【文档说明】四川省内江市威远中学2022-2023学年高二下学期第二次阶段性考试数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.095 MB，由小赞的店铺上传

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威远中学校高2024届高二下期第二阶段考试数学（理）2023.5.20命题人：曹禧龙做题人：龚喜审题人：杨昆数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共1

2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数1iiz+=(i为虚数单位)，则复数z的虚部是（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】先用复数除

法运算化简z，由此求得z的虚部.【详解】依题意()()()11iiziii+−==−−，故虚部为1−.故选B2.抛物线28yx=的准线方程是（）A.12x=B.2x=−C.2x=D.12x=−【答案】B【解析】【分析】根据抛物线

的性质求解即可.【详解】由题意可知，4p=，则该抛物线的准线方程为22px=−=−故选：B3.以下有关命题的说法错误．．的是（）A.命题“若220xx−−=，则=1x−”的逆否命题为“若1x−，则220xx−−”B.“220xx+−=”是“1x=”成立的必要不充分条件C.对于

命题0:pxR，使得20010xx−+，则:pxR，均有210xx−+D.若pq为真命题，则p与q至少有一个为真命题【答案】D【解析】【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”，可判断A；分别判断充分性和必要

性是否成立即可判断B；根据特称命题的否定是全称命题，判断C；根据符合命题的真假性判断D.【详解】对于A，根据命题与逆否命题之间的关系知，命题“若220xx−−=，则=1x−”的逆否命题为“若1x−，则220xx−−”，则A正确；对于B，220xx+−=时，1x=或2x=−，充分性不成立；1x=

时，220xx+−=，必要性成立，是必要不充分条件，则B正确；对于C，根据特称命题0:pxR，使得20010xx−+，它的否定命题是:pxR，210xx−+，则C正确；对于D，pq为真命题时，p与q至少有一个为真命题，但是p与q也可能都是假命题，则D错误.故选：D【点睛

】本题考查简易逻辑辨析题，考查逆否命题、必要不充分条件、特称命题的否定、或命题的真假判断，考查概念辨析，属于基础题.4.已知f(x)＝xlnx，若0()2fx=，则x0＝（）A.e2B.eC.ln22D.ln2【答案】

B【解析】【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可.【详解】因为f(x)＝xlnx，所以()ln1fxx=+，由00()ln12fxx=+=，解得0xe=.故选：B.5.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右顶点分别为A1，A2，且以线

段A1A2为直径的圆与直线20bxayab−+=相切，则C的离心率为A.63B.33C.23D.13【答案】A【解析】【详解】以线段12AA为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为ra=，圆的方程为222xya+=，直线20b

xayab−+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222abdaab==+，整理可得223ab=，即()2223,aac=−即2223ac=，从而22223cea==，则椭圆的离心率2633cea===，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取

值范围问题，其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数

()fx在2x=−处取得极小值，则函数()yxfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根极值与导函数的关系确定()fx在2x=−附近的正负，得()xfx的正负，从而确定正确选项．【详

解】由题意可得()20f−=，而且当(),2x−−时，()0fx，此时()0xfx，排除B、D；当()2,0x−时，()0fx¢>，此时，()0xfx，若()0,x+，()0xfx，所以函数()yxfx=的图象可能是C．故选：C7.函数()(1)exfxx

=−有A.最大值为1B.最小值为1C.最大值为eD.最小值为e【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.【详解】解:()e(1)eexxxfxxx=−+−=−，当0x时，()0

fx，当0x时，()0fx，()fx在(,0)−上单调递增，在(0,)+上单调递减，()fx有最大值为(0)1f=，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题

的关键.8.直三棱柱111ABCABC-中，若90BAC=，1ABACAA==，则异面直线1BA与1AC所成的角等于A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题

，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为60，故选C．9.2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立10

0周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方

法共有（）A.40B.240C.120D.360【答案】D【解析】【分析】用分步乘法计数原理，第一步选一首合唱歌曲最后唱，第二步在剩下的6首歌曲中选3首在排列，由此可得．【详解】根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后

，有3种安排方法，在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有36A120=种安排方法，则有3120360=种不同的安排方法，故选：D．10.已知()fx是定义在()(),00,−+U上的奇函数，()fx是()fx的导函数，当0x时，()()20xfxfx+．若()20f=

，则不等式()30xfx的解集是（）A.()(),20,2−−B.()(),22,−−+C.()()2,02,−+D.()()2,00,2−【答案】B【解析】【分析】构造函数()()2gxxfx=，其中0x，分析函数()gx的

奇偶性与单调性，可得出()()220gg−==，然后分0x、0x两种情况解不等式()()30xfxxgx=，综合可得出原不等式的解集.【详解】构造函数()()2gxxfx=，其中0x，则()()()

