【文档说明】内蒙古包头市回民中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.846 MB，由管理员店铺上传

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包头回中高二年级期中考试理科数学考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一、选择题1.已知复数21zi=−，则z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111iiziiiii++===

=+−−+−，则2z=故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题2.已知复数(1)zaai=+−（i为虚数单位，aR），则“(0,2)a”是“在复平面内复数z所对应的点位于第一象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断.【详解】复数(1)zaai=+−，所以在复平面内对应的点坐标为(),1aa−，若(0,2)a，则10a−，10a

−=或10a−都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z所对应的点位于第一象限，有可得010aa−，可得01a，而()()0,10,2所以是必要条件，综上可知，“(0,2)a”是“在复平面内复数z所对应的点位

于第一象限”的必要不充分条件，故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.3.直线20xya++=与圆22240xyx++−=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A.56a−B.46a−C.36a−D.4a−【

答案】C【解析】【分析】根据题意得直线与圆相交，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解a的取值范围，再根据充分不必要条件的定义即可得答案.【详解】解：已知22(1)5xy++=，即圆心(1,0)−，半径5r=，当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关系

，所以圆心到直线20xya++=的距离为|1|55ad−+=，解得46a−，由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，故只需要满足是()4,6−的子集的取值范围即可满足.故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，充分不

必要条件等，属于基础题型.4.已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（）A.3－2B.3＋2C.3－22D.322−【答案】A【解析】试题分析：圆C的标准方程为22(

1)1xy−+=，圆心为(1,0)D，半径为1，直线AB方程为122xy+=−，即20xy−+=，D到直线AB的距离为1023222d−+==，点C到AB的距离的最小值为3212−，22AB=，所以ABC面积最小值为13222(1)

3222S=−=−．故选A．考点：点到直线的距离．5.下列语句中正确的个数是（）①R，函数()()sin2fxx=+都不是偶函数；②命题“若xy=，则sinsinxy=”的否命题是真命题；③若p或q为真，则p，非q均为真；④已知向量,ab→→，则“0ab→→”的充分不必要条件是“a

→与b→夹角为锐角”.A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【详解】分析：对于①，=2时可得其错误；对于②，令90,450xy==，可得其错误；对于③，p假且q为真时，可得其错误；对于④，由平面向量数量积的几何意义可得其正确.详解：对于①，因为=2时函数()()sin2fxx=

+是偶函数，故①错误；对于②，“若xy=，则sinsinxy=”的否命题是“若xy，则sinsinxy”，令90,450xy==，可得到②错误；对于③，p假且q为真时，p或q为真，可得到p非q均为假，故③错误；对于④，由平面向量数量积的几何意义可知若“a→与b→夹角为锐角”，则“

0ab→→”，若“0ab→→”，则“a→与b→夹角不一定为锐角”（同向时夹角为0），故④正确，故选B.点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意

以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与

“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.6.【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（

）A.221412xy−=B.221124xy−=C.2213xy−=D.2213yx−=【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan603ccabba==+==，解得：221

,3ab==，双曲线方程为：2213yx−=.本题选择D选项.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线

过两点可设为221(0)mxnymn−=，（2）与22221xyab−=共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.7.设椭圆C：22221

(0)xyabab+=的两个焦点分别为12,FF，12||22FF=，P是C上一点，若12PFPFa−=，且121sin3PFF=，则椭圆C的方程为（）A.22143xy+=B.22163xy+=

C.22164xy+=D.22142xy+=【答案】D【解析】【分析】根据12||22FF=，得到2c=，由椭圆的定义得到122PFPFa+=，结合12PFPFa−=，求得123,22aPFPFa==，然后在12PFF△中，由余弦

定理求得a即可.【详解】因为12||22FF=，所以2c=，P是C上一点，由椭圆的定义得：122PFPFa+=，又12PFPFa−=，所以123,22aPFPFa==，又121sin3PFF=，则1222cos3PFF=，所以在12PFF

△中，由余弦定理得：2222112112122cosPFPFFFPFFFPFF=+−，即2233228222223aaa=+−，整理得：2440aa−+=，解得2a=，则2222bac=−=，所以

