【文档说明】宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1013.805 KB，由小赞的店铺上传

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吴忠中学2023——2024学年第一学期期中考试高二数学试卷命题人：高军军审核人：宋季霞时间：120分钟总分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知直线l：3100xy−−=，则直线l的斜率为（）A.3−B.33C.3D.33−【答案】C【

解析】【分析】直线化为斜截式，即可确定其斜率.【详解】由题设，直线可化为310yx=−，故其斜率为3.故选：C2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（）A.0.09B.

0.96C.0.97D.0.98【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件概率公式即得.【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与BC+是对立事件，所以10.030.0()1()091.6PAPBC−

−=−+==．故选：B.3.直线l过圆()22:34Cxy++=的圆心，并且与直线20xy++=垂直，则直线l的方程为（）A.20xy+−=B.20xy−+=C.30xy+−=D.30xy−+=【答案】D【解析】【分析】求圆

心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由22(3)4xy++=可知圆心为()3,0−，又因为直线l与直线20xy++=垂直，所以直线l的斜率为1k=，由点斜式得直线:03lyx−=+，化简得直线l的方程是30xy−+=．故选：D．4

.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，3AC=，4BC=，13CC=，90ACB=，则1BC与1AC所成角的余弦值为（）A.3210B.3210−C.24D.55【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出11,BCAC以及11,BCAC，代入

异面直线所成角的向量公式中即可得出答案.【详解】因为111ABCABC-为直三棱柱，且90ACB=，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3BCCA，所以()()110,4,3,3,0,3B

CAC=−=−−，115,9932BCAC==+=，设1BC与1AC所成角为，所以11932coscos,10532BCAC−===.则1BC与1AC所成角的余弦值为3210.故选：A.5.已知直线1l：60mxy−+=，2l：230xy++=，

若12ll⊥，则m的值为（）A.2−B.12−C.12D.2【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的公式计算即可.【详解】因为直线1l：60mxy−+=，2l：230xy++=，12ll⊥，所以21

0m−=，解得12m=.故选：C.6.直线142xy+=与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A.224210xyxy+−−−=B.22420xyxy+−−=C.224210xyxy+−−+=D.22240xyxy+−−=【答案】B【解析】【分析】利用截距

式的几何意义得到(4,0)A，(0,2)B，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.【详解】因为直线142xy+=在x，y轴上的截距分别为4，2，则(4,0)A，(0,2)B，所以AB的中点坐标为(2,1)，且11||164522rAB==+=，故以线段AB

为直径的圆的方程为22(2)(1)5xy−+−=，即22420.xyxy+−−=故选：B7.已知点()2,1A，点B在直线30xy−+=上，则AB的最小值为（）A.5B.26C.22D.4【答案】C【解析】【分析】根据点和直线的位置关系，易知当AB与直线垂直时满足题意，求出点A到直线3

0xy−+=的距离即可.【详解】如下图所示：易知当AB与直线30xy−+=垂直，且B为垂足时，AB的值最小；此时AB的最小值为点A到直线30xy−+=的距离，即()min222132211ABd−+=

==+−.故选：C8.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则FGAB=（）A.34B.14C.12D.32【答案】B.【解析】分析】根据空间向量运算求得FGAB.【详解】依题意，,,EFG分别是,,ABADDC的中点，所以

,2//1FGACFGAC=，三角形ABC是等边三角形，且边长为1.所以111cos60224FGABACABACAB===.故选：B二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知直线250lxy−+=:，则下列说法正确的是（）A.直线14250lxy−+=:与直线l相互平行B.直线225

0lxy−+=:与直线l相互垂直C.直线30lxy−=:与直线l相交D.点(3,)4−到直线l的距离为35【答案】ACD【解析】【分析】对于选项ABC，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项ABC的正误；对于选项D，直接利用点到线的距离公式即可得到

结果.【详解】因为直线250lxy−+=:，斜率2k=，纵截距为5b=，选项A，因为直线15:202lxy−+=，斜率为12k=，纵截距为52，所以1kk=，552，故直线1,ll相互平行，故A正确；选项B，因为直线225

0lxy−+=:，斜率为212k=，所以212112kk==−，故直线2,ll相交但不垂直，故B错误；选项C，由2500xyxy−+=−=，解得5xy==−，所以直线3,ll的交点为(5,5)−−，故C正确；选项D，根据点到直线的距离的公式知，(3,4)−到直

线l的距离2223(453512d−++−==），故D正确；故选：ACD.10.下列结论正确的有A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件【B.在标准大气压下，水在o4C时结冰为随机事件C

.若一组数据1，a，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为3D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为

6:5:5:4，则应从四年级中抽取80名学生【答案】AD【解析】【分析】A.分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；B.根据自然知识之间判断选项；C.根据众数和平均数公式计算结果；D.根据分层抽样的计算公式，计算结果.【详解】A.恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至

