【文档说明】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期诊断性测试数学（理）试题含答案.docx，共(11)页，928.229 KB，由管理员店铺上传

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合肥市第六中学2019级高二上学期诊断性测试理科数学试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点

,12p在抛物线()320ypxp=上，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.3C.4D.52.已知平面、和直线m、l，要使“若⊥，m=，lm⊥，则l⊥”正确，则须添加条件（）A.l⊥B.lC.l与相交但不垂直D.l与m为异面直线3.若直线()1:

23230lmxy−+−=与直线()()21310lmxmym++−+−=:垂直，则m的值是（）A.3B.2C.－1或2D.－2或34.椭圆2216xyb+=的焦距为2，则b的值等于（）A.5B.7C.5或7D.5或85.已知直三棱柱的侧棱长为2，底面三角形的

边长分别为3，4，5，且三棱柱的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.58B.29C.25D.276.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，iP，()1,2,,8iPi=分别是上下底面上其余的八个点，则下列说法正确的个数是（）①822B

P=；②433411APAPPPPP=++；③()1,2,,8iABAPi=不同值的个数为4.A.3B.2C.1D.07.中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三

棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”111ABCABC−，如图所示，ACBC⊥，13AA=，2AC=，则其中“阳马”11BAACC−与三棱锥111BACB−的体积之比为（）A.3：

1B.2：1C.3：2D.4：18.已知双曲线22:13xCy−=的右焦点为F，O为坐标原点，过F的直线l交双曲线C的两条渐近线分别于A，B两点，若OAAB⊥，则AFBF=（）A.23B.32C.22D.129.已知椭

圆()221024xybb+=，直线10xy+−=与椭圆交于P，Q两点，设线段PQ的中点为M，点O为坐标原点，且OPOQ⊥，则直线OM的斜率为（）A.38B.18C.47D.1710.已知抛物线()220ypxp=上一点()5,m到焦点的距离为6，且抛物线的准线

与双曲线()2222:10,0xyCabab−=的两条渐近线所围成的三角形面积为22，则双曲线C的离心率为（）A.3B.4C.6D.911.已知tR，点()00,Axy表示不在直线21:104ltxty+−+=

上的点，则所有点()00,Axy构成的图形的面积为（）A.B.2C.4D.812.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F分别为AD，1AA的中点，则以下说法错误．．的是（）A.N为11BC上一点，则平面EFC与平面CBN所成二面角的大小与点N位置

无关B.1BB存在上一点P，使得1CP⊥平面CEFC.三棱锥BCEF−和1DFBC−体积相等D.11AD上存在一点M，使得90CFM=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x，y满足条件452601xyxyy+−+，则2zxy=

+的最小值为______.14.直线2yax=+与圆()()22329xy++−=相交于A，B两点，且25AB=，则a的值为______.15.设O为坐标原点，直线6x=−与抛物线()2:20Cypxp=−交于D，E两点，若ODE△为正三角形，则抛物线C的焦点坐标为______.16

.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F交双曲线左支于A，B两点，若215AFBF=，14ABBF=，则双曲线C的渐近线的斜率为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图所示，直

线1:20laxy−+=与直线2:220lxby+−=平行，且直线1l，2l与两坐标轴围成的区域面积为2，求直线1l与2l的方程.18.（12分）已知22:16Cxy+=.（1）设点(),Qxy为C上的一个动点，求43xy+的范围；（2）直线l过点()3,4P，且与C交于A、B

两点，若27AB=，求直线l的方程.19.（12分）如图，四棱锥SABCD−的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，2SDa=，2ADa=，点E是SD上的点，且()02DEa=.（1）若SB∥平面ACE，求实数

的值；（2）设直线BE与平面ACE所成的角为，直线BE与平面ABCD所成的角为，是否存在实数使得2sinsin=，若存在，求的值；若不存在，说明理由.20.（12分）如图，已知点F为抛物线()2:20Eypxp=的焦点，点()2,Am在抛物线E上，且3AF=.

（1）求抛物线E的方程；（2）已知点()1,0G−，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线.21.（12分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，平面11AADD⊥平面ABCD，底面A

BCD是菱形，3ADC=，11AAADAD==，E为1DD的中点.（1）求异面直线1AD与1BD所成角的余弦值；（2）求锐二面角ACED−−的余弦值.22.（12分）如图，已知点P为椭圆221:1

2yCx+=的上顶点.椭圆2C以椭圆1C的长轴为短轴，且与椭圆1C有相同的离心率.（1）求椭圆2C的标准方程；（2）过点P作斜率分别为1k，2k的两条直线1l，2l，直线1l与椭圆1C，2C分别交于点A，B，直线2l与椭圆1C，2C分别交于点C，D.（i）当85PAPB

=时，求OA；（ii）若A，C两点关于坐标原点O对称，求PAPCPBPD+.2019级高二上学期诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B