椭圆C的方程为22142xy+=故选：D8.圆心在抛物线22yx=上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A.22210xyxy+−−+=B.221204xyxy+−−−=C.22210xyxy+

+−+=D.221204xyxy+−−+=【答案】D【解析】【详解】设圆心坐标为2,2bb,则由所求圆与抛物线的准线及x轴都相切可得2122bb+=所以1b=，故圆心为1,12半径1R=所以圆心在抛物线22(0)yxy=上,并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程为221(

1)12xy−+−=即221204xyxy+−−+=，所以D选项是正确的9.已知F为抛物线2yx=的焦点，,AB是该抛物线上的两点，3AFBF+=，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【答案】C【解析】【分析】抛物线的准线为1:

4lx=−，过,AB作准线的垂线，垂足为,EG，AB的中点为M，过M作准线的垂线，垂足为MH，则可利用几何性质得到32MH=，故可得M到y轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4lx=−，过,AB作准线的垂线，垂足为,EG，AB的中点为M，过M作准线的垂线，垂足为MH，因为,

AB是该抛物线上的两点，故,AEAFBGBF==，所以3AEBGAFBF+=+=，又MH为梯形的中位线，所以32MH=，故M到y轴的距离为315244−=，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.10.如图，已知12,FF是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段2P

F与圆相切于点Q，且点Q为线段2PF的中点，则椭圆的离心率为（）A.53B.35C.54D.25【答案】A【解析】【分析】利用Q为2PF的中点及2PFOQ⊥可得12PFb=且12PFF为直角三角形，故可得,,abc

的等式关系，从这个等式关系进一步得到32ba=，消去b后可得离心率.【详解】连接1,PFOQ，因为线段2PF与圆相切于点Q，故2PFOQ⊥，因12FOOF=，点Q为线段2PF的中点，故1PFOQ且122PFOQb==，故

222PFab=−，又12PFPF⊥，故()2222244444babcab+−==−，整理得到32ba=，所以()22294aca−=，所以53cea==，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键

是利用题设条件构建关于,,abc的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,abc的不等式或不等式组．11.设12FF、分别是椭圆2212516xy+=的左、右焦点，P为椭圆上任一点，M的坐标为（6，

4），则1||PMPF+的最大值为（）A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】【分析】由椭圆的标准方程2212516xy+=得到a、b、c，然后借助定义转化为求2PMPF−的最大值即可．【详解】如图所示，由椭圆2212516xy+=可得：5a=，4b=，223cab=−=，()13,

0F−，()23,0F，由椭圆的定义可得：12210PFPFa+==，()22122221010103415PMPFPMaPFPMPFMF+=+−=+−+=++=，则1PMPF+的最大值为15，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离

公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知点P是双曲线()222210,0yxabab−=下支上的一点，1F、2F分别是双曲线的上、下焦点，M是12PFF△的内心，且121213MPFMPFMFFSSS=+VVV，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.3D.

21+【答案】C【解析】【分析】设12PFF△的内切圆的半径为r，121213MPFMPFMFFSSS=+VVV，即12121111||||+||2232PFrPFrFFr=，故得解.【详解】设22ca

b=+，12PFF△的内切圆的半径为r，则21212||||,||2cPFPFaFF−==12121212111||,||,||222FFMPFMPFMSPFrSPFrSFFr===由于121213MPFMPFMFFSSS=+VVV

故12121111||||+||2232PFrPFrFFr=因此：3cea==故选：C【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.第II卷（非选择题）二、填空题13.20202021ii+=_____.【答案】1

+i【解析】【分析】根据虚数单位的性质运算即可求解.【详解】2020202145054505()()1iiiiii+=+=+,故答案为：1+i【点睛】本题主要考查了虚数单位i的周期性，属于容易题.14.命题：“0x，210xx+−”的否定为_____．【答案】0x，210xx

+−.【解析】【分析】根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题“0x，210xx+−”为特称命题，其否定为：“0x，210xx+−”.故答案为：0x，210xx+−.【点睛】本题考查特称命题否定的改写，属于基础题.15.若双曲线

