【文档说明】上海师范大学附属中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.384 MB，由小赞的店铺上传

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上师大附中高三月考数学试卷一､填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1.函数f(x)=2sinx﹣sin2x在0,2的零点个数为___________.【1题答案】【答案】3【解析】【分析】函数f(x)=2sinx﹣sin2x在0,2的零点个数等价于2sinsi

n20xx−=在0,2的方程根个数，解出方程可得答案．【详解】函数f(x)=2sinx﹣sin2x在0,2的零点个数等价于2sinsin20xx−=在0,2的方程根个数，即2sin2sincos2sin(1cos)0xxxxx−=−=解

得sin0x=或cos1x=，0,,2x=，即函数f(x)=2sinx﹣sin2x在0,2的零点个数为3个，故答案为：3【点睛】本题考查函数的零点问题，考查三角函数的图象与性质，考查函数与方

程思想，属于中档题．2.若直线3yx=的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.【2题答案】【答案】35##0.6【解析】【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.

【详解】由题可知，)tan3,0,=，则22222sincos2tan2363sin22sincossincostan131105======+++.故答案为：35.3.已知抛物线212y

x=−的焦点与双曲线22214xya−=的一个焦点重合，则a=___________.【3题答案】【答案】5【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解a即可．【详解】解：抛物线212yx=−的焦点(3,0)−，与双曲线2214xya−=的一个焦点重合，可得

234a=+，解得5a=.故答案为：5.4.已知i为虚数单位，复数z满足11ziz−=+，则z________.【4题答案】【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算求出z，再求其模．【详解】因1

1ziz−=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)iizziziiii−−−=+===−++−，则22||0(1)1z=+−=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题

．5.设数列{}na的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有01011012nnanS−=−，则1a=___【5题答案】【答案】1−【解析】【分析】利用行列式定义，得到na与nS的关系，赋值1n=，即可求出结果．【详解】由011101011(2)1021212nnnnnnaaaSnnSnnS−

=−=++=−−−，令1n=，得11(2)10aa++=，解得11a=−．【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距()080的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识

可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即tanlh=．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是为“表高”的2倍和3倍（所成角记1、2），则()12tan+=_________．【6题答案】【答案】1−【解析】【分析

】根据题意，分别写出12tan2,tan3==，然后利用两角和的正切公式计算即可.【详解】由题意tanlh=，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，12tan2,tan3==，所以()121212ta

ntan23tan11tantan123++==−+=−−故答案为：1−.7.等差数列na中，公差为d，设nS是na的前n项之和，且1d，则1lim()(1)nnnnSnad→+=+__________.【7题答案】【

答案】12【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式将()1nnSna+用1,ad和n表示，再结合1d求极限即可.【详解】因为na是等差数列，所以()11naand+−=，()112nnnSnad−=+

，所以()()()()21121111222111nnddnnnannadSnadnanadnand−+−+==+++−++−，因为1d，所以1lim0nnd→=，1lim()(1)nnnnSnad→+=+2121112lim22()2lim1n

nnnSdddnandnanaddna→→+−==++−=+故答案为：128.设函数()()2,1,11,1,xxfxxx=−+则不等式()()120fxf−+的解集为________．【8题答案】【答案】()3,3−【解析】【分析

】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知()fx在R上单调递增，且(2)2(2)ff−=−=−，则()()()()12012(2)fxffxff−+−−=−，由单调性知12

x−−，解得()3,3x−故答案为：()3,3−【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.9.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人

数量指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为0R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染

人数为()0RNVN−.已知新冠病毒在某地的基本传染数02.5R=，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为___________.【9题答案】【答案】60%【解析】【分析】根据已知建立不等式关系即0()1RNVN−„，然后由02.5R=，即可求解．【详解】为了使1个感染者传染人数

不超过1，只需0()1RNVN−„，即01NVRN−„，∴0(1)1VRN−„，由题意可得02.5R=，∴2.5(1)1VN−„，解得0.660%VN=…，故答案为：60%﹒10.已知1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab−

=的左､右焦点，若点2F关于双曲线渐近线的对称点A满足11FAOAOF=（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.【10题答案】【答案】3yx=【解析】【分析】设1(,0)Fc−，2(,0)Fc，渐近线方程为

byxa=，对称点为(,)Amn，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1−，求出对称点A的坐标，A满足11FAOAOF=，可得11||||AFOFc==，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．【详解】解：设()1,

0Fc−，()2,0Fc，渐近线方程为byxa=，2F的对称点为(),Amn，则()1122namcbbmcna=−−+=，解得22abmc−=，2abnc=，因为点A满足11FAOAOF=，所以11AFOFc==，即22222224ababcccc

