四川省叙永第一中学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题答案

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以下为本文档部分文字说明:

2024年秋期高2022级高三开学考试数学试题参考答案:题号12345678910答案AABCDDCABCDACD题号11答案ACD12.3213.014.()e,+15.解:(1)由图象可知,()fx的最大值为2,最小值为2−,又0A,故2A

=,......2分周期453123T=−−=,2||=,0,则2=,.....................................4分从而()2sin(2)fxx=+,代入点5,212,得5

sin16+=,则5262k+=+,Zk,即23k=−+,Zk,.............................................6分又||2,则3=−.()2sin23fxx=−.......

...........................................................................................7分(2)将函数()fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不

变,故可得2sin3yx=−;............................................................................................9分再将所得图象向左平移6个单位

,得到函数()gx的图象故可得()2sin()6gxx=−;.........................................................................................10分[,]6x−5[,

]636x−−,3sin,162x−−,...........................................12分2sin3,26x−−,()[3,2]gx−的值域为.....

.....................................................13分16.解:(1)由22cosabcB+=,根据正弦定理可得2sinsin2sincosABCB+=,.....2分则()2sinsin2sincosBCBCB

++=,...............................................................................3分所以2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB++=,整理得()2

cos1sin0CB+=,..............5分因为,BC均为三角形内角,所以(),0,π,sin0BCB,...........................................6分因此1cos

2C=−,所以2π3C=..................................................................................7分(2)因为CD是角C的平分线,313,13ADDB==,所以在ACD和BCD△中,由正

弦定理可得,,ππsinsinsinsin33ADCDBDCDAB==,.........................9分因此sin3sinBADABD==,即sin3sinBA=,所以3ba=,.............................

.................................10分又由余弦定理可得2222coscababC=+−,即2222(413)93aaa=++,................................12分解得4a=,

所以12b=.......................................................................................................13分又ABCACDBCDSSS=+△

△△,即111sinsinsin222abACBbCDACDaCDBCD=+,............14分即4816CD=,所以3CD=..................................

...............................................................15分17.解:(1)数列{}na是等差数列,依题知:12111336(3)()(7)adadadad+=+=++,

解得111ad==或120ad==(舍)..................................................3分1(1)naandn=+−=..............

.............................................................................................5分1222nnbbnba+++=,①当

2n…时,1212(1)2(1)nnbbnba−−+++−=,②①−②得22(1)2nnnnbaa−=−=,2nbn=.................................................................................

7分又当1n=时,112ba==满足上式,2nbn=;.....................................................................8分证明:(2)由(1)知22nnnbcan==

.当1n=时,110423211c==−+;当2n…时,222222211111()()42222ncnnnnnn===−−−+−+......................................

......................11分1222222222111111222222222ncccnnn++++−++−=+−−+−+−+104321n=−+.........................................................

.................................................................14分综上,12104321ncccn+++−+„...........

...............................................................................15分18.解:(1)由3()()eexxfxgxxx

−+=+,2()()[e()e]xxfxgxxmx−−=−+可得.......................2分32ee[e()e]1()ee22xxxxxxxxxmxfxxmx−−−++−+==−,..

.............................................................3分由于()fx为偶函数,故()11()eeee22xxxxfxfxxmxxmx−−=−−=−+,进而可得

()1ee102xxxxm−+−=,由于eexxxx−+不恒为0,故1102m−=,解得2m=,故e(e)xxxfxx−=−..........................................5分(2)令2()(

)[e(2)e]0xxfxgxxx−−=−+=,当0x时,则22e2xx=+,令()22=e2xhxx−−,则()2e2xhxx=−,令()()()2e2,0xmxhxxx=−=则()22e20xmx=−,故(

)mx在(0,+∞)单调递增,故()()()01mxhxh==,故ℎ(𝑥)在(0,+∞)单调递增,又()11e20,01024hh=−−=−,故存在唯一的0x,且0102x,得证,...............................10分(3

)3()eexxgxxx−−=+由()gxax可得当0x时,2eexxax−−+,当0x时,2eexxax−−+,.....................................12分令()2=eexxpxx−−+

,则()()()222=e2ee21e1e0xxxxxpxxxxxx−−−−−−+−=−−+=−−,...............................................14分故()px在(),0−单调递减,在(0,+∞)单

调递减,故0x时,()()01pxp=,此时()apx,故1a,................................................................15分当0x

时,()()01pxp=,此时()apx,故1a,................................................................16分要使对任意的Rx,都有()gxax成立,故11a,故1a=,...........

......................................17分19.解:(1)1,2,3,5(符合要求即可):..........................................................................

.......3分(2)假设可以划分,1,abcdab−=和cd一定是一个奇数一个偶数,,,,abcd中至多两个偶数.则对于1,2,3,4,5,6,7,8的一种符合要求的划分1111,,,abcd和2222,,,,abcd

每个四元子集中均有两个偶数.若两个集合分别为112,4,,cd和226,8,,,cd则2247cd=或49,不存在22,cd使得226,8,,cd符合要求:若两个集合分别为112,6,,cd和224,8,,,cd则1111cd=或13,不存在11,c

d使得112,6,,cd符合要求:若两个集合分别为112,8,,cd和224,6,,,cd则2223cd=或25,不存在22,cd使得224,6,,cd符合要求;综上所述,1,2,3,4,5,6,7,8不能划分为

两个不相交的“有趣的”四元子集,..............................11分(3)假设1,2,,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集12,,,nSSS.每个子集中至多两个偶数,又1,2,,4n中恰有2n个偶数,每个子集中均

有两个偶数,对于1in,可设,,,,iiiiiSabcd=其中,iiab是偶数,,iicd为奇数,再由奇偶性,只能是1iiiiabcd−=.()()1111,iiiiiiiiabcdcdcd=+++且11221122,,,,,

,2,4,4,,,,,,,1,3,,41nnnnabababncdcdcdn==−.()()()()()()11221122244111111244,nnnnnabababcdcdcdn=++++++=.矛盾.1,2,,4n不能划分为n个

两两不相交的“有趣的”四元子集................................................17分

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