C：22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得

到所求离心率公式．【详解】双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线方程设为0bxay−=，圆22(2)4xy−+=的圆心为(2,0)，半径2r=，可得圆心到渐近线的距离为22|20|bda

b−=+，则2224224bab=−+，化为22223abca==−，即224ac=，1cea=，解得2e=.故答案为：2.【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a，b的等量关系，即可求

解a、c关系，属于中等题.16.直线l过抛物线()2:20Cypxp=＞的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若6AF=，2DBBF=，则p=__________．【答案】3【解析】设1122(,),(,),(,0),(,)22ppAxyBxyFDt−，则2222(,),(,)

22ppDBxytBFxy=+−=−−，由题设可得222()22ppxx+=−，即2263ppxy==−，则3326ABpkpp==−，即直线的倾斜角为60，所以16cos60322ppx=+=+，又16

2pAFx=+=，即3262p+=，故3p=，应填答案3．点睛：解答本题的关键是借助题设条件，确定交点的坐标，进而确定直线的斜率与倾斜角，数形结合求得16cos60322ppx=+=+，然后再依据已知条件建立方程求出3p=，使得问题获解．三、解答题17.设命题:p实数x满足2232

0xmxm−+，命题:q实数x满足()221x+.（1）若2m=−，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若0m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）()4,1−−；（

2）(1,3,02−−−.【解析】【分析】（1）解出命题p、q中的不等式，由pq为真，得出p真或q真，然后将两个不等式的解集取并集可得出结果；（2）解出命题p、q中对应不等式的解集，由两个条件之间的充分不必要条件关系，可得出两个解集之间的包含关系，然后列关于m的不等

式，解出即可.【详解】（1）当2m=−时，2:680pxx−+，即42x−−.由()221x+，得31x−−若pq为真，即p真或q真，423141xxxxxx−−−−=−−.因此，实数x的取值范围()4,1−−；（

2）若0m，22:320pxmxm−+，即2mxm.:31qx−−，:3qx−或1x−，且p是q的充分不必要条件，则03mm−或021mm−，即3m−或102m−.因此，实数m的取值范围(

1,3,02−−−.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，以及由命题的充分必要性求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，利用集合包含关系列不等式（组）求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.18.已知：()2:,2

1pxRxmx+，0:,qxR200210xxm+−−=，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若()pq为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）2m−；（2）2m−.【解析】【分析】（1）由题意知，q是真命

题等价于方程2210xxm+−−=有实根，利用判别式0即可求解；（2）由题意知，分别求出p、q为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为0:R,qx200210xxm+−−=为真命题，所以方程2210xxm+−−=有实根，所

以判别式()4410m=++，所以实数m的取值范围为2m−.（2）()221xmx+可化为220mxxm−+，若:R,px()221xmx+为真命题，则220mxxm−+对任意的xR恒成立，当0m=时，不等式可化为20

x−，显然不恒成立；当0m时，有20440mm−，1m−，由（1）知，若q为真命题，则2m−，又()pq为真，故p、q均为真命题，所以实数m需满足12mm−−，解得2m−，所以实数m的取值范围为2m−.【点睛】

本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19.已知抛物线()220ypxp=的焦点F与双曲线2213yx−=的一个顶点重合，过点()4,0M作倾斜角为45的直线l

与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线方程；（2）求AOB的面积.【答案】（1）24yx=；（2）85.【解析】【分析】（1）由已知得双曲线的右顶点为()1,0，即可得到抛物线()220ypxp=的焦

点F()1,0，由此能求出抛物线的方程.（2）由题意利用点斜式求出直线l的方程：40xy−−=，将直线与抛物线联立，再利用弦长公式求出AB，利用点到直线的距离公式求出原点到直线l的距离，进而可求出AOB的面

积.【详解】（1）由双曲线2213yx−=的右顶点为()1,0，即可得抛物线()220ypxp=的焦点F()1,0，所以抛物线的方程为24yx=.（2）由题意可得直线l的方程：40xy−−=，将直线与抛物线联立2404x

yyx−−==，整理可得212160−+=xx，设()11,Axy，()22,Bxy，所以1212xx+=，1216xx=，()22121214410ABkxxxx=++−=，原点到直线l的距离004222d−−==，所以141022852AOBS=