−++=，又222cab=+，所以2ca=，即3ba=，所以双曲线的渐近线方程为3yx=；故答案为：3yx=11.已知1e→，2e→，3e→是空间单位向量，12233112eeeeee→→→→→→===，若空间向量a→满足，12axeye→→→=+（x

，yR），2a→=，则3ae→→的最大值是________．【11题答案】【答案】233【解析】【分析】由12axeye→→→=+，及模长公式，求得2222()4()44xyxyxyxyxy+++=+−=，从而求得21643()33xyxy

++，将问题化为31231122aexeyeexy→→→→→=+=+求得结果.【详解】由题知，2222212121222axeyexeyexyeexyxy→→→→→→→=+=++=++=

则2222()4()44xyxyxyxyxy+++=+−=则21643()33xyxy++31231123223aexeyeexy→→→→→=+=+，当且仅当233xy==时，等号成立.故答案为：23

312.已知{na}是公差为(0)dd的等差数列，若存在实数1x，2x，3x，…，9x满足方程组：123911223399sinsinsinsin0sinsinsinsin25xxxxaxaxaxax++++=

++++=，则d的最小值为___________【12题答案】【答案】54##1.25【解析】分析】把方程组中的na都用5a和d表示，求得d的表达式，根据三角函数有界性可得出答案．【详解】解：把方程组中的na都用5a和d表示得：()()(

)515253594sin3sin2sin4sin25adxadxadxadx−+−+−+++=（），把129sinsinsin0xxx+++=代入得：12346789254sin3sin2sinsinsin2sin3sin4sindxxxxxxxx=−−−−++++

，要使d最小，则1294sin3sin4sinxxx−−++要最大，因为129sinsinsin0xxx+++=，所以5sin0x=，12346789sinsinsinsin1sinsinsinsin1xxxxx

xxx====−====，时分母取最大值20【所以54d，所以d的最小值为54．故答案为：54.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.已知等比数列na的前n项和为nS，则“10a”是“990S”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【13题答案】【答案】C【解析】【分析】根据99S与1a关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论.【详解】设等比数列na公比为q，当1q=时，19910990aSa=，当

1q时，999999111,011qqSaqq−−=−−，19900aS，所以“10a”是“990S”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前n项公式，属于基础题.14.已知函数()cossinfxxx=−，则下列结论中，正确的有()A

.π是f(x)的最小正周期B.f(x)在(4，2)上单调递增C.f(x)的图像的对称轴为直线()4xkk=+ZD.f(x)的值域为[0，2]【14题答案】【答案】B【解析】【分析】根据()()2fxfx+=可知()fx的一个周期为2，由此可判断A；化简()fx在(4，

)2上解析式，即可得出()fx的单调性，由此可判断B；根据()fx的奇偶性判断C；根据()2fx的范围即可求f(x)值域，由此可判断D．【详解】①cossin222fxxx+=+−+()sincosc

ossinxxxxfx=−−=−=，2是()fx的一个周期，故A错误；②当(4x，)2时，()cossinsincos2sin()4fxxxxxx=−=−=−，(4x，)2，(0,)44

x−，()fx在(4，)2上单调递增，故B正确；③显然()fx是偶函数，故0x=是()fx的一条对称轴，故C错误；④2cossin12sincos1sin20,1xxxxx−=−=−，∴()0,1fx，故D错误.故选：B.15.已知正方体的棱长为1，每

条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A.334B.233C.324D.32【15题答案】【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从

而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCDABCD−中，平面11ABD与线11111,,AAABA

D所成的角是相等的，的所以平面11ABD与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1CBD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11ABD与1CBD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为232336()424

S==，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

16.在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的

对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A.B.C.D.【16题答案】【答案】A【解析】分析】结合函数图象以及题意逐

项分析即可求出结果.【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的，故选：A.三､解答

题（本大题共有5题，满分76分）17.在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”.如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，1,2,1ABBCCD===，试求异面直线AC与BD所成角的大小.【17题答案】【答案】4a

rccos5或15arccos5【解析】【分析】分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，由//EFBD，//EGAC，可得FEC为异面直线AC与BD所成的角，

由已知中的定义，分90BCD=和90BDC=两种情况讨论，利用余弦定理求解即可．【详解】解：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，【则//EFBD，//EGAC，//FOAB，所以FEC为异面直线

AC与BD所成的角，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，又OG平面BCD，所以FOOG⊥，因为1AB=，2BC=，ABBC⊥，所以5AC=，所以1522EGAC==，当90BCD=时，由1CD=，2BC=，可得5BD=，所以1522EFBD==，又因为112