()()22gxxfxxfxgx−=−−=−=−，所以，函数()gx奇函数，且()20g=，()()220gg−=−=，当0x时，()()()()()2220gxxfxxfxxxfxfx=+=+，所以，函数

()gx在()0,+上为增函数，因为函数()gx为奇函数，故函数()gx在(),0−上为增函数，的为由()()30xfxxgx=可知，当0x时，()()02gxg=−，可得<2x−；当0x时，()()02gx

g=，可得2x.综上所述，不等式()30xfx的解集为()(),22,−−+.故选：B.11.设函数()21ln2fxxaxbx=−−，若1x=是()fx的极大值点，则a的取值范围为（）A.()1,0−B.()1,−+

C.()0,+D.()(),10,−−+【答案】B【解析】【详解】()21ln2fxxaxbx=−−,,,由得，()()()1111axxfxaxaxx+−=−+−=−,若,由,得,当时,,此时单调递增；1x时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．

时的极大值点,,解得．综上：,的取值范围时．故选B．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111axxfxaxaxx+−=−+−=−

,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．12.已知函数()()e1xfxx=−，若关于x的方程()()11fxafxa−+−−=有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A.2231,1e

e−−−−B.223,ee−−C.21,e−−D.22,e−−【答案】A【解析】【分析】考虑()fx与a和1a+的关系，去掉绝对值号后可得()1afxa+，然后再通过导数研究函数()fx的图象，结合图象可得

所求结果．【详解】方程()()11fxafxa−+−−=等价于()()()11fxaafxfxa−−++=或()1()()11afxafxafxa+−−++=或()1()()11fxafxafxa+−+−−=

，即()()fxafxa=或()111afxa+=或()1()1fxafxa+=+，所以()1afxa+．∵()()e1xfxx=−，∴()()e1eexxxfxxx=−+=，∴当0x时，()0fx

，()fx单调递减；当0x时，()0fx¢>，()fx单调递增．∴当0x=时，()fx取得最小值，且()()min01fxf==−．画出函数()fx的图象，如下图所示：于是可得，当1x时，()0fx恒成立．由图象可得，要使关于x的方程()()11fxafxa−+−−=有且仅有两

个不同的整数解，即关于x的不等式组()1afxa+有且仅有两个不同的整数解，只需(1)1(2)faf−+−，即2231eea−+−，解得22311eea−−−−，∴实数a的取值范围是2231,1ee−−−−．故选：A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13.曲线2lnyx=在点()1,0处的切线方程为__________．【答案】22yx=−【解析】【分析】求导2()fxx=

，可得斜率(1)2kf==，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2lnyfxx==，得2()fxx=，则曲线2lnyx=在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2kf==，则所求切线方程为02(1)yx−=−，即2

2yx=−.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14.A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有____________种（

用数字作答）【答案】24【解析】【分析】利用排列中的相邻问题捆绑法，特殊元素优先法即可求出结果.【详解】因为B，C相邻，将B，C排在一起并看成一个整体，有22P种方法，A不站两端，有2种方法，D，E与BC，进行3个元素的全排列，有33P6=种方法，故不同

的站队方式共有2323P2P24=种．故答案为：24．15.已知函数()2afxxx=+在)2,+上单调递增，则实数a的取值范围是__________；【答案】(,8−【解析】【分析】因为()2afxxx=+在)2,+上单调递增,故利用定义法求解即可.

【详解】设122xx,则()()()121212121211222aafxfxxxxxaxxxx−=+−−=−+−()()2112121212220xxaxxaxxxxxx−=−+=−−

在122xx时恒成立.即1220axx−,122axx在122xx时恒成立.故2228a=.即实数a的取值范围是(,8−.故答案为：(,8−【点睛】本题主要考查了利用利用定义分析函数单调性中的恒成立问题,

属于中等题型.16.关于函数32()fxxaxbxc=+++有如下四个命题：①若0x是()fx的极大值点，则()fx在0(,)x+上单调递增；②0Rx，0()0fx=；③若函数()yfx=存极值点，则23ab；④函数()yfx=的图象关于点(,())33aaf−−中

心对称．其中所有真命题的序号是__________（填上所有正确命题序号）．【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据导数与函数极值点的关系可判断；对于②，根据三次函数的函数值的正负情况可判断；对于③，根据函数极值点与导数的关系可

判断；对于④，可计算()()33aafxfx−++−−与2()3af−，根据结果是否相等可判断.【详解】对于①，若0x是()fx的极大值点，则当0xx时()0fx，函数()fx单调递增，在当0xx时()0fx，函数()fx单调递减，错误；对于②，

