【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第32讲 复数（讲） Word版含解析.docx，共(8)页，479.403 KB，由小赞的店铺上传

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第32讲复数思维导图知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)

复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋

b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法

：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋

bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)(c＋di)(c－di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(

z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．题型归纳题型1复数的有关概念【例1-1】（2020•新课标Ⅲ）复数113i−的虚部是()A．310−B．110−C．110D．310【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简

得答案．【解答】解：1131313(13)(13)1010iiiii+==+−−+，复数113i−的虚部是310．故选：D．【例1-2】（2020春•宜宾期末）已知复数(,)zabiabR=+满足||5z=，且1z−为纯虚数，则(z=)A．12

i+B．2i−C．2iD．12i【分析】由已知可得225ab+=，1a=，求得2b=，则答案可求．【解答】解：由(,)zabiabR=+，且满足||5z=，得225ab+=，①又1(1)zabi−=−+为纯虚数，1a=，代入①，得2b=．12zi=．故选：

D．【例1-3】（2020春•朝阳区期末）已知复数2zi=，则z的共轭复数z等于()A．0B．2iC．2i−D．4−【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数2zi=，则z的共轭复数2zi=−；故选：C．【跟踪训练1-1】（202

0春•湖南期末）若2(3)i−的实部为a，(2)(1)ii+−的虚部为b，则(ab+=)A．6B．8C．7D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得a与b的值，则答案可求．【解答】解：

2(3)86ii−=−，(2)(1)3iii+−=−，8a=，1b=−，则7ab+=．故选：C．【跟踪训练1-2】（（2020春•德州期末）已知复数(1)(1)zimi=−++是纯虚数，则实数(m=)A．2−B．1

−C．0D．1【分析】把复数z化为(,)abiabR+的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：(1)(1)(1)(1)zimimmi=−++=++−是纯虚数，1010mm+=−，解得1m=−．故选：B．【跟踪训练

1-3】（（2020春•无锡期末）已知复数12(55zii=−+为虚数单位），则z的虚部为()A．15−B．25iC．25D．15【分析】利用虚部的定义即可得出．【解答】解：由复数12(55zii=−+为虚数单位），则z的虚部为25．故选：C．【跟踪训练1-4】（（2020春•沙坪坝区

校级期中）若复数2(1)zmmmi=+++是纯虚数，其中m是实数，则z=．【分析】由复数2(1)zmmmi=+++是纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入2(1)zmmmi=+++求出z，进而求得答案．【

解答】解：因为复数2(1)zmmmi=+++是纯虚数，其中m是实数，所以：20mm+=且10m+；故0m=；故zi=；所以：zi=−；故答案为：i−．【名师指导】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R

)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．题型2复数的几何意义【例2-1】（2020春

•湖北期末）已知复数z满足(1)4(izi+=为虚数单位），则复数2z−在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出2z−的坐标得答案．【解答】解：

由(1)4iz+=，得44(1)221(1)(1)iziiii−===−++−，2(22)2zi−=−−，在复平面内对应的点的坐标为(22−，2)−，所在的象限为第四象限．故选：D．【例2-2】（20

20春•开封期末）在复平面内，O是坐标原点，向量OA对应的复数是2i−+，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB对应的复数的模为．【分析】由已知求得A的坐标，得到B的坐标，进一步求出向量OB对应的复数，再由复数模的计算公式

求解．【解答】解：向量OA对应的复数是2i−+，(2,1)A−，又点A关于实轴的对称点为点B，(2,1)B−−．向量OB对应的复数为2i−−，该复数的模为|2|5i−−=．故答案为：5．【跟踪训练2-1】（2020春•泉州期末）若复数34zi=−，则复数z

在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．【解答】解：复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,4)−，位于第四象限，故选：D．【跟踪训练2-2】（2020

春•六盘水期末）复数32zi=−，则z的共轭复数z在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知求得z，进一步得到z的坐标得答案．【解答】解：32zi=−，32zi=+，

则z在复平面内所对应的点的坐标为(3,2)，位于第一象限．故选：A．【跟踪训练2-3】（2020春•赤峰期末）复数z满足(1)23izi+=+，则z在复平面表示的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．

第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1)23izi+=+，得23(23)(1)511(1)(1)22iiiziiii++−===+++−；复数z在复平面内对应的点的坐标为(52，1)2，所在

的象限为第一象限．故选：A．【跟踪训练2-4】（2020春•平顶山期末）已知复数23izi+=+，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平

面内对应点的坐标得答案．【解答】解：2(2)(3)7713(3)(3)101010iiiiziiii++−+====+++−；z在复平面内对应的点的坐标为7(10，1)10，z在复平面内对应的点的坐标为7(1

0，1)10−，位于第四象限．故选：D．【跟踪训练2-5】（2020春•内江期末）已知复数2(zii=−是虚数单位），则复数2z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，则答案可求．【解答】解：2zi=−，22(2)34z

ii=−=−，复数2z在复平面内对应的点的坐标为(3,4)−，位于第四象限．故选：D．【跟踪训练2-6】（2020春•宜宾期末）已知复数334zi=+，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第象限．【

分析】利用虚数单位i的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得z，则答案可求．【解答】解：33434zii=+=−，34zi=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，位于第一象限．故答案为：一．【名师指导】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及

向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．题型3复数的运算【例3-1】（2020•新课标Ⅰ）若1zi=+，则2|2|(zz−=)A

．0B．1C．2D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简22zz−，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若1zi=+，则222(1)2(1)2222zziiii−=+−+=−−=−，则2|2||2

|2zz−=−=，故选：D．【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）若(1)1zii+=−，则(z=)A．1i−B．1i+C．i−D．i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：由(1)1zii+=−，得21(1)1(1)(1)iiziii

i−−===−++−，zi=．故选：D．【例3-3】（2020•新课标Ⅱ）4(1)(i−=)A．4−B．4C．4i−D．4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：4222(1)[(1)](2)4iii−=−=−=−．故选：A．【跟踪训练

3-1】（2020•山东）2(12ii−=+)A．1B．1−C．iD．i−【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．【解答】解：2(2)(12)512(12)(12)14iiiiiiii−−−−==

=−++−+，故选：D．【跟踪训练3-2】（2020•海南）(12)(2)(ii++=)A．45i+B．5iC．5i−D．23i+【分析】根据复数的乘法公式计算．【解答】解：2(12)(2)2425iii

iii++=+++=，故选：B．【跟踪训练3-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知复数(1)(2)zii=−+，则(zz=)A．2B．5C．10D．18【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由2||zzz=求解．【

解答】解：由(1)(2)2213ziiiii=−+=+−+=−，得22||(10)10zzz===．故选：C．【跟踪训练3-4】（2020•河南模拟）已知(1)5zii−=+，则(z=)A．23i−+B．23i−−C．23i−D．23i+【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘

除运算化简得答案．【解答】解：(1)5zii−=+，5(5)(1)231(1)(1)iiiziiii+++===+−−+．故选：D．【名师指导】复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与

虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式