【文档说明】重庆市第十一中学教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，921.514 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第一次质量检测数学试题2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110xx+−的解集为（）A.1{|2xx−或1}xB.1{|2xx−或1}xC.1|1

2xx−D.1|12xx−【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110xx+−的解为12x−或1x，故解集为：1{|2xx−或1}x，故选：A.2.集合1,1Aa=+，0,,

5Baa=−+，若ABA=，则a为（）A.1B.1−C.4−D.1−或4−【答案】B【解析】【分析】根据ABA=可得AB，故求a的值.【详解】因为ABA=，故AB，故10a+=或1aa+=−，若1a=−，

此时0,1,0,1,4AB==，满足AB，若1aa+=−即12a=−，此时1191,,0,,222AB==，不满足AB，故选：B.3.命题“()0,,e20xxax+−”的否定为（）A.(),0,e20xxax

−−B.()0,,e20xxax+−C.()0,,e20xxax+−D.()0,,e20xxax+−【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e20xxax+−

”的否定为()0,,e20xxax+−.故选：B4.随机变量()2,4N，13,2B，则（）A.()()DD=B.()()EE=C.()122P=D.()112P==【答案】C【解析】【分

析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB的正误，根据正态分布的对称性可判断C的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D的正误.【详解】对于AB，()()132,322EE===，故()()EE，()

()1134,3224DD===，故()()DD，故AB错误；对于C，根据正态分布的对称性可得()122P=，故C正确；对于D，()131131C248P===，故D错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%

，一年后是3651.01；而把365(11%)−看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg8322.92−）A.99倍B.101

倍C.292倍D.832倍【答案】D【解析】分析】直接计算36536521.010.99lg2.9，根据所给数值求解.【【详解】()365365365365l91.011.010.991.010.90.99glgl

g365lglg=−=−().101365lglg29929=−，故936536252.108321.010.99=.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，

1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分

类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；

再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236+=种.故选：D7.定义在R上的偶函数()fx满足()()11fxfx+=−，且当0,1x时，()1exfx=−，若关于x的方程()()()10fxmxm=+恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（）A.()0,e1−B

.1e1e,56−−C.e1e1,86−−D.1e1e,46−−【答案】D【解析】【分析】根据题意，推得函数()fx图象关于直线1x=对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函

数的图象交点问题即可解得.【详解】由𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)可知函数()fx的图象关于直线1x=对称，且𝑓(2+𝑥)=𝑓(−𝑥)，因()fx是偶函数，则()()fxfx−=，故有(2)()fxfx+=，即函数()fx的周期为2.又当0,1x时，()1exf

x=−，故可作出函数()fx的图象如图.由关于x的方程()()()10fxmxm=+恰有5个实数解，可理解为()yfx=与(1)ymx=+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P−,考虑直线与()fx相交的两个临界位置(3,1e),(5

,1e)AB−−,由图知，需使PAPBkmk，即1e1e46m−−.故选：D.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作

出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R上函数()()2exaxfxxa−+=R，设()fx的极大值和极小值分别为,mn，则mn的取值范围是（）A.e,2−−B.1,2e−−C.e,02−D.1,

02e−【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,mn，结合韦达定理用a表示mn，再求出指数函数的值域得解.的【详解】()()()22222ee21e−+−+−+=+−++=−+xaxxaxxaxfxxaxxxax，令()221gxx

ax=−++，显然函数()gx的图象开口向下，且()01g=，则函数()gx有两个异号零点12,xx，不妨设120xx，有12121,22+==−axxxx，而2e0xax−+恒成立，则当1xx或2xx时，()0fx，当12xxx时，()

0fx，因此函数()fx在()1,x−，()2,x+上单调递减，在()12,xx上单调递增，又当0x时，()0fx恒成立，当0x时，()0fx恒成立，且()00f=，于是()fx的最大值()22222e−+=

=xaxmfxx，最小值()21111e−+==xaxnfxx，于是()()()222221212121121241212e12ee−−+++−++++===−axxaxaxxxaxxxxmnxxxx，由aR，得)211,4a

−−+，2141e,e−+a，则2141e,212e−−−−a，所以mn的取值范围是1,2e−−.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)xaaxaxax−=++++，则下列选项正确的有（）A.

202402a=B.01220241aaaa+++=C.2024202432024122320241222222aaaa++++=−D.1232023202423202320246072aaaaa+++++=【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值判断AC，去绝对值后，赋值判

断B，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x=，得202402a=，故A正确；B.01220240122024......aaaaaaaa++++=−+−+，令令展开式中的1x=−，得20240122024...5aaaa−+−+=，故B

错误；C.令展开式中的12x=，得2024320241202320241...22222aaaaa+++++=，所以2024202432024122320241...222222aaaa

++++=−，故C正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024xaaxaxaxax−−=++++，令1x=，得1232023202423...202320246072aaaaa+++++=，故D正确.故选：ACD1

0.下列选项正确的有（）A.当()02x，时，函数222yxx−=+的最小值为1B.()1x−，，函数31yxx=+−的最大值为23−C.函数2254xyx+=+的最小值为2D.当0a，0b时，若2abab+=，则2+ab的最小值为3