由于3yx=的函数值的变化幅度远大于2,yxyx==的变化幅度，故当x→−时，32()fxxaxbxc=+++→−，当x→+时，32()fxxaxbxc=+++→+，故0Rx，0()0fx=，正确；对于③，若函

数()yfx=存在极值点，则2()320fxxaxb=++=有两不相等实数根，故234120,3abab=−，正确；对于④，32()()()()()33333aaaaafxfxxabxcx−++−−=−+

−+−++++32()()()333aaaxxabcx−−−−−−++++3422273aabc=−+，而3232()()()()3333273aaaaaabfaccb++−=−−=−−++，故()()2()333aaafxfxf−++−−=−，即函数()yfx=的图象关于点(,(

))33aaf−−中心对称，正确，故答案为：②③④【点睛】本题考查了三次函数的极值点与导数的关系以及零点问题和对称中心问题，综合性较强，解答时要明确导数与函数的极值点之间的关系，能熟悉并解决三次函数的对称中心问题。三、解答

题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知命题“存在2,20xRxxm−+”，命题：“曲线22151xymm+=−+表示焦点在轴上的椭圆”，命题1tmt+（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值

范围．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出试题解析：（1）若真：解得若为真：则解得若“且”是真命题，则解得（2）由是的必要

不充分条件，则可得即（等号不同时成立）解得考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假18.已知抛物线()220ypxp=，其焦点F到准线的距离为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）若O为坐标原点，斜率为

2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求AOB的面积.【答案】（1）24yx=（2）5【解析】【分析】（1）由题设可得2p=，即可得写出抛物线标准方程；（2）由已知有直线l为2(1)yx=−，联立抛物线，应

用韦达定理、弦长公式求||AB，点线距离公式求O到直线l的距离，进而求AOB的面积.【小问1详解】由焦点F到准线距离为2，即2p=，故抛物线的标准方程为24yx=；【小问2详解】为的由（1）知：(1,0)F，则直线l为2(1)yx=−，即220xy−−=，联立抛物线可得：2310xx

−+=，则3ABxx+=，1ABxx=，所以22121212||1||5()45ABkxxxxxx=+−=+−=，又O到直线l的距离|2|2555d−==，所以1||52OABSABd==.19.已知函数()()ln,0,1fxxaxa=−.（1）若12a=时，求()fx的单调

区间和极值；（2）求()fx在1,2上的最小值.【答案】（1）递增区间为()0,2，递减区间为()2,+，极大值为ln21,−无极小值；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，由导函数的正负即可求解函数的单调性，进而可求解极值，（2）由函数的单调性，分

类讨论即可求解.【小问1详解】由题设()11222xfxxx−+=−=,令()002fxx，()02fxx，()fx\的递增区间为()0,2，递减区间为()2,+，故()fx的极大值为()2ln21,f=−无极小值；【小问2详解】()11axa

fxaxx−−=−=，()100fxxa，()10fxxa，由于()10,1,1aa，()fx\在11,a上单调递增，在1,a+上单调递减，①当12a，即102a时，函数()

fx在1,2上单调递增，()()min1fxfa==−，②当112a，即112a时，函数()fx在11,a上单调递增，在1,2a上单调递减，()()21ln2ffa−=−，若1ln22a时，

()()min1fxfa==−，若ln21a时，()()min2ln22fxfa==−，综上所述：当0ln2a时，()()min1fxfa==−；当ln21a时，()()min2ln22fxfa==−.20.如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，ABAP⊥，3AB=，4=

AD，5BC=，6CD=，过AB的平面分别交线段PD，PC于E，F.（1）求证：PDEF⊥（2）若直线PC与平面PAD所成角为π3，PAPD=，EFAB=，求平面ABD和平面BDF夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）9131131【解析】【分析】（1）先由线面垂

直判定定理证出EF⊥平面PAD，再由线面垂直证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，设点P坐标，由已知线面角求得点P坐标，再由空间向量求解平面与平面夹角即可.【小问1详解】由已知，∵ABCD∥，AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB平

面PCD，又∵AB平面，平面平面PCDEF=，∴ABEF∥，∴EFCD.取CD中点Q，连接AQ，∵ABCD∥，3AB=，132DQCQCD===，∴ABCQ，ABCQ=，∴四边形ABCQ是平行四边形，∴5AQBC==，∴在ADQ△中，4=AD，3

DQ=，5AQ=，222ADDQAQ+=，∴ADDQ⊥，即ADCD⊥，又∵EFCD，∴ADEF⊥，又∵ABAP⊥，ABEF∥，∴EFAP⊥，∵APADA=，AP平面PAD，AD平面PAD，∴EF⊥平面PAD，又∵PD

平面PAD，∴EFPD⊥，即PDEF⊥.【小问2详解】如图，取AD中点为O，连接OP，∵APPD=，∴OPAD⊥，由第（1）问知EF⊥平面PAD，∴以O为原点，OA，OP所在直线为x轴，z轴，过O与EF平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，()2,0,0A，()2,3,0B