3.D4.C5.B6.C7.B8.D9.D10.A11.C12.B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.－714.25515.1,02−16.62三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.17.解：由图象可知0a，0b.∵1l与2l平行，∴()212ab=−=−，∵直线1l，2l与两坐标轴围成的区域面积为2，∴121221222ab+−=，即212ab−=，∴22b

aab−=，又2ab=−，∴24ba−=−，即24ab=+代入2ab=−得2210bb++=，∴1b=−，2a=，故直线1l的方程为220xy−+=，直线2l的方程为220xy−−=.18.解：（1）设43xyt+=，则直线43xyt+=与C有公共点，所以圆心到直

线的距离22||443td=+，解得2020t−.故43xy+的范围为20,20−.（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为3x=，l与圆的两个交点坐标为()3,7，()3,7−，这两点的距离为27，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为()43ykx−=−

，即340kxyk−−+=，设圆心到此直线的距离为()0dd，则227216d=−，得3d=，从而23431kk−+=+，得724k=，此时直线方程为724750xy−+=，综上所述，所求直线方程为724750xy−+=或3x=.19.

解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D，()2,0,0Aa，()2,2,0Baa，()0,2,0Ca，()0,0,Ea，()0,0,2Sa.（1）()2,0,EAaa=−，(

)0,2,ECaa=−，()2,2,2SBaaa=−.设平面ACE的法向量为(),,nxyz=，则由nEA⊥，nEC⊥，得00nEAnEC==，即2020xzyz−=−=，取2z=，得平面ACE的一个法向量为(),,2n=，因为SB∥平面ACE，所以nS

B⊥，22220nSBaaa=+−=，所以1=.（2）由（1）知，平面ACE的一个法向量为(),,2n=，平面ABCD的一个法向量为()0,0,2DSa=，()2,2,BEaaa=−−，所以()()22||sin||||41BEnBE

n==++，2sin||||4BEDSBEDS==+，若存在实数使得2sinsin=，则()()2222441=+++，解得(20,2=，所以存在实数2=使得2sinsin=.20.解：

（1）由抛物线定义可得232pAF=+=，解得2p=.∴抛物线E的方程为24yx=.（2）∵点()2,Am在抛物线E上，∴242m=，解得22m=，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A，∴直线AF的方程为()221yx=−，由()22214yxyx=−=得225

20xx−+=，解得2x=或12，∴1,22B−.又()1,0G−，∴223GAk=，223GBk=−，∴0GAGBkk+=，∴AGFBGF=.∴GF为AGB的平分线.21.（1）解：取AD中点O，连结1AO，CO，由已

知平面11AADD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，3ADC=，所以11AAADADAC===，COAD⊥，所以1AOAD⊥，又平面11AADD⊥平面ABCD，故1AO⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OD，1OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设112AAADA

DAC====，则()0,1,0A−，()3,0,0C，()10,0,3A，()0,1,0D，()3,2,0B−，()10,2,3D，330,,22E.()10,1,3AD=−，()13,4,3BD=−，设异面直线1AD与1BD所成的角为

，则1111122cos44222ADBDADBD===，即异面直线1AD与1BD所成角的余弦值为2244.（此问也可以用几何法求解）（2）()3,1,0AC=，530,,22AE=，()3,1,0DC=−，13

0,,22DE=，设平面ACE的法向量()111,,mxyz=，平面DCE的法向量()222,,nxyz=，则11113053022mACxymAEyz=+==+=，取11x=，得()1,3,5m=−，

22223013022nDCxynDEyz=−==+=，取21x=，得()1,3,1n=−，7cos,||||145mnmnmn==−，故锐二面角ACED−−的余弦值为7145145.22.解：（1）设椭圆2C的方程为22221xyab+=，（0ab）

，由题意可知222212222cababc−====+，解得2b=，2a=，所以椭圆2C的标准方程为22142xy+=.（2）（i）由（1）知椭圆2C的标准方程为22142xy+=，由221122yxykx+==+得121222Akxk=−+；由2211422xyykx

+==+得1214212Bkxk=−+.由85PAPB=知，112211422281252kkkk−=−++，解得212k=，所以21121222202AAkykxk=+=−+=+，

即A为椭圆1C的短轴端点，故1OA=.（ii）设直线2l的方程为22ykx=+，同理可得222222Ckxk=−+，由A，C两点关于坐标原点O对称知1222122222022kkkk−+−=++

，解得12kk=−或122kk=−.当12kk=−时，由（i）知54PAPCPBPD+=；当122kk=−，即212kk−=时，由相似三角形的性质可知()122112112122212||||224212kkkPAPBkkk−+

+==+−+，同理，()()222121222211212128||||2242242kkkPCPDkkk−+++===++−+，所以()()22112211128||||5||||42242kkPAPCPBPDkk+++=+=++.

综上可知，||||5||||4PAPCPBPD+=.