【文档说明】浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.032 MB，由小赞的店铺上传

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海盐第二高级中学2022-2023学年第二学期期中考试数学学科试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是（）A.211xx=B.()1ln22=

C.()()ee1xxx=−D.()2cos2sinxxxx−=+【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断ABC选项，利用求导法则可判断D选项.【详解】211xx=−，()ln20=，()ee1exx−=，()2cos2sinxxxx

−=+.ABC均错，D对.故选：D.2.若二项式(2)nx−的展开式中所有二项式系数之和为32，则含2x项的系数是（）A.80B.-80C.40D.-40【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得5n=，然后结合二项式的通项公式即可得到结果.【详解】由题知232n=，解得5n

=，则为x5(2)−，通项公式为()515C2rrrrTx−+=−，所以x5(2)−二项式的展开式中含2x项的系数为2325C2(1)80−=.故选：A.3.邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（）A.6种B.8种C.9种

D.10种【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有339=种不同的投法.故选：C4.已知甲、

乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，每名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作，则乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C【解析】【分析】使用间接法，若求乙、丙不在同一个比赛项目服务的安排方法，在所有的安排

方法中排除乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法．【详解】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，有3327=种安排方法；而乙、丙在同一个比赛项目服务，有239=种安排方法，所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为921273P=−=．故选：C．5.若5sincos

,5+=−为第二象限角，则tan=（）A.-2B.12−C.5−D.55−【答案】B【解析】【分析】运用同角三角函数的基本关系可求得结果.详解】由5sincos5+=−，得5cossin5=−−，代入22s

incos1+=，得5sin5=或255−，因为为第二象限角，所以5sin5=，【所以25cos5−=，所以sin1tancos2==−.故选：B.6.已知直线yx=是曲线()lnfxxa=+的切线，则=a（）A.1−B.1C.

2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数()lnfxxa=+，求导得1()fxx=，令直线yx=与曲线()lnfxxa=+相切的切点为00(,ln)xxa+，于是011x=且00lnxax

+=，所以01ax==.故选：B7.十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为36的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形

组成．如图所示，512ABBC−=（黄金分割比），则cos2DBA=（）A.354+−B.514−−C.354−−D.514+−【答案】D【解析】【分析】构造RtDEB△，根据题意推得51sin4BDE−=.然后根据

诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.【详解】如图：过D作DEAB⊥于E，则sinsin18BDE=12BEABBDBD==15124ABBC−==．71803226DBA−==，所以，

()cos2cos144cos18036DBA=−=()2cos3612sin18=−=−−251511244−+=−+=−.故选：D．8.已知ln22a=，ln3eb=，22ec=，则（参考数据：l

n20.7）（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】由ln22ln2ln4244a===，22lneec=考虑构造函数()lnxfxx=，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln22ln2ln4244a===，22ln

eec=，考虑构造函数()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，当0ex时，()0fx¢>，函数()fx在()0,e上单调递增，当ex时，()0fx，函数()fx在()e,+上单调

递减，因为ln20.7，所以0.7e2，即()220.7e>e4，所以23<4<e，所以22ln3ln4lne34e，即22ln3ln2lne32e，又ln3ln33e，所以22ln3ln2lnee2e，故bac，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被

比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列四个命题中为真命题的是（）A.若随机变量服从二项分布14,4

B，则()1E=B.若随机变量X服从正态分布()23,N，且()40.64PX=，则()230.07PX=C.已知一组数据12310,,,,xxxx的方差是3，则123102,2,2,,2xx

xx++++的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,xy，其线性回归方程为ˆ0.3yxm=−，若样本点的中心为(),2.8m，则实数m的值是4【答案】AC【解析】【分析】由二项分布的期望公式判断A；由正态分布的性质判断B；由方差的性质判断C；由回归方程必过样本中心点

求解可判断D.【详解】对于A，由于14,4B，则()1414E==，故A正确；对于B，()23,,(34)0.640.50.14XNPX=−=，故()23(34)0.14PXPX==，故B错误；对于C，12310,,,,xxxx

的方差是3，则123102,2,2,,2xxxx++++的方差不变，故C正确；对于D，回归方程必过样本中心点，则2.80.3mm=−，解得4m=−，故D错误.故选：AC.10.一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两