22+【答案】AD【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A，根据基本不等式判断BC，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211yxxx=−+=−+，()02x，，当1x=时，函数去掉最小值1，故A正确；B.(

)33311211231111yxxxxxx=+=−++−−+=−+−−−，当311xx−=−，1x，得13x=−，所以31yxx=+−的最大值为231−+，故B错误；C.22222254114444xxyxxxx+++==

=+++++，设242xt+=，则1ytt=+在区间)2,+单调递增，当2t=时，1ytt=+取得最小值52，所以函数2254xyx+=+的最小值为52，故C错误；D.若2abab+=，则112ab+=，则()1113123132222222222

2baabababab+=++=+++=+，当2baab=时，即212a+=，224b+=时，等号成立，所以2+ab的最小值为322+，故D正确.故选：AD11.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为𝑅，且满足()()60fxfx+−=，2222

233fxfx−++=，()31f=−，()()231gxfx=−−，则下列说法中正确的有（）A.函数()fx周期为4B.函数()gx的图象关于点()1,1−对称C.()yfxx=−的图象关于直线𝑥=2对称D.数列()gn的前2024项之和为404

8−【答案】ACD【解析】【分析】根据题设条件可得()()60fxfx−−=、()()42fxfx+−=，故可求函数𝑓′(𝑥)的周期为4，故可判断A的正误，利用反证法可判断B的正误，根据()()42fxfx+−=可得的()()424

fxfxx−−=−，故可判断C的正误，计算出()()()()12348gggg+++=−后可判断D的正误.【详解】因为()()60fxfx+−=，所以()()60fxfx−−=，而2222233f

xfx−++=，故()()42fxfx+−=，故()()462fxfx−+−=即()()22fxfx++=，故()()242fxfx+++=，故()()4fxfx+=，故函数𝑓′(𝑥)的

周期为4，故A正确；又()()23gxfx=−−，而()()122gf=−，而()()222ff+=即()21f=，故()12g=−，若()gx关于()1,1−对称，则()11g=−，矛盾，故B错误.因为()()42fxfx+−=，故(

)()42fxfxxc−−=+，故()()224ffc−=+即4c=−，故()()4(4)fxxfxx−=−−−故()yfxx=−的图象关于直线𝑥=2对称，故C正确.因为𝑓′(𝑥)的周期为4，故()gx的周期也是4，而()()22fxfx++=，故()()022ff+=，故(

)()()()1322204ggff−+=−=−，因为()31f=−，故()()0232gf=−=，故()42g=，又()()132ff+=，故()13f=，故()()2216gf=−=−，故()()()()123

48gggg+++=−，故数列()gn的前2024项和为()2024840484−=−，故D正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、

对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin33+=，则2πsin3−=_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sinsinπα

sin3333−=−+=+=.故答案为：13.13.若221919CCmm−=，则33345CCCm+++的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，

再计算组合数即可.【详解】因为221919CCmm−=，所以22mm=−或2219mm+−=，解得2m=或7m=,因为33345CCCm+++，所以3m,可得7m=,所以3333333454567CCC

=CCCC410203569m++++++=+++=.故答案为：69.14.函数2e12()e21xxxhx−=++，不等式()22(2)2haxhax−+对Rx恒成立，则实数a的取值范围是_____【答案】2,0

−【解析】【分析】由解析式得出()()2hxhx+−=，令()()1fxhx=−，得()fx为奇函数，再利用导数得出()fx的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e122()eee2121xxxxxxhx−−=+=−+++，所以22222()()ee

ee221212121xxxxxxxxxhxhx−−−+−=+−++−=+=++++，令()()1fxhx=−，则()()0fxfx+−=，可得()fx为奇函数，又因为()()222ln41ln4()eeeee121e21222xxxxxxxxxxxfx−−

=+−=+−=+−++++，1e2exx+，当且仅当1eexx=，即0x=时等号成立；ln4ln4ln2142222xx=++，当且仅当122xx=，即0x=时等号成立；所以()0fx，可得()fx在R上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2

)haxhaxfaxfaxfaxfax−+−+−−，所以2220axax+−在R上恒成立，当0a=时，显然成立；当0a，需满足20Δ480aaa=+，解得20a−，综上，2,0a−

，故答案为：2,0−．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2hxhx+−=，构造()()1fxhx=−是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()elnfxxx=+（1）求𝑦=𝑓(𝑥)在()()1,1f处的切线方程；（2）求𝑦=

𝑓(𝑥)在1,3e的最小值.【答案】（1）()1e2e1yx=−+−（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.