=【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线中的面积问题、弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1xyEab+=()0ab的半焦距为c，原点O到经过两点()(

),0,0,cb的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆交于,AB两点，线段AB的中点为()2,1M−，求弦长.AB【答案】（1）221123xy+=；（2）10.【解析】【分析】（1）由点到直线的距离得12ba=，再由长轴长可求得,ab得椭圆

方程；（2）直线AB的斜率一定存在，设方程为()12ykx+=−，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,AxyBxy，由韦达定理得1212,xxxx+，由中点坐标公式求得k，再由弦长公式求得弦长．【详解】解：

（1）经过两点()(),0,0,cb的直线为：1xycb+=即0bxcybc+−=.由已知：原点到直线的距离2212bcbcdcabc−===+即12ba=因为243a=，所以3.b=所以椭圆的标准方程为：221123xy+=（2）当直线l斜率不存在时，线段AB的中

点在x轴上，不合题意.所以直线l的斜率存在，设为k，则直线()12ykx+=−即为：21ykxk=−−设()()1122,,,AxyBxy联立22214120ykxkxy=−−+−=得：()()2221

4821161680kxkkxkk+++++−=()()22214821161680kxkkxkk+−+++−=显然0则()122821414kkxxk++==+，解得12k=则21221616821

4kkxxk+−==+所以()221212121114104ABkxxxxxx=+−=++−=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)xyxy，设直线方程，

代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,xxxx+，由弦长公式得弦长．21.已知圆22(2)(3)1Mxy−+−=，直线l过点(3,1).（1）若直线l与圆M相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆M交于,PQ两点，当MPQ的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）3x=或34130xy+−

=；（2）40xy+−=或7220xy+−=.【解析】【分析】（1）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线l的方程；（2）设直线l的方程为1(3)ykx−=−，圆心到直线l的距离为d，可得||PQ的长，由MPQ的

面积最大，可得21d=2，可得k的值，可得直线l的方程.【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x=，此时直线l与圆M相切，所以3x=符合题意,当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则直线l的方

程为1(3)ykx−=−，即130kxyk−+−=,因为直线l与圆M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即2|2313|11kkk−+−=+,解得34k=−，即直线l的方程为34130xy+−=；综上，直线l的方程为3x=或34130xy+−=,（2）因为直线l与圆M交于P.Q两点

，所以直线l的斜率存在，可设直线l的方程为1(3)ykx−=−，圆心到直线l的距离为d,则222||221PQrdd=−=−,从而MPQ的面积为222111||1224PQdddd=−=−−+·当21d=2时，MPQ的面积最大,因为2|2313|1kkdk

−+−=+，所以22|2313|121kkk−+−=+，解得1k=−或7k=−,故直线l的方程为40xy+−=或7220xy+−=.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.22.已

知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为1,,2AB分别为椭圆C的左，右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点,PQ，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为

(0)kk，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,求证：||||MFPQ为定值.【答案】（Ⅰ）22143xy+=；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据21262APBQSABPQb===四边形，可得23b=，再根据离心率求出a，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由题意可知()

1,0F，直线l的方程为1ykx=−（），根据韦达定理和弦长公式求出PQ，再求出直线MN的方程可得M的坐标，即可求出MF，问题得以证明．【详解】（Ⅰ）由：22221xyab+=，令xc=可得2bya=，则22b

PQa=，则12APBQSABPQ==四边形22122262baba===，可得23b=∵12cea==，∴2ac=，222abc=+，∴24a=∴椭圆C的方程为22143xy+=．证明：（Ⅱ）由题意可知()1,0F，直线

l的方程为1ykx=−（），由()221431xyykx+==−，可得()()22224384120kxkxk+−+−=设()11,Pxy，()22,Qxy，∴2122843kxxk+=+，2122

41243kxxk−=+，∴()121226243kyykxxkk−+=+−=+，设PQ的中点为N，则22243,4343kkNkk−++，则MN的过程为2223144343kkyxkkk+=−−++，令0y=，可得22,043k

Mk+，∴()223143kMFk+=+，∵()22121214PQkxxxx=++−=()()22222222441212181434343kkkkkkk−++−=+++，∴14MFPQ=为定值．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．