【文档说明】吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题+含答案.docx，共(12)页，1.028 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()1,3A，()3,1B−，则以AB为直径的圆的方程为（）A.()()22215xy−+−=B.()()222120xy−

+−=C.()()22125xy++−=D.()()221220xy++−=2.设Rm，则“1m=−”是“直线240mxy++=与直线()120xmy+−+=平行”的（）A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件3.过点P(1，－2)作圆C：x2＋y2＝1的

两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）A.210xy+−=B.y＝－12C.y＝－32D.210xy−−=4.过圆222440xyxy+−+−=内的点(3,0)M作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（）A.30xy+−=B.30xy−−=C.430xy+

−=D.430xy−−=5.若椭圆2214xym+=的离心率为32，则该椭圆的长轴长为（）A.8B.2或4C.1或4D.4或86.已知椭圆22xa＋22yb＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.

245x＋236y＝1B.236x＋227y＝1C.227x＋218y＝1D.218x＋29y＝17.已知双曲线()222210xyabab−=的一条渐近线平行于直线:250lxy++=，则双曲线的离心率为（）A.12B.62C.32D.528.已知抛物线()2:20,CypxpF=为C

的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线l与C交于,AB两点，则下面结论不正确的是（）A.以,AB为直径的圆与抛物线C的准线相切B.112AFBFp+=C.32sinpAB=D.记原点为O，则2sinAOBpS=△二、多项选择题：本题共4小题，每小题5

分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.直线yaxb=+与圆22()()1xayb−+−=的大致图像可能正确的是10.下列命题中，正确的结论有A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线

和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补6.D．如果两条直线同吋平行于第三条直线，那公这两条直线互相平行11.已知直线()():10,1,2,3,4lm

xymAB+−+=，则下列结论正确的是A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行C．存在实数m，使得点A．到直线l的距离为4D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为172+

12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为1243+，则关

于该半正多面体的下列说法中正确的是A．2AB=B．该半正多面体的外接球的表面积为6C．AB与平面BCD所成的角为4D．与AB所成的角是3的棱共有16条三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知直线:30lxy

m++=与圆C：()()222216xy−++=相交于A，B两点，O为坐标原点，若,,,ABCO四点共圆，则m的值为______.14．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左､右焦点分别是1F，2F，直线ykx=

与椭圆C交于A，B两点，113AFBF=，且1260FAF=，则椭圆C的离心率是___________．15．已知首项为1的数列na的前n项和为nS，若2121nnnnnSSSSS++++=+，且数列1a，2a，…，(3)kak

成各项均不相等的等差数列，则k的最大值为__________．16.已知直线l：ykxt=+与圆221:(1)2Cxy++=相交于,AB两点，且三角形1CAB的面积取得最大值，又直线l与抛物线22:2Cxy=相交于不同的两点,MN，则实数t的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题

，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB===．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC

=−，求tanDAC的值．18.在坐标平面xOy中，三个顶点坐标分别为(1,1)A，()2,3B，(4,2)C（1）求ABC中BC边上中垂线的一般方程；（2）求ABC中角B平分线的一般方程；（3）求ABC外接圆的一般方程.19．（12分）已知圆22:64120Cxyxy+−−+=.(1)

求过点()2,0且与圆C相切的直线方程；(2)已知点()()2,02,2AB−，．则在圆C上是否存在点P，使得2228PAPB+=？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．20.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的

距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t，人的反应时间1t，系统反应时间2t、制动时间3t，相应的距离分别为0123,,,dddd，当车速为v(米/秒)，且033.3v时

，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.50.9k).阶段0.准备1.人的反应2.系统反应3.制动时间0t10.8t=秒20.8t=秒3t距离020d=米1d2d23120dvk=米（1）请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之

间的函数关系式；并求0.9k=时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/时?21.已

知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足2124nnaSn+=++，且2371,,aaa−恰为等比数列nb的前3项.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）令1nnnacb−=，数列nc的前n项和为1,2nnmTT−，实数m

的取值范围.22.已知椭圆E：22193xy+=，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l1，l2与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.（1）若直线OM的斜率为13−，

求直线l1的方程；（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.AADADDDDACBDABDACD134147415416()(),40,−−+17【答案】（1）5sin5C=；（2）2tan11DAC=.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）方法一：根

据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sin,cosDACDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos9223252bacacB=+−=+−=

，所以5b=.由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb===.（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos5ADC=−，,2ADC，所以23sin1cos5ADCADC=

−=.由于,2ADC，所以0,2C，所以225cos1sin5CC=−=.所以()sinsinDACDAC=−()sinADCC=+sincoscossinADCCADCC=+3254525555525=+−=.由于0,2DA

C，所以2115cos1sin25DACDAC=−=.所以sin2tancos11DACDACDAC==.18【答案】（1）4270xy−−=（2）390xy+−=（3）225360xyxy+−−+=【

解析】【分析】（1）求出BC中点坐标及斜率，利用垂直得中垂线斜率，点斜式求出方程再化为一般式；（2）判断三角形为以B为直角的等腰直角三角形，转化为求边AC上的中线方程即可求解；（3）设圆的一般方程，将点代入，求解方程即可求解【详解】（1）由题意知BC中点坐标

为53213,,2242BCk−==−−，故BC边上中垂线斜率为2，BC边上中垂线方程为()3522xy−=−化简为一般式得4270xy−−=（2）由题易知，12,5,,512ABBCABBCkABkB

