱锥容器的侧棱长为22222122hxhx+=+1分正四棱锥的侧面积为222221111422244xhxxxhx+−=+3分有22121004xhx+=，可得222250014hxx=−，得222

50014hxx=−5分222262621125001111()250010000334346fxxhxxxxxxx==−=−=−7分由222500104xx−，可得010x则函数()yfx=的表达式为261()10000(010)6fxxxx=−．8分（2）令26()100

00(010)gxxxx=−，有()54()2000062100003gxxxxx==−−10分令()0gx，可得41003x，可得函数()gx的增区间为4100,3，减区间为410,3+故当该正四棱锥的容积取得最大值，此时x的值3104．12分

21，解：（1）设切点为(,2ln)Pmmm−由1()2fxx=−，则曲线()yfx=过点P的切线方程为1(2ln)2()ymmxmm−−=−−2分代入点(1,0)−的坐标，有12ln2(1)mmmm−+=−−−整理为1ln10mm−+=4分令1()ln1gxxx=−+

，有211()0gxxx+=，可得函数()gx单调递增，又由(1)0g=，可得1m=则曲线()yfx=过点(1,0)−的切线方程为21yx−=−，整理为1yx=+．6分（2）()2lnlngxxxxxax=−−−，有11()2ln1ln1gxxaxaxx=−−−−=−−+

−若函数()gx单调递减，则必有当0x时，1ln10xax−−+−恒成立．可化为11lnaxx−+9分令1()lnhxxx=+，有22111()xhxxxx−=−+=，令()0hx，可得1x，有函数()hx的增区间为(1,)+，减区间为(0,1)，有min()(

1)1hxh==有11a−，可得0a故若函数()gx单调递减，则实数a的取值范围为[0,)+．12分22．解：（1）证明：当0a时，0,1xxe由()21111()22111xxxxxxxxeaxxxxefxeeeee+−−−−+=+++=+=+．

4分另解：当0a时，因为0x，所以211,1xaxxe+−−−−2分所以21xaxxe+−−，故211xaxxe+−−所以21()21xaxxfxe+−=+．4分（2）由（1）有1(2)()xaxxafxe−−−−

=5分①当12a−=时，12a=−，此时()0fx，此时函数()fx单调递增，()(0)10fxf=，满足题意6分②当12a−时，12a−，令()0fx，可得2x或10xa−，可得函数()fx的增区间为10,a−，(2,)+．由(0)1f=，若()0f

x恒成立，必有241(2)20afe+=+，可得2124ea+−，有212142ea+−−9分③当12a−时，22110,22aaxx−，有2112()2xxxfxe−+−+，由①可知211220xxxe−+−+，故有()0fx由上知，当0a时，若()0fx恒成立，

则实数a的取值范围为212,04e+−．12分