，()2,6,0C−，()2,0,0D−，设()0,0,Pa，（0a）则()2,6,PCa=−−，易知平面PAD的一个法向量为()0,1,0m=，∵直线PC与平面PAD所成角为π3，∴26π3cos,sin324361PCmPCmPCma====++，解得22a=

，∴()0,0,22P，又∵EFCD，132EFCD==，∴E，F分别为PD，PC中点，∴()1,3,2F−，∴()3,0,2BF=−，()4,3,0DB=，设平面BDF的一个法向量为()1,,nxyz=由1100nB

FnDB==，得320430xzxy−+=+=，令6x=，则8y=−，92z=，∴平面BDF的一个法向量为()16,8,92n=−，易知，平面ABD的一个法向量为()20,0,1n=，设平面ABD和平面BDF的夹角为，则121212

929131coscos,131262nnnnnn====，∴平面ABD和平面BDF的夹角的余弦值为9131131.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的一个顶点为(01)，，焦距为23．椭圆E的左、右顶点分别为AB，，P为椭圆E上异于AB，的动点，PB交直线4

x=于点T，AT与椭圆E的另一个交点为Q．（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线PQ是否过x轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）经过定点，定点为(1,0)【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解a、b、c即可；（2）使

用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到P、Q两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.【小问1详解】椭圆()2222:10xyCabab+=的一个顶点为(01)，，焦距为23，13bc==，解得132a

=+=，椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】T在直线:4lx=上，则点(4,)Tt，(2,0),(2,0)AB−()():2,:262ttATyxBTyx=+=−由2214(2)6xytyx+==

+，得2221826,99ttQtt−++，由()221422xytyx+==−,得222222,11ttPtt−−++，223PQtkt=−，22222222:131tttPQyxttt−+=−+−+

，22222222223311ttttyxtttt−=−−−−++()()()()22222222232313tttttyxttt−+−=−−+−222233ttyxtt=−−−，22:(1)3tPQyxt=−−，直线PQ过定点(1,0).【点睛】（1）利用椭圆

的基本性质，结合椭圆的定量关系222abc=+可求得所要的椭圆方程；（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线PQ上两点，写出直线方程，化为00()yykxx−=−点斜式的方程，可得到直线所过的定点.22.已知函数()()()

2ln1R,fxaxxxafx=−+是()fx的导函数.（1）求函数()yfx=的极值；（2）若函数()fx有两个不同的零点12,xx，证明：2122exx.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()yfx=的导函数，再分0

a和0a求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）由()fx有两个不同的零点12,xx，得1111lnaxxx=−①，2221lnaxxx=−②，两式分别相加相减，得到的两个式子相除可得()()121221212

2112lnlnxxxxxxxxxxxx++−=−，不妨设120xx，令211xtx=，构造函数()()21ln,(1)1tFtttt−=−+，利用导数判断函数的单调性，进而可得出结论.【小问1详解】()fx

的定义域为()0,+，()1212ln1,2axyfxaxxyaxx−==−−==−，当0a时，()0,yyfx=在()0,+上单调递减，故无极值；当0a时，10,2xa时10,,2y

xa+时0y，所以()yfx=在10,2a上单调递减，在1,2a+上单调递增，故()yfx=的极小值为1ln22faa=，无极大值，综上所述，当0a时，()yfx=无极值；当0a时，()yfx=的极小值为l

n2a，无极大值；【小问2详解】依题意()fx有两个不同的零点12,xx，即2ln10axxx−+=有两个不同的根，即1lnaxxx=−有两个不同的根，则1111lnaxxx=−①，2221lnaxxx=−②；①+②得()()12121212lnxxaxxxxxx++=−

③，②−①得()22121112lnxxxaxxxxx−−=+④，由③④整理得()()1212212122112lnlnxxxxxxxxxxxx++−=−，不妨设120xx，令211

xtx=，令()()21ln,(1)1tFtttt−=−+，则()22(1)0(1)tFttt+−=，所以()Ft在()1,+上单调递增，所以()()10FtF=，即()21ln1ttt−+，即()2211221121212ln1xxxxxxxxxx−

−=++，所以()()1212212122112lnln2xxxxxxxxxxxx++−=−，又()()()()()121212121212121212122444lnlnln2lnxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx+−−=−=−，所以()121242ln2xxxx−，即()12122ln1xxxx−，令()2lnxxx=−，则()x在()0,+上单调递增，又()212122ln2eln211ln212e2e2e−=+−=+−，所以()()12

1222ln1ln2e2exxxx−−，即()()122exx，所以2122exx.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()

()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，

根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com