【文档说明】山东省六校2020-2021学年高二下学期5月“山东学情”联考数学试题（A） 版含答案.doc，共(10)页，816.500 KB，由小赞的店铺上传

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2021年“山东学情”阶段性联合考试高二数学试题A（人教版）（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8

小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量X的概率密度函数为222)2(21)(−−=xexf，若)1()12(aXPaXP−=+，则=aA．2−B．0C．1D．22．鱼缸里

有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为A．32B．36C．40D．483．经研究

，男子篮球运动员的身高)(cmy关于其父亲身高)(cmx的经验回归方程为8.329.0+=xy，已知姚明身高cm226，其父亲姚志源身高cm208，那么姚明身高的残差等于A．cm2.10−B．cm6−C．cm6D．cm2.104．在6202121−+xx的展开

式中，3x的系数为A．160−B．120−C．8−D．1605．设函数)(xf的导函数为)('xf，若)(xf的图象如右图所示，则)(xf0)('•xf的解集为A．)0,(−B．)3,0(C．)3,0()0,(−D．)4,3()0,(−6．在17世纪，有两个赌徒向法国数学家布莱尔

•帕斯卡提出了这样一个问题：他们二人赌博，采用五局三胜制，赌资为400法郎．赌了三局后，甲赢了2局，乙赢了1局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了，但是他们期望获得部分赌资，数学期望这个词由此而生．假设每局两赌徒获胜的概率相等，

每局输赢相互独立，那么这400法郎比较合理的分配方案是A．甲200法郎，乙200法郎B．甲300法郎，乙100法郎C．甲250法郎，乙150法郎D．甲350法郎，乙50法郎7．某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同

，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为A．0.83B．0.78C．0.76D．0.638．若axxxexx++

ln,0，则实数a的取值范围是Ox43高二数学试题A第1页（共4页）A．)2ln,(−B．)1,(−C．),2(ln+D．),1(+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求

，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法．某地响应总书记号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20162017201820192020年份代码

x12345年借阅量y（万册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得y关于x的经验回归方程为+=axy24.0，则A．68.4=aB．近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长C．x与y的线性相关系数0rD．2021年的借阅量一定不少于6.12万册10

．在二项式nxx−2331的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则A．10=nB．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数和为1024D．展开式所有项的系数和为25611．已知函数)(ln)(efxx

exf−−=，则A．1)1(−=fB．0)(max=xfC．efef1)(2D．22ee12．右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在

下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则A．641)6()1(====XPXPB．325)5()2(====

XPXPC．165)4()3(====XPXPD．23)(=XD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知偶函数)(xf的导函数为)('xf，当0x时，xxxfcos)(=，则=−)('f．

14．95355+除以9的余数为．15．某商场安排甲乙两名员工，在门口为没随身携带口罩的顾客发放口罩．昨天，两人共领到编号1~10的10个口罩，每人5个，放在盒子里，自上而下依次发放，且甲乙二人发放是随机的．若10个口罩恰好发完，则不同的发放顺序有

种．16．已知)lnln()(axxxf−−=，若Rm，0x使得mxf=)(，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）设曲线0,)(=xexfx在点),(00xe

xP处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S．高二数学试题A第2页（共4页）（1）求切线l的方程；（2）求S的最大值．18．（12分）2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（

德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得4

0分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为X．（1）分析发现，学生劳动常识竞赛成绩)81,71(~N，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；（2）某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为43，通过后两关的的概率均为32，

且每关是否通过相互独立，求X的分布列及数学期望．附：若随机变量),(~2NX，则6827.0)(+−P，9545.0)22(+−P，9973.0)33(+−P．19．（12分）已知函数)0(3ln)(2−+=axxxaxf．（1）当

1=a时，求函数)(xf的极值；（2）若)(xf有唯一极值点0x，求关于0x的不等式)2(0xfa的解集．20．（12分）文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月

——5月不依规行驶的次数统计：月份x12345违章人数y5140352821（1）求y关于x的经验回归方程+=axby，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；（2）交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：不依规行驶依规行驶合计老年人

22830青年人81220合计302050依据05.0=的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？附：①对于一组数据),2,1)(,(niyxii=，其经验回归直线+=axby的斜率和截距的最小二乘估计分别为：高二数学试题A第3页（共4页）xbyaxnxyxnyx

bniiniii==−=−−=,1221．②临界值表：0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828计算公式：))()()(()(22dcdbcababcadn++++−=，其中dcban+

++=．21．（12分）2011年3月，日本福岛第一核电站内部的冷却水因海啸而外泄且无法修补．为了控制反应堆温度和防止堆芯融化，只能不断注入大量新的冷却水，随即产生有辐射性的污水，到2022年，将出现污水存放空间不足的问题，于是日本欲把污水排入太平洋，遭到全世界的反对．其实长期以来，日本都

在偷偷地以“减摇水”的形式把核废水排入了韩国海域．为了监测海水被污染情况，韩国一研究机构取了*),2(Nnnn份水样，可用两种方式检测其中是否含有放射性物质：方式一：逐份检测．方式二：混合检测，即把每份水样分成2份，各取其中一份混在一起进行检测，如无放射性，则检测这1