少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正确；B．在标准大气压下，水在o4C时结冰为不可能事件，故B不正确C.众数是2，所以2a=，平均数1224944+

++=，故C不正确；D.由条件可知4400806554=+++名学生，故D正确.故选：AD11.过点()1,2M且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A.10xy−+=B.30xy+−=C.20xy−=D.30xy++=【答案】BC【解析】【分析】根据直线过原点和不

过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点()1,2M，即可求解.【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为xya+=，因为直线过点()1,2M，代入可得3a=，即30xy+−=；当所求直线过原点时，设直线方程为ykx=，因为直线过点()1,2M，代入可得2k

=，即20xy−=，综上可得，所求直线的方程为20xy−=或30xy+−=.故选：BC.12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,,EFG分别为棱111,,ADAACD的中点，则（）A.6

BEBF=B.1BG⊥平面BEFC.EFBF⊥D.点1B到平面BEF的距离为43【答案】ABD【解析】【分析】建系，根据向量的数量积的坐标运算，向量的垂直垂线的性质，线面垂直的判定定理，向量法求解点面距，即可分别求解.【详解】以点D为坐标原点，建立如

图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(2,0,1),(1,0,2),(2,2,2),(2,2,0)DFEBB()()()()()()110,1,0,1,2,2,0,2,1,2,1,2,1,0,1,0,0,26,GBEBFBGEFBBBEBFA=

−−=−=−−−=−==正确．110,0,0BEBGBFBGBFEF==，所以111,,BEBGBFBGBG⊥⊥⊥平面BEF，直线BF与直线EF不垂直，B正确，C错误．点1B到平面BEF的距

离为1114,3BBBGDBG=正确．故选：ABD.三、填空题（每小题5分，共20分）13.求过两条直线240xy−+=和20xy+−=的交点，且与3420xy+−=平行的直线方程______.【答案】3480xy−+=【解析】【分析】求出直线240xy−+=和20

xy+−=的交点，设所求直线方程为340xym−+=，代入交点坐标求解即可.【详解】联立24020xyxy−+=+−=，解得02xy==，故交点坐标为()0,2，设直线方程为340xym−+

=，将()0,2代入得80m−+=，解得8m=，故所求直线方程为3480xy−+=.故答案为：3480xy−+=14.设空间向量()1,2,am=−，()2,,4bn=−，若//ab，则ab−=__．【答案】9【解析】【分析】先利用空间向量共

线定理，得到ba=，由此求出m和n的值，得到a，b的坐标，求出ab−的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．【详解】解：因为空间向量()1,2,am=−，()2,,4bn=−，且//ab，所以ba=，即()()2,,41,2,mn−−=，可得224nm=−=−=

，解得2m=，n=−4，所以()1,2,2a=−，()2,4,4b=−−则()3,6,6ab−=−，所以()2223669ab−=−++=．故答案为：915.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到

9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93281245856968343125

73930275564887301135据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数

中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为1020=0.5.故答案为：12.16.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则22(1)(1)

xy−+−最大值为______【答案】1+2【解析】【分析】22(1)(1)xy−+−表示点(,)Pxy与点(1,1)的距离，由圆的性质可求．【详解】圆221xy+=的圆心为(0,0)，半径为1，圆心到点(1,1)距离为22(01)(01)2−+−=，

∴所求最大值为21+．【点睛】设圆的半径为r，圆心到平面上一点M的距离为d，则圆上的点到点M距离的最大值为dr+，的最小值为dr-．三、解答题（共70分）17.已知ABC的三个顶点分别为()()()1,0,3,2,0,3ABC−．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求

ABC的面积．【答案】（1）23yx=+；（2）5.【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率，进而求出AB边上的高所在直线的斜率及方程.（2）求出直线AC的方程，由点到直线的距离求解三角形的高，进而求出面积.【小问1详解】直线AB的斜率为201312−=−−−，因此AB边上的高所在直线的斜率

为2，所以AB边上的高所在直线的方程为：23yx=+.【小问2详解】直线AC的方程为113xy+=，即330xy+−=，于是点B到直线AC的距离为：223(3)231031d−+−==+，而221310AC=+=

，所以ABC的面积111010522ABCSACd===.18.已知()2,0A，()1,3B．（1）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（2）若一圆的圆心在直线220xy+−=上，且经过点AB，，求该圆的方程．【答案】（1）330xy−+=（2）22(1)5xy+−=【解析】【分析】（1

）利用点斜式方程即可求得；、（2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程.【小问1详解】因为()2,0A，()1,3B，所以AB的中点为33(,)22，斜率30312k−==−−，所以线段AB的垂直平分线l的斜率为13lk=，即l的直线方程为313232

yx−=−，化简得330xy−+=.【小问2详解】联立330220xyxy−+=+−=解得0x=，1y=，即圆心为(0,1)，所以圆的半径22(20)(10)5r=−+−=，所以所求圆的标准方程为22(1)5xy+−=.19.为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动