次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）A()516PC=B.事件B与事件C相互独立C.(

)12PCA=∣D.事件A与事件B互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得()516PC=，所以该选项正确；对于选项B，由题得()()()PBCPBPC，事件B与事件C不相互独立，所以

该选项错误；对于选项C,()12PCA=∣，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有(1,2),(2,1)

,(2,4),(4,2),(3,3)，共5个，由古典概型的概率公式得()554416PC==，所以该选项正确；对于选项B，由题得241()442PB==,21()448PBC==,所以()()()PBCPBPC，事件B与事件C不相互独立，所

以该选项错误；对于选项C,()()21()142PACPCAPA===∣，所以该选项正确；对于选项D,如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.故选：AC11.已知函数()(

)πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是.（）A.函数的解析式为()π2sin23fxx=+B.函数()fx在2ππ,36−−

上单调递减C.该图象向右平移π6个单位可得2sin2yx=的图象D.函数()yfx=关于点π,06−对称【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求函数()fx的解析式，再结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断.【详解】由图可得：πππ2,43124TA==−=，可得

2ππT==，且0，解得2=，所以()()2sin2fxx=+，因为()fx的图象过点π,212，即ππ2sin221212f=+=，可得πsin16+=，则ππ2π,62kk+=+Z，可得π2π,3kk=+Z，且π2

，则π0,3k==，所以()π2sin23fxx=+，故A正确；因为2ππ,36x−−，则π2π,03x+−，且sinyx=在π,0−上不单调，所以函数()fx在2ππ,36−−上不单调，故B错误；该图象向右平移π6个单位可得πππ2sin

22sin2663yfxxx=−=−+=，所以该图象向右平移π6个单位可得2sin2yx=的图象，故C正确；因为πππ2sin20663f−=−+=，所以函数()yfx=关于点π,06

−对称，故D正确；故选：ACD.12.已知函数()323fxaxaxb=−+，其中实数0Rab，，则下列结论正确的是（）A.()fx必有两个极值点B.()yfx=有且仅有3个零点时，b的范围是()0,4aC.当2ba=时，点1,02是曲线()yfx=的对称

中心D.当56aba时，过点()2,Aa可以作曲线()yfx=的3条切线【答案】ABD【解析】【分析】对()fx求导得到()fx的单调性，判断()fx的极值点个数判断A，要使()yfx=有且仅有3个零点，由单调性可

得只需()00f，()20f判断B，当2ba=时计算()()1fxfx+−判断C，设切点为C，求过点A的切线方程，令()322912gxaxaxaxa=−++，yb=，所以过点()2,Aa可以作曲线()yfx=切线条数可转化为()ygx=与yb=图像的交点个数判断D.

【详解】选项A：由题意可得()()23632fxaxaxaxx=−=−，令()0fx=解得0x=或2x=，因为0a，所以令()0fx¢>解得0x或2x，令()0fx解得02x，所以()fx在(),0−，()2,+上单调递增，在()0,2上单调递减，

所以()fx在0x=处取得极大值，在2x=处取得极小值，故A正确；选项B：要使()yfx=有且仅有3个零点，只需()()0020ff，即08120baab−+，解得04ba，故B正确

；选项C：当2ba=时，()3232fxaxaxa=−+，()()()323113123fxaxaxaaxax−=−−−+=−+，()()10fxfx−+，所以点1,02不是曲线()yfx=的对称中心，C错误；选项D：(

)236fxaxax=−，设切点为()32000,3Cxaxaxb−+，所以在点C处的切线方程为：()()()32200000336yaxaxbaxaxxx−−+=−−，又因为切线过点()2,Aa，所以()()()322000003362aaxa

xbaxaxx−−+=−−，解得320002912axaxaxab−++=，令()322912gxaxaxaxa=−++，yb=，所以过点()2,Aa可以作曲线()yfx=切线条数可转化为()ygx=与yb

=图像的交点个数，()()()()2261812632612gxaxaxaaxxaxx=−+=−+=−−，令()0gx=解得1x=或2x=，因为0a，所以令()0gx解得1x或2x，令()0gx解得12x，则()gx在(),1−，

()2,+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16ga=，()25ga=，()gx图像如图所示，所以当56aba时，()ygx=与yb=图像有3个交点，即过点()2,Aa可以作曲线()yfx=的3条切线，故D正确；故选：A