次就可以了；如有放射性，则需对这n个水样的另一份水样逐份检测，共需检测1+n次．对于n份水样，运用混合检测时，设所需的检验次数为；运用逐份检测时，设所需的检验次数为．设每份水样检测出含有放射性物质的概率均为p，且各份水样的检测结果相互独立．（1）求)(E；（2）若411−−=ep，为

使检测n份水样所需的次数较少，应采用什么检测方式？参考数据：4877.9,3891.7,6487.125.22eee．22．（12分）已知函数2ln)3()(xxxxf++=．（1）判断)(xf的单调性；（2）若)(2)()(2121xxxfxf=+，求

证221+xx．2021年“山东学情”阶段性联合考试高二数学试题A（人教版）答案一、单项选择题高二数学试题A第4页（共4页）答案：1．D2．A3．C4．A5．D6．B7．A8．B详解：1．D【详解】依题意，

可得4112=−++aa，解得2=a．2．A【详解】32221812=ACC．3．C【详解】把cmx208=代入8.329.0+=xy得cmy220，所以，姚明身高的残差等于cm6220226=−.4．A【详解】式子可视为6个212021−+xx相乘，要得到3x，须3个

提供x，3个提供2−，所以3x的系数为160)2(336−=−C．5．D【详解】画出)('xf大致图象，如图所示，观察图形可知)(xf0)('•xf的解集为)4,3()0,(−．6．B【详解】若继续赌下去，甲赢的概率为432121

21=+，乙赢得概率为412121=，所以甲300法郎，乙100法郎．7．A【详解】所求概率为83.07.04088.040129.04020=++．8．B【详解】因为xxxex+=ln)ln(，所以xxxexe+=ln，设txx=+ln，则Rt且原不等式可化为tea

t−，只需min)(teat−．设=)(tgtet−，则=)('tg1−te，所以当0t时，0)('tg，)(tg单调递减；当0t时，0)('tg，)(tg单调递增．所以1)0()(min==gtg，所以1

a．二、多项选择题答案：9．ABC10．BD11．ABD12．BC详解：9．ABC【详解】把4.5,3==yx代入+=axy24.0，可得68.4=a，所以A正确；2.04万册是每年的借阅量的增长量的预测值，所以B正确；因为024.0=b，所以x与y正相关，所以0r，所以C正确；

把6=x代入+=axy24.0得12.6=y，然而6.12万册是预测值，不是精确值，所以D错误．10．BD【详解】第5项的二项式系数为4nC，所以8=n，A错误；因为24581)3(−+−=kkkkxCT，且0245−k，所以展开式中没有常数项

，B正确；展开式所有二项式系数和为25628=，C错误；令1=x，可得展开式所有项的系数和为=−8)2(256，D正确．11．ABD【详解】因为)()(efeeef−−=，所以0)(=ef，所以xxexf−=ln)(，所以1)1(−=f，所以A正确．因Ox43)('xf为xxexexf−=−

=1)('，所以当ex0时，0)('xf，)(xf单调递增；当ex时，0)('xf，)(xf单调递减．所以0)()(max==efxf，所以B正确．因为01)3(131)(22+−=+−=−eeeeeeefef，所以efef1)(2

，所以C错误．因为022ln)2(−=ef，所以e22ln，所以22ee，所以D正确．12．BC【详解】设1−=XY，依题意，21,5~BY，所以32121)0()6()1(505=======CYPXPXP，32521)1()5()2(515=====

==CYPXPXP，16521)2()4()3(525=======CYPXPXP，45215)()(2===YDXD．三、填空题答案：13．114．815．25216．),1[+详解：13．1【详解】

因为xxxxfsincos)('−=，所以1)('−=f，又因为)('xf是奇函数，所以=−)('f1)('=−f．14．8【详解】91545454549)154(95354555325554155550555555+−+−+−=+−=+CCCC，所以

95355+除以9的余数即为8除以9的余数，即为8．15．252【详解】25255551010=AAA．16．),1[+【详解】依题意，)(xf的值域是R，所以函数axxxg−−=ln)(能取到所有正数．因为xxxxg111)('−=−

=，所以当10x时，0)('xg，所以)(xg在)1,0(上单调递减；当1x时，0)('xg，所以)(xg在),1(+上单调递增．所以当1=x时，)(xg取得最小值a−1，若使)(xg能取到所有正数，只需01−a，所以1a．四、解答题17．解：（1）因

为xexf=)('，所以0xekl=，------------------------------------1分所以切线l的方程为)(000xxeeyxx−=−，----------------------------

------2分整理得0)1(000=−+−xxexyxe．…………3分（2）在切线l的方程中，令0=x，可得0)1(0xexy−=----------------------------------4分令0=y，可得

10−=xx．…………5分因为00x，所以0200)1(21)(xexxSS−==，----------------------------------6分所以0)1)(1(21)(000'xexxxS

+−=，----------------------------------7分所以当10−x时，0)(0'xS，所以)(0xS在)1,(−−上单调递增；----------------------------------8分当010−x时，0)(0'xS，所以)(0xS在)0,1(