Ckk===−==−，ABC为以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程，易求AC中点坐标33532,,352222BDDk−==−−，故角B平分线()332yx−=−−化为一般式为390xy+

−=（3）设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=则+202313042200DEYDEFDEF++=+++=+++=解得5,3,6DEF=−=−=故圆的一般方程为225360xyxy+−−+=19【答案】(1)2x=或3460xy−−=；(2)存在，点P

的个数为2,理由见解析【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，（2）由题意列式得P轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，【详解】（1）由题意圆C：()()22321xy−+−=，圆心()3,2C，半径1r=，1）当直线l的斜率不存在时，直线l：2x

=，符合题意；2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：()2ykx=−即20kxyk−−=，则圆心C到直线l的距离232211kkdk−−==+，解得34k=，所以直线l的方程为()324yx=−即3460xy−−=综上，直线l的方程为2x=

或3460xy−−=；（2）假设圆C上存在点P，设(),Pxy，则C：()()22321xy−+−=，又()()()()222222202228PAPBxyxy+=++−+−+−=，即()2219xy+−=，P的轨迹是圆心为()0,1，半径为3

的圆.因为()()2231302131−−+−+，所以圆C：()()22321xy−+−=与圆()2219xy+−=相交，所以点P的个数为220【答案】（1）22020vdvk=++；32103+秒；（2）20米/秒以下，合72

千米/时.【解析】【分析】（1）由题意0123=+++ddddd而120.80.2ddvv+=+，再将20320,20vddk==代入即可得到()dv；根据题意()()dvtvv=，根据基本不等式计算()tv的最小值；（2）根据题意只需满足对任意

0.5,0.9,()80kdv恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.【详解】()1根据题意，得220123200.80.2202020vvdddddvvvkk=+++=+++=++，所以所求函

数关系式为22020vdvk=++，当0.9k=时，2020203210112?1200.918183dvvvtvvvv+==++=+++=（秒）当且仅当2360v=，即610v=时等号成立，所以汽车撞上固定障

碍物的最短时间是32103+秒.()2所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是80秒，则路况最糟糕时也需满足，即0.5k=时，22080200.5vdv=++，即2106000vv+−，解得020,20v米/秒72=千米/时，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，

合72千米/时.21【答案】（1）1,2nnnanb=+=；（2）(),2−.【解析】【分析】(1)根据数列na的通项与前n项和nS之间的关系化简求得1,nnaa+的递推公式,利用21a−,37,aa成等比数列求得1a进而求得等差数

列na的通项.进而得到nb的通项即可.(2)由(1)有12nnnnancb−==,再利用错位相减求解nT，转化为min1()2nmT−即可.【详解】()1因为2124nnaSn+=++①所以2n时，21214nnaSn−=+−+②-①②，得22121nnnaaa+−=+所以()2

221211nnnnaaaa+=++=+因为0na所以11nnaa+=+所以数列na是公差为1的等差数列.又221211,214aaaa=+=++解得1122aa==−或（舍去）所以()2111nann=+−=+因为2371,,aa

a−恰为等比数列nb的前3项，所以123372112,314,718bbaba=+−===+===+=所以2q=所以1222nnnb−==所以1,2nnnanb=+=()2根据题意，得12nnnnancb−==运用错位相减法得222nnnT+=−下面证明nT单调递增：()()1111321

1222432222nnnnnnnnnTTnn+++++++−=−−−=+−+=所以nT单调递增要使12nmT−恒成立，只需满足112mT−即可即1122m−，解得2m所以实数m的取值范围为(),2−22【答案】（1）30xy−−=；（2）证明见解析

.【解析】【分析】（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可求得2293,,33tMtt−++再由直线OM的斜率为13−，可求出t的值

，从而可得直线l1的方程；（2）①当直线AB的斜率不存在时，设()()00000,,,,33AxyBxyx−−，从而可表示出,MN的坐标，再由OM⊥ON，可得00,xy的关系，再结合点A在椭圆上，可求出0x，从而可得直线AB的方程，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的

方程为y=kx+m，联立椭圆的方程，消去y，利用根与系数的关系结合1OMONkk=−可得229920kkmm−+=，得3mk=不满足题意，32mk=，从而可得直线过定点【详解】解：（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立223193

xtyxy=++=，得()22360tyty++=，所以1226,3tyyt−+=+所以122239,3233MMMyytyxtytt+−===+=++，所以2293,,33tMtt−++因为1,3OMk=−所以22313933ttt

−+=−+，解得1t=，所以直线1l的方程为30xy−−=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，设()()00000,,,,33AxyBxyx−−，则000033,,,,2222xyxyMN++−由OMON⊥，有1OMONkk=−

所以0000221,3322yyxx−=−++所以()20201,3yx−=−+因为2200193xy+=，所以032x=−，所以直线AB的方程为3.2x=−.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程得()2

22136390kxkmxm+++=﹣，所以2212(930)km=+﹣，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2121222639,1313kmmxxxxkk−−+==++，由1OMONkk=−，可得()()1212133yyxx=−++，即(

)()()2212121390kxxkmxxm++++++=，所以()()2222239613901313mkmkkmmkk−−+++++=++，所以229920kkmm−+=，即()()3230kmkm−−=，

当3mk=时，直线AB过椭圆的左顶点，不满足题意，当32mk=时，直线AB过定点3,02−，且满足()2212930km=−+，综上所述，直线AB过定点3,0.2−获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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