【小问1详解】()elnfxxx=+，()1ef=，且()21efxxx=−，()11ef=−，切线方程为：()()e1e1yx−=−−，即()1e2e1yx=−+−；【小问2详解】()221eexfxxxx−=−=，当1,eex，()0fx，()yfx=在1,ee

上单调递减，当()e,3x，()0fx，()yfx=在()e,3上单调递增，()fx\在区间1,3e的最小值为()2f=e.16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳

达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃

圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和43p

−，其中304p，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分

析】（1）根据二次函数的性质可求当23p=时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339pppppp=−=−+=−−+，又因为

3044013pp−，所以1334p所以，当23p=时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339=.因为进入决赛的队伍数43,9X

B，所以()03341250C(1)9729PX==−=；()123443001001C(1)99729243PX==−==；()22344240802C()199729243PX==−==；()3334643

C()9729PX===.所以随机变量X的分布列为:X0123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293EX=+++=.17.四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，2PAAB==，点E是棱PC上一

点.（1）求证：平面PAC⊥平面BDE；（2）当E为PC中点时，求平面ABE与平面DBE所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标

系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD是正方形，BDAC⊥，PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，PABD⊥，又BDAC⊥，PAACA=，PA，AC平面PAC，BD⊥平面PAC，又BD平面BDE，平面PAC⊥平面BDE.【小问2详解】PA⊥平面ABCD，�

�𝐵，AD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，以A为坐标原点，𝐴𝐵，𝐴𝐷，AP所在直线分别为x，y，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则𝐴(0,0,0)，()2,0,0B，()0,2,0D，()2,2,0C，()0,0,2P，()1,1,1E，()()()2

,0,0,1,1,1,2,2,0ABBEBD==−=−，设平面ABE的法向量为()111,,nxyz=，则1111200nABxnBExyz===−++=，解得10x=，令11y=，得11z=−，故平面ABE的一个法向量为𝑛⃗=(0,1,−1)，设平面D

BE的法向量为()222,,mxyz=，则222222200mBDxymBExyz=−+==−++=,解得20z=，令21x=，得21y=，故平面DBE的一个法向量为()1,1,0m=，设平面ABE与平面DBE所成锐二面角为，则11cos222mnmn===，所以平面

ABE与平面DBE所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点23,22−且()0bcc=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设C的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直

线l与椭圆C交于,AB两点，1112AFBF=，求1ABF的面积.【答案】（1）2212xy+=（2）103.【解析】【分析】（1）代入点23,22−坐标并于bc=联立计算可得222,1ab==，求出椭圆

C标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积坐标表示以及韦达定理即可得出2m=，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将23,22−代入椭圆方程可得2213241ab+=，即2213124ab+=，又因为bc=，所以222ab=，代入上式可得222,1ab=

=，故椭圆C的标准方程为2212xy+=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2FFFF−=，设直线l的方程为()()11221,,,,xmyAxyBxy=+，如下图所示：的的联立22112xmyxy=++=

，得()222210mymy++−=，所以12122221,22myyyymm+=−=−++，则()()1111221,,1,AFxyBFxy=−−−=−−−，所以()()1111221212121,1,1AFBFxyxyxxxxyy=−−−−−−=++++(

)()()2221212122222221211142222mmmmyymymyyymmmm=+++++++=−−−−++++227122mm−==+，解得24m=，即2m=，所以121221,36yyyy+==−，则1ABF的面积()212121212110423SFFyyyy

yy=−=+−=.19.给定两个正整数m，n，函数()fx在𝑥=0处的,mn阶帕德近似定义为：()0111mmnnaaxaxRxbxbx+++=+++，且满足：()()00fR=，()()00fR=，()()()()()()0000mnmnfRfR+

+==.已知()()ln1fxx=+在𝑥=0处的1,1阶帕德近似()1abxRxcx+=+注：()()'''[]fxfx=，()()'''[]fxfx=，()()()4'[]fxfx=，()()()()54'[

]fxfx=，…（1）求a，b，c的值；（2）比较()11xcfx+与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e(1)xxxx+++的解集，其中e2.71828=【答案】（1）102abac===，，；（2）()11xcfx+，理由见解析；（3

）()0,+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11tx+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln11a

bxfxxRxcx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)baccbacfxRxfxRxxcxxcx−−−===−++=++，，，，()()00fR=，则()()000afR==，，则1bac=−，则1b=，()()()''''100122fRbaccc=

−=−−=，，，所以1012abc===，，.【小问2详解】()111ln12xcfxxx+=++，令11tx+=，则()()()()11ln0,11,21txcfttxt++=+−，，令()()()()21ln0,11,1thtttt−=

−++，，ℎ′(𝑡)=1𝑡−4(𝑡+1)2=(𝑡−1)2𝑡(𝑡+1)2>0，所以()ht在()0,1单调递增，在()1,+单调递增，()()()0,1,10thth=，即()21ln1ttt−+，

所以𝑡+12(𝑡−1)ln𝑡>1，𝑡∈(1,+∞),ℎ(𝑡)>ℎ(1)=0,ln𝑡>2(𝑡−1)𝑡+1，所以𝑡+12(𝑡−1)ln𝑡>1，综上，()11xcfx+.【小问3详解】若要使12111e1xxxx++

+成立，则110x+，即1x−或𝑥>0，当121e1xx++时，即ln(1+1𝑥)𝑥+12>1,(𝑥+12)ln(1+1𝑥)>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x−−+，当11exx+等价于1ln11xx

+，当𝑥>0时，1ln11xx+等价于11ln111xx++−，成立;当1x−时，1ln11xx+等价于ln(1+1𝑥)>1𝑥+1−1，不成立，所以解集为()0,+.