BD【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知2A12m

=，则m=______.【答案】4【解析】【分析】根据排列数公式可得出关于m的等式，分析可知2m且mN，即可解得m的值.【详解】因2A12m=，则2m且mN，则()2A112mmm=−=，即2120mm−−=，解得4m=.故答案为：4.14.橘生

淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科

学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布()290,N，且(8690)0.2P=，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为___________.【答案】300【解析】【分析】先按照正态分布计算出不低于94g的概率，再计算出个数即可.【

详解】结合正态分布特征，(8690)(9094)0.2PP==，120.2(94)0.32P−==，所以估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为0.31000300=.故答案为：300.15.已知π3cos()sin65

++=，则πcos(2)3−=______.【答案】725−【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简π3cos()sin65++=并结合诱导公式可得π3cos()65−=，将为πcos(2)

3−化为πcos(2)3−，利用二倍角余弦公式即可求得答案.【详解】由π3cos()sin65++=可得313cossinsin225−+=，即313π3cossin,sin()22535+=+=，即π3cos()6

5−=，故2ππππcos(2)cos(2)cos[2()]2co366s()13−=−=−=−−2372()1525=−=−，故答案为：725−16.将函数()sin2fxx=的图象向左

平移π8个单位得到函数()gx的图象，若()gx在区间0,m上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.【答案】3π8（答案不唯一）【解析】【分析】由图象平移写出()gx解析式，再由πππ[,2]4424mx

++，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.【详解】由题设()()πsi(2π84n)gxfxx=+=+，在0,xm，则πππ[,2]4424mx++，要使()gx在区间0,m上有且仅有一个零点，

所以ππ22π4m+，即3π7π88m，故3π8m=满足要求.故答案为：3π8（答案不唯一）四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在2112nxx

−的展开式中，第9项为常数项，求：（1）n的值；（2）展开式中5x的系数；（3）展开式中各项的系数和.【答案】（1）10n=（2）1058（3）11024【解析】【分析】（1）写出展开式通项，利用9T为常数项可求得n的值；（

2）写出展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解；（3）在二项式中令1x=可得出展开式中各项的系数和.【小问1详解】解：展开式通项为()()5222111CC120,1,2,,2knknkkkkknknnTxxknx−−−+=−=−=，由题意可

知，882209C2nnnTx−−=，由题意可得2200n−=，解得10n=.【小问2详解】解：展开式通项为()()520102110C120,1,2,,10kkkkkTxk−−+=−=，令52052k−=，解得6k=，因此，展开式中

5x的系数为6410210105C2168−==.【小问3详解】解：在102112xx−中，令1x=，可得展开式中所有项的系数和为1041211021−=.18.已知函数()2π3cos2cos22xfxx=−+.（1）求π3f的值和()f

x的最小正周期；（2）求()fx在0,π上的最值.【答案】（1）3，最小正周期为2π（2）最大值3，最小值12−【解析】【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式化简函数，再代入求值，求解周期；（2）

先根据x的范围求出πsin6x+的范围，再求解最值.【小问1详解】()2π3cos2cos22xfxx=−+π3sincos12sin16xxx=++=++;πππ2sin13336f

=++=;()fx的最小正周期为2π.【小问2详解】因为0,πx，所以ππ7π,666x+.所以π1sin,162x+−.所以π2sin10,36x++，即()0,3fx.

π3x=时，最大值3;πx=时，最小值0.19.已知函数()3261fxxaxx=+−+()aR，且()16f=−.（1）求函数()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()fx的单调区间.【答案】（1）12210xy+−=（2）单调递增区间为()(),1,2,−−+，

单调递减区间为()1,2-【解析】【分析】（1）由已知可得()2326fxxax=+−，根据已知求出32a=−，代入可得()1112f=−.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；（2）由（1）知，()2336fxxx=−−.解()0fx¢>以及()0fx

，即可得出函数的单调区间.【小问1详解】由已知可得()2326fxxax=+−，所以()13266fa=+−=−，解得32a=−，所以()323612fxxxx=−−+，所以()1112f=−.根据导数的几何意义可知函数()fx的图象在点()()1,1f处的

切线斜率()16kf==−，所以切线方程为()11612yx+=−−，即12210xy+−=.【小问2详解】由（1）知()323612fxxxx=−−+，()2336fxxx=−−.令()0fx=，得=1x−或2x=.