−上单调递减．……9分所以当10−=x时，S取得极大值也是它的最大值e2．…………10分18．解：（1）依题意，9,71==，所以80=+，…1分所以15865.026827.01)80(=−=P，-

---------------------------------2分所以估计参加劳动技能过关考核的人数为6356.63415865.04000=．…………3分（2）依题意，X的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．…………4分因为361321431)0(2=

−−==XP，----------------------------------5分12132143)20(2=−==XP，----------------------------------6分9132321

431)40(12=−−==CXP，----------------------------------7分313232143)60(12=−==CXP，----------------------------------8分9132431)80(2=

−==XP，----------------------------------9分313243)100(2===XP．…………10分所以X的分布列为：X020406

080100P36112191319131----------------------------------11分320531)10060(91)4080(12120)(=++++=XE．…………12分19．19．解：（1）函数

)(xf的定义域为),0(+．…………1分当1=a时，xxxxf3ln)(2−+=，xxxxxxxxxf)1)(12(132321)(2'−−=+−=−+=，由0)('=xf，解得21=x或1=x．

……3分当x变化时，)()('xfxf、的变化情况如下表：x21,0211,211),1(+)('xf+0-0+)(xf单调递增2ln45−−单调递减2−单调递增所以当21=x时，)(

xf取得极大值2ln45−−；当1=x时，)(xf取得极小值2−．……6分（2）xaxxxxaxf+−=−+=3232)(2'，…7分设axxxg+−=32)(2，它的图象是开口向上，对称轴为直线43=x，且在y轴上的截距为a的抛物线，观察图象，可知欲使)(x

f只有一个极值点0x，只需0a，且20023xxa−=．…………9分不等式)2(0xfa可化为)22(ln642ln00200−=−+xaxxxaa，可化为122ln0−x，解得230ex，所

以原不等式的解集为+,23e．…………12分20.解：（1）因为3552128354051,3554321=++++==++++=yx，…………2分所以6.5632.735,2.735)54321(3535)21528435340

2511(222222=+=−=−++++−++++=ab．…………4分…………5分所以y关于x的经验回归方程6.562.7+−=xy，…………6分把6=x代入，得134.136.5662.7=+−=y，所以预测6月份不依规行驶的次数约为13．……

……7分（2）零假设为0H：依规行驶与年龄无关．根据列联表中的数据，经计算得到05.02222841.3556.52030)881222(50x=−=．…………9分根据小概率值05.0=的独立性检验，推断0H不成立，，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概

率不大于0.05．…………11分不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为154,1511，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．…………12分21解：（1）依题意，可得的可能取值为1，1+n，因为nnpnPpP)1(1)1(

,)1()1(−−=+=−==，---2分所以nnnpnnpnpE)1(1])1(1)[1()1(1)(−−+=−−++−=．…………3分（2）依题意，,1)(,===nPn所以nnE==1)(，…………4分所以=−)()(

EEnpn)1(1−−，把411−−=ep代入并整理得=−)()(EE41nne−−．…………5分设2,1)(4−=−xxexfx，…………6分则4)4()(4'−=−xexfx，…………7分所以当42x时，0)('xf，)(x

f单调递减；当4x时，0)('xf，)(xf单调递增．…………8分所以当4=x时，)(xf取得极小值，也是它的最小值041−e．…………10分又因为06487.12121)2(−−=ef，04877.99191)

9(,03891.78181)8(25.22−−−−=efef．所以当82n，)()(EE；当9n时，)()(EE．…………11分所以当82n时，应采用混合检测；当9n时，应

采用逐份检测．…………12分22．解：（1）函数)(xf的定义域为),0(+．因为123ln)('+++=xxxxf，--------------------------1分123ln)(+++=xxxxg令所以2222)1)(32(32231)(xxxxxxxxxg−+=−+=+−=

，--------------------------2分所以当10x时，0)(xg，所以)('xf在)1,0(上单调递减；当1x时，0)(xg，所以)('xf在),1(+上单调递增．…3分则当1=x时)('xf取得极小值，也是它的最小值，所以06)1()('min'==fxf

，所以0)('xf，--------------------------4分则)(xf在),0(+上单调递增．…………5分（2）因为1)1(=f，所以不妨设2110xx，所以要证221+xx，只需证122xx−．…………6分因为),1(2,12+−xx，所以只需证)2

()(12xfxf−，只需证)2()(211xfxf−−，只需证02)2()(11−−+xfxf．…………7分设10,2)2()()(−−+=xxfxfxh，则44233)2ln(ln)2(

)()('''−+−−+−−=−−=xxxxxxfxfxh，--------------------------8分44233)2ln(ln)2()()()('''−+−−+−−=−−==xxxxxxfxfxhxm令则22222)2()3(

)1)(1(44)2(33211)(xxxxxxxxxxm−−−+=+−−−−+=，--------------------------9分所以当10x时，0)(xm，)('xh在)1,0(上单调递减，则0)1()(''=hxh，-------------------

-------10分所以)(xh在)1,0(上单调递增，则0)1()(=hxh，，--------------------------11分即02)2()(11−−+xfxf，所以221+xx．…………12分