2OFAB==，1122OGCD==，所以2222FGOFOG=+=，所以2224cos25EFEGFGFEGEFEG+−==，即异面直线AC与BD所成的角为4arccos5；当90BDC=时，由1CD=，2BC=，可得3BD=，1322EFBD==，因为1

122OFAB==，1122OGCD==，所以2222FGOFOG=+=，所以22215cos25EFEGFGFEGEFEG+−==，即异面直线AC与BD所成的角为15arccos5，综上可得，异面直线AC与BD所成的角为4arccos5或15arccos5．18.设函数(),yfxxD=

．如果对任意一个三角形，它的三边长a､b､cD，且f（a）､f（b）､f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.（1）试分别判断()()20,0gxxxhxxxx==+（）（）是否为“保三角形函数“？并说明理由；（2）若

()4log,pxxxM=+，）叫是“保三角形函数”，试求M的最小值.【18~19题答案】【答案】（1）()gx不是“保三角形函数”，()hx是“保三角形函数”，理由见解析（2）2【解析】【分析】（1）直接举反例，即可证明2()(0)gx

xx=不是“保三角形函数”；设出一个三角形的三边长a，b，c，不妨取abc+，然后证明ababcc++++，即可得到()(0)hxxxx=+是“保三角形函数”；（2）设一个三角形的三边长a，b，[cM，)+，取abc+，由()0

px，得1x，结合题意得1M，再举例说明当12M时不合题意，即可求得M的最小值．【小问1详解】解：()gx不是“保三角形函数”，()hx是“保三角形函数”，理由如下：取3a=，4b=，5c=，则a，b，c构成一个直角三角形的三边长，当g（a）9=，g（b）16=，g

（c）25=不能构成三角形，故2()(0)gxxx=不是“保三角形函数”；设一个三角形的三边长a，b，c大于0，不妨设0abc，且abc+，22()2()ababababcc+=+++=，abc+，则ababcc++++．故()hx是“保三角形函数”

；【小问2详解】解：设一个三角形的三边长a，b，[cM，)+，不妨设0abc，且abc+，①由4()log0pxx=，得1x，p（a），p（b），p（c）也是某个三角形的三边长，1M；②p（a），p（b），p（c）能作为某个三角形的三边长，444logloglogabca

bc+，又(1)(1)1ababab+−−厖，则当2a…，2b…时，(1)(1)1ab−−…，则一定有abc成立；③当12M时，取bM=，cM=，2aM=，有2MMM+，即bca+成立，

此时a，b，c可作为一个三角形的三边长，但22222loglog2loglogMMMM+==，即p（b）p+（c）p=（a），p（a），p（b），p（c）不能作为三角形的三边长．综上所述，M的最小值为2．【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求

解能力，正确理解题意是关键，属有一定难度题目．19.在2022年中国北京冬季奥运会会期间，某工厂生产A､B､C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）纪念品A纪念品B纪念品C精品型100150n普通型300450600现采用

分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.（1）从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x､y､10､11､9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求xy-的值；（2）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量

为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率.【19~20题答案】【答案】（1）4（2）710【解析】【分析】（1）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于x、y的等量关系，然后将||xy−用前面的等

式进行表示即可求出值；（2）设这一天生产的纪念品为m，根据分层抽样的原理建立方程，求出400n=，再设所抽样本中有p个精品型纪念品，则40010005p=，求出p，然后利用古典概型的方法求出至少有1个精品型纪念品的概率即可．【小问1详解】解：由题得1(10119)105xy++++=，则20x

y+=，由于2222221(10119510)25xy++++−=，得22208xy+=，从而222()2xyxyxy+=++，2192xy=，即222||()22081924xyxyxyxy−=−=+−=−=；【小问2详解】解：设这一天生产的纪念品为m，由题意得，200401

00300m=+，2000m=，所以2000100300150450600400n=−−−−−=，设所抽样本中有p个精品型纪念品，则40010005p=，2p=，故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品，所以，至少有1个精品型纪念品的概率为22

5325710CCC−=.20.已知O为坐标原点，双曲线()221112211:10,0−=yxCabab和椭圆()222222222:10xyCabab+=均过点231,3T且以1C的两个顶点和2C的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（1）求1C，2C

的方程；（2）是否存在直线l，使得l与1C交于A，B两点，与2C只有一个公共点，且||||OAOBAB+=？证明你的结论；（3）椭圆2C的右顶点为Q，过椭圆2C右焦点的直线1l与2C交于M、N两点，M关于x轴的对称点为S，直线SN