解()0fx¢>可得，1x−或2x，所以()fx在(),1−−上单调递增，在()2,+上单调递增；解()0fx可得，12x−，所以()fx在()1,2-上单调递减.所以()fx的单调递增区间为(),1−−，()2,+，单调递减区间

为()1,2-.20.“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机

选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a

的值；（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文

明建设的人数为X．求随机变量X的分布列及的期望．【答案】（1）0.035（2）910（3）分布列见解析，125【解析】【分析】（1）根据频率和为1求a；（2）根据题意结合古典概型分析运算；（3）根据题意可得43,5XB，根据二项分布求分布列和

期望.【小问1详解】由小矩形面积和等于1可得：(0.010.0150.030.01)101++++=a，解得0.035a=.【小问2详解】第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30根据分层抽样可得：第1组抽取20

5250=人，第2组抽取305350=人再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为()3335C91C10PA=−=.【小问3详解】由题意可知：43,5XB，则有：311(0)(

)5125PX===，()21341121C55125PX===，()22341482C55125PX===，3464(3)()5125PX===.∴X的分布列为：X0123P112512

1254812564125可得X的数学期望412()355EX==.21.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某

公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得()()6130iiixxyy=−−=.A充电桩投资金额x/万元3467910所伏利润y/百万元1.5234.567（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x关系，求其经验回归方程

；（2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于23，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于23且大于12，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过12，则称

对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.附：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−.【答案】（1）ˆ0.81.2yx=−；（

2）分布列见解析，53.【解析】【分析】（1）利用给定的数表求出,xy，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出X的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【小问1详解】由数表知，34679101.5234.5676.5

,466xy++++++++++====622222221()(36.5)(46.5)(66.5)(76.5)(96.5)(106.5)37.5iixx=−=−+−+−+−+−+−=，的因此11662)()ˆ0.83)(307.5(i

iiiixxyybxx==−−===−，ˆˆ40.86.51.2aybx=−=−=−，所以所求经验回归方程为ˆ0.81.2yx=−.【小问2详解】由数表知，1.52313462===，14.5627279310=，因此“优秀投资额”有2个，“良好投资

额”有1个，“不合格投资额”有3个，X的可能值为0,1,2,3,4，21113332222666CC1C3131322(0),(1),(2)C155C155C155CPXPXPX============，12222266C1C21(3),(4)C15C15PXPX===

===，所以X的分布列为：X01234P151525215115数学期望112215()0123455515153EX=++++=.22.已知21()eln2xfxxax=+−．（1）若21()()ln2hxfxxx=−+，且()hxx对任意x+R恒成立，求a的

范围；（2）当0a时，求证：1()2fx．【答案】（1）1ea（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数得exxa对任意Rx+恒成立，再设()exxmx=，利用导数求出其最值即可；（2）证法1：通过隐零点法得2min000011(

)ln2fxxxxx=+−−，然后构造新函数求解其范围即可；证法2：令211()ln22gxxx=−−，利用导数证明1()(1)2gxg=，则得211eln22xxax+−.【小问1详解】∵21()()lne2xhxfx

xxa=−+=，若()hxx对任意Rx+恒成立，则exax对任意Rx+恒成立，即exxa对任意Rx+恒成立，令()exxmx=，则2e(1)1()eexxxxxmx−−==，令()0mx=，解得1x=，当01x时，()0mx，则()mx单调递增，当1x

时，()0mx，则()mx单调递减，所以当1x=时，函数()mx取得最大值1(1)em=．所以1ea.【小问2详解】证法1，由（1）可得0a时，1()exfxxax=+−在(0,)+上单调递增．又因为(1)1e1e0faa=+−=，当x趋近于0时，()fx趋近于−．∴0(

0,1)x使得()00fx=，即0001e0xxax+−=．当()00,xx时，()00fx，()0,xx+时，()00fx．∴()fx在()00,x递减，在()0,x+递增．∴()022min000

0000111()elnln22xfxfxxaxxxxx==+−=+−−，()001x，令211()ln,(01)2gxxxxxx=−+−，21()1xgxxx+=−−，当()0,1x时，10x−，210xx+−，

则在()0,1上，()0gx，∴()gx单调递减，∴1()(1)2gxg=．∴当0a时，1()2fx．证法2：令211()ln22gxxx=−−，(0)x，1(1)(1)()xxgxxxx−+=−=，当

(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx．∴()gx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，∴1()(1)2gxg=，∴1()2gx．∵0a，∴e0xa．∴211eln22xxax+−．