路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设

为“重点关注路口”（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；（2）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来路口中有且仅有一个违章车次在(40,50的概率.【答案】（1）29（2）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数方法直接计算即可；（2）根据

频率分布直方图可计算得到违章车次在(30,40和(40,50的路口数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式可计算得到结果.的的【小问1详解】根据频率分布直方图可估计平均数x为：()50.01150.02250.01350.04450.02

1029x=++++=.【小问2详解】由频率分布直方图可知：违章车次在(30,40的路口有4个，记为,,,ABCD；违章车次在(40,50的路口有2个，记为,ab；从“重点关注路口”中随机抽取两个路口，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，B

b，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况；其中有且仅有一个违章车次在(40,50的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况；所求概率815P=.20.如图．在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，22ABAD==，PA⊥平面ABCD，E为

PD中点，且1PA=．（1）求证：//PB平面ACE；（2）求面PAB与面EAC所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O，易证//OEPB，由线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面PAB与面

EAC所成角的余弦值．【小问1详解】连接BD交AC于O，底面ABCD是矩形，故O是BD的中点，E为PD中点，则//OEPB，OE面ACE，PB面ACE，所以//PB平面ACE；【小问2详解】由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系Axyz−，所以

11(2,1,0),(0,,)22CE，则11(2,1,0),(0,,)22ACAE==，若(,,)mxyz=为面EAC的一个法向量，则2011022mACxymAEyz=+==+=，令1x=，则(1,2,2)m=−，又(0

,1,0)n=为面PAB的一个法向量，所以22|cos,|||313||||mnmnmn===，故面PAB与面EAC所成角的余弦值为23.21.甲、乙、丙三名学生一起参加某高校的强基计划考试，考试分笔试和面试两

部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.7，0.5，0.6，能通过面试的概率分别是

0.7，0.6，0.5.（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率（精确到0.01）.【答案】（1）0.65（2）0.75【解析】【分析】（1）确定甲、乙、丙三名学生中至少有两人通过笔试的情况有4种

可能，根据互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可求得答案.（2）利用对立事件的概率求法即可得答案.【小问1详解】分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件123,,AAA，则123,,AAA为相互独立事件，E表示事件“至少有两人通过笔试”，则()()()()()123123

123123PEPAAAPAAAPAAAPAAA=+++=0.70.5(10.6)0.70.50.6(10.7)0.50.60.70.50.60.65−++−+=，即至少有两人通过笔试的概率是0.65；【小问2详解】分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，

则()()()0.70.70.49,0.50.60.3,0.60.50.3PAPBPC======.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则F表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，FABC=，于是()()()()()11PFPFPAPBPC=−=−1

(10.49)(10.3)(10.3)=−−−−10.510.70.70.75010.75=−=，即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.7522.在直角梯形ABCD中，//ADBC，2222BCADAB===，90ABC=，如图①把ABD△沿BD翻折，使得平面ABD

⊥平面BCD（如图②）．（1）求证：CDAB⊥；（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，14=BNBC，理由见解析.【解析】【分析

】（1）若O为BD中点，连接AO，易得AOBD⊥，由面面、线面垂直的性质有AOCD⊥，最后根据线面垂直的判定和性质证结论；（2）过O作//OyCD，并构建空间直角坐标系，应用向量法及已知线面角的余弦值求出满足要求的N

点坐标，即可判断存在性并求BNBC的值.【小问1详解】由题设2ADAB==，若O为BD中点，连接AO，则AOBD⊥，由面ABD⊥面BCD，面ABD面BCDBD=，AO面ABD，则AO⊥面BCD，而CD面BCD，故AOCD⊥，又2222BCADA

B===，90ABC=，则2BD=，且45DBC=，所以2222cos454CDBCBDBCBD=+−=，故222BDCDBC+=，所以BDCD⊥，AOBDO=，,AOBD面ABO，则CD⊥面A

BO，又AB面ABO，所以CDAB⊥.【小问2详解】过O作//OyCD，由（1）知：OyBD⊥，且AO⊥面BCD，所以可构建如下图示的空间直角坐标系Oxyz−，则(0,0,1),(1,2,0),(1,0,0)ACD−−，设(,1,0)Naa−且1

1a−，则(,1,1)ANaa=−−，且(1,0,1),(0,2,0)ADDC=−−=，若(,,)mxyz=是面ACD的一个法向量，则020mADxzmDCy=−−===，令1x=，则(1

,0,1)m=−，又AN与平面ACD所成的角为60°，所以2213|cos,|||2||||2(1)1mANamANmANaa+===+−+，整理得2252(21)(2)0aaaa−+=−−=，可得12a=或2a=（舍），即11(,,0)22N，而(

1,0,0)B，则11(,,0)22BN=−，(2,2,0)BC=−，即4BCBN=，故14=BNBC.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com