【文档说明】吉林省吉林市2021届高三上学期第二次调研测试（1月）数学（理）答案.docx，共(4)页，363.490 KB，由管理员店铺上传

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吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.123456789101112ACACADDDCBAB二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13.

514.35−15.716.内心(2分)，41（3分）17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{na的公差为d，因为354aa+=，所以2=d......................1分又13−a是12−a和14+

a的等比中项，有)1)(1()1(4223+−=−aaa...............2分即)7)(1()3(1121++=+aaa，得11=a.........................................4分12)1(1−=−+=n

dnaan，所以数列}{na的通项公式12−=nan.................5分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(111+−−=+−==+nnnnaabnnn...........................7分12)1211(21)12112171515131

311(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21321+=+−=+−−++−+−+−=+−−++−+−+−=++++=nnnnnnnbbbbTnn...................10分18.【解析】（1）∵(s

in,1)mA=−，(s,1)ncoB=，且m与n平行．∴sincos0AB+=...................................................1分∴sincoscos()coscossin

sinABACACAC=−=+=−6C=3sincos3AA=...........................................................3分3tan3A=..................

...............................................5分(0,)A，6A=............................................

............6分（2）设BDx=，则4BCx=......................................................7分由（1）知，6AC==，4ABBCx==，23B=....................

.........9分在ABD中，由余弦定理知，2222cosADABBDABBDB=+−即222211624cos3xxxx=+−，解得1x=................................10分4ABBC==

..............................................................11分所以1sin2ABCSABBCB=1244sin4323==..........................12分19.【解

析】（Ⅰ）PAB为正三角形，且O为AB中点，ABPO⊥...........................1分平面⊥PAB平面ABCDPO平面PAB................................

..............................2分平面PAB平面ABABCD=.................................................3分⊥PO平面ABCD.........................................

.................4分（2）取CD的中点E，连接OE在正方形ABCD中，O为AB中点,ABOE⊥,由（Ⅰ）知，⊥PO平面ABCD，所以以O为原点，以OPOEOA,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系

xyzO−.................................................6分2=AB)3,0,0(P，)0,2,1(C，)0,0,0(O，)0,2,1(−D)3,2,1(−=PC,)3,0,0(=OP,)0

,2,1(−=OD设平面POD法向量为),,(zyxn=则=+−===0203yxODnzOPn，取1=y,得)0,1,2(=n...............................9分5105224||||,cos===nPCnPCnPC..

.................................11分设PC与平面POD所成角，则510sin=所以PC与平面POD所成角的正弦值为510....................................12分方法二：连接OC，在等边三角形PA

B中2AB=，所以3PO=...........................5分在直角三角形OBC中1,2OBBC==，所以5OC=...........................6分由（1）知PO⊥平面ABCD，所以POC与POD都是直角三角形，所以2

23522PCPOOC=+=+=........................................7分111535222PODSPOOD===......................

.................8分设C到平面POD的距离为h由CPODPOCDVV−−=得1133PODOCDShSPO=即115123323h=，解得455h=.......................................10分设PC与平面PO

D所成的角为则45105sin=522hPC==.....................................................11分所以PC与平面POD所成角的正弦值为510.....

.................................12分20.【解析】（Ⅰ）依题意，110)028.0011.0005.0(=++++ab，故056.0=+ba..........1分又因为028.0=−ba，所以014.0,042.0==ba

......................................3分所求平均数为2.4005.06028.05042.04014.03011.020=++++（小时）......5分所

以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为2.40小时......................6分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=.....................

...........................................7分又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，分别记为cba,,，在)55,45[中抽取2人，分别记为NM,,.......

..8分则从5人中随机抽取2人的基本事件有),,(),,(),,(),,(NaMacaba),,(),,(),,(NbMbcb),(),,(),,(NMNcMc，共10个...................................................10分这2人来自不同组的

基本事件有：),,(),,(NaMa),,(),,(NbMb),,(),,(NcMc共6个，.................................................................

.......11分所以所求的概率53106==P.......................................................12分解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=，..

..............................................................7分又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，在)55,45

[中抽取2人，..........................................8分则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为1025=C...................................10分

这2人来自不同组的基本事件数为61213=CC.........................................11分所以所求的概率53106==P.........................

.............................12分21【解析】（1）由椭圆的定义知12PFF的周长为22ac+，所以226ac+=.......................1分又因为椭圆C的离心率12cea==，所以2ac=，

.................................2分联立解得2,1ac==，所以223bac=−=，..................................3分因此所求的椭圆方程为22143xy+=........

......................................4分（2）设1122(,),(,)MxyNxy当直线l的斜率k存在时，设直线方程为(1)ykx=+，.......................5分联立22143xy+=消去y得2222(34)8

4120kxkxk+++−=..................6分则221212228412,3434kkxxxxkk−−+==++......................................7分

因为1212211212(1)(+4)(1)(+4)+4+4(+4)(+4)QMQNyykxxkxxkkxxxx++++=+=1212121225()84()16kxxkxxkxxxx+++=+++................8分22222222824408343

4=041232163434kkkkkkkkk−−+++=−−+++.............9分所以QMQNkk+为定值，这个定值为0......................................1

0分当直线l与x轴垂直时，也有0QMQNkk+=.................................11分所以，直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.............................12分方法二：设1122

(,),(,)MxyNxy，直线方程为1xmy=−................5分联立22143xy+=消去x得22(3m4)y690my+−−=.........................6分则12122269,y3434myyymm−+==++................

......................7分因为12121212+4+433QMQNyyyykkxxmymy+=+=+++12122121223(y)3(y)9myyymyymy++=+++.................8分22222218183434=091

893434mmmmmmmm−+++=−++++................9分所以QMQNkk+为定值，这个定值为0......................................10分当直线l与x轴重合时，也有0QMQNkk+=...................

..............11分所以，直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.............................12分22.【解析】（1）4)21(2)2(eaeef=−=，........................................

.........1分解得1=a所以函数解析式为)ln1)(2()(xexxf−−=....................................2分（2）函数)(xf的定义域为),0(+xxexexxxfln2)1)(2(ln1)(−=−−+−=.........

.........................3分设xxexgxxexg12)(,ln2)(2−−=−=........................................4分在),0(+上，0)(xg恒成立所以)(xg在),0(+上单调递减，即)(xf在),

0(+上单调递减又0)(=ef，则在),0(e上0)(xf，在),(+e上0)(xf..............5分所以函数)(xf在),0(e上单调递增，在),(+e上单调递减....................6分（

3）构造函数)2()()(xefxfxF−−=，),0(ex............................7分()()(2)Fxfxfex=+−1lnln(2)222eexexxex=−+−−−ln[(2)](2)exexxex=−−−...

..............................8分设)2(xext−=，当),0(ex时，),0(et设ttethln)(−=，且01)(2−−=tteth可知)(th在),0(e上单调递减，且0)(=eh所以0)(th在),0(et上恒成立即0)(xF在),0(e

x上恒成立所以)(xFy=在),0(e上单调递增................................................9分不妨设21xx，由（Ⅱ）知21xex0)2()(

)()2()()(111=−−=−−=eefefeFxefxfxF即)2()(11xefxf−..........................................................10分因为)()(21xfxf=，所以)2()(12xefxf−

由（Ⅱ）知)(xf在),(+e上单调递减得122xex−.................................................................11分所以122xxe+............

...................................................12分