与x轴交于点P，MOQ△，MPQ的面积分别为1S，2S，问12SS是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【20~22题答案】【答案】（1）221:31xCy−=，2223:12xyC+=（2）不存在，理由见解析（3）是定值为

312+【解析】【分析】（1）将点代入方程，结合正方形面积得到方程组，解得答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，根据直线和椭圆的位置关系计算0=，再转化得到OAOB⊥，根据韦达定理得到根与系数关系，代入计算得到答案.（3）设直线方程为1xmy=+，联立方程根据韦

达定理得到根与系数关系，计算直线方程，得到P的横坐标为3，根据12OQSSPQ=，计算得到答案.【小问1详解】根据题意：22114113ab−=，22221314ab+=，以1C的两个顶点和2C的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形，边长为2故11a=，21c=，故22221

ab=+，代入计算得到13b=，23a=，22=b，故221:31xCy−=，2223:12xyC+=.【小问2详解】假设存在直线方程满足条件，当直线斜率不存在时，3x=或3x=−，代入计算得到2y=，验证不成立；当直线斜率存在时，设直线方程为ykxb=+，则22132ykxbxy=

++=，即()222236360kxkbxb+++−=，()()222236436230kbbk=−−+=，化简得到2232bk=+.设()11,Axy，()22,Bxy，2213ykxbxy=+−=，

故()222316330kxkbxb−++−=，故12221226313331kbxxkbxxk+=−−−=−，OAOBABOAOB+==−+，故OAOB⊥，即()()121212120xxyyxxkxbkxb+=+++=，即()()22121210kxxkbx

xb++++=，即()2222222336103131bkbkbkk−+−+=−−，化简得到22233bk=+，222232233bkbk=+=+方程组无解，假设不成立故不存在直线满足条件.【小问3详解】焦点坐标为()1,0，易知直线方程斜率不为零，设直线方程为1

xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，则()22,Sxy−，221132xmyxy=++=，化简得到()2223440mymy++−=，122122423423myymyym+=−+=−+，直线NS

方程为：()121112yyyxxyxx+=−+−，取0y=得到()()2122112211212121224211223113423mmyymyyxyxymyymxmyyyyyym−+++++===+=+=+++−+，12331233OQSSPQ+===−，故12SS是定值

为312+.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的标准方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中转化12OQSSPQ=是解题的关键..21.

若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列na的前n项和nmSa=，则称na是“回归数列”.（1）①前n项和为2nnS=的数列na是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2nbn=的数列nb是否是“回归数列”?并请说明理由

；（2）设na是等差数列，首项11a=，公差0d，若na是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列na，总存在两个“回归数列”nb和nc，使得()nnnabcnN=+成立，请

给出你的结论，并说明理由.【21题答案】【答案】（1）①是；②是；（2）1−；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①利用公式11(2,)(1)nnnSSnnNaSn−−==和2nnS=，求出数列na的通项公式，按照回归数列的定义进

行判断；②求出数列nb的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出na的前n项和，根据na是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；（3）等差数列na的公差为d，构造数列111(1

),(1)()nnbanacnad=−−=−+，可证明nb、nc是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）①当2,nnN时，111222nnnnnnaSS−−−=−=−=，当1n=时，112aS==，当2,nn

N时，1nnSa+=，1mn=+，所以数列na是“回归数列”；②因为2nbn=，所以前n项和2nSnn=+，根据题意22nnm+=，因为2(1)nnnn+=+一定是偶数，所以存在(1)2nnm+=，使得nmS

a=，所以数列{nb}是“回归数列”；（2）设na是等差数列为1(1)(1)22nnnnnSnadnd−−=+=+，由题意可知：对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列na的前n项和nmSa=，即(1)1(1)2nnndmd−+=+−，取2n=，得1(1)dmd+=−，

解得12md=+，公差0d，所以2m∴，又*,1,1mNmd==−；（3）设等差数列na=1(1)and+−，总存在两个回归数列111(1),(1)()nnbanacnad=−−=−+，显然nb和nc是等差数列，使得()nnnabcnN=+

，证明如下：111(1)(1)(1)nnnbcanananda+=−−+−+−=，数列{nb}前n项和11(1)2nnnBmaa−=−，1,1;2,1nmnm====3n时，(3)22nn−+为正整数，当(3)2

2nnm−=+时，mnbB=，所以存在正整数(3)22nnm−=+，使得mnbB=，所以{nb}是“回归数列”，数列{nc}前n项和=nC1(1)()2nnad−+，存在正整数(1)12nnm−=+，使得nmCc=，所以{nc}是“回归数列

”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式11(2,)(1)nnnSSnnNaSn−−==，等差数列的前n项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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