【文档说明】《2022年新高考地区名校地市高三数学一模好题分类汇编》专题04 平面向量（解析版）.docx，共(36)页，3.149 MB，由管理员店铺上传

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专题04平面向量一、单选题1．（2022·河北保定·高三期末）若向量()2,3a=r，()8,bm=，则（）A．Z,mab⊥B．Z,//mabC．R,mabmD．R,mab=【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示

可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为向量()2,3a=r，()8,bm=，对于A：若ab⊥，则1630m+=，

解得：163m=−Z，所以不存在mZ，使得ab⊥，故选项A不正确；对于B：若//abrr，则238m=，可得12m=，所以存在12Zm=，使得//abrr，故选项B正确；对于C：令163abmm=+=可得：8m=−，所以存在8m=−使得abm=rr，故R,mabm不成立，故选

项C不正确，对于D：222313a=+=，222864bmm=+=+，若ba=，则26413m+=，此方程无解，所以不存在Rm，使得ab=rr，故选项D不正确；故选：B.2．（2022·山东日照·高三期末）已知△

ABC是边长为1的等边三角形，点,DE分别是边,ABBC的中点，且3DEEF=，则AFBC的值为（）A．112−B．112C．1D．8−【答案】B【分析】把△ABC放在直角坐标系中，可以根据题干中的条件写出各个点的坐标，再利用3DEEF=，求出点F的坐标，再求出AFB

C的值即可.【详解】把△ABC如下图放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故13(0,0),(1,0),(,)22BCA，点,DE分别是边,ABBC的中点，131,,,0442DE，设(,)Fx

y，131(,),(,)442DEEFxy=−=−，3DEEF=，1173()734212(,)1212333412xxFyy=−=−−==−，1731(,),(1,0),121212AFBCAFBC=−==.故选：

B.3．（2022·山东淄博·高三期末）已知向量a、b满足2ab==rr，且ab−在a上的投影的数量为23+，则,ab=（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】D【分析】根据已知条件求出ab的值，利用平面向量的数量积可求得结果.【

详解】设ab−与a的夹角为，则()cos23abaaba−−==+，所以，2423aab−=+，可得23ab=−，因此，3cos,2ababab==−，因为0,ab，因此，5,6ab=.故选：D.4．（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量,ab满足

：227ababa+=+=，则,ab夹角的值为（）A．45B．60C．90D．120【答案】B【分析】由题知21,2ababa==，再根据向量夹角求解即可.【详解】解:因为227ababa+=+=，所以2222244447aabbaabba++=+

+=，所以21,2ababa==，因为221cos,cos,2abababaaba===，所以1cos,2ab=，由于,0,180ab所以,60ab=故选：B5．（2022·山东烟台·高三期末）已知1a=，2b=，12ab=−，则

cos,aab−=（）A．14B．34C．612D．64【答案】D【分析】计算出()aab−、ab−rr的值，利用平面向量的数量积可求得结果.【详解】由已知可得()232aabaab−=−=，2226abaabb−=−+=，因此，()362cos,4

16aabaabaab−−===−.故选：D.6．（2022·山东泰安·高三期末）若单位向量,ab满足ab⊥，向量c满足()1acb+=，且向量,bcrr的夹角为60，则c=（）.A．12B．2C．233D．3【答案】B【分析】由ab⊥可得=0ab，利用向量数量积

的运算律可求得cb，再由数量积的定义可得cr．【详解】ab⊥，=0abrr.()+==1acbabcbcb+=rrrrrrrrrQ，1=cos6012cbcbc==rrrrr，2c=r.故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查数量积的运算律，数量积与垂直的关系，掌握数

量积的定义是解题关键．7．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知a，b为单位向量，且23ab−=，则a，b的夹角为（）A．6B．4C．3D．23【答案】C【分析】对23ab−=左右两边同时平方进

行化简，即可求出答案.【详解】把23ab−=左右两边同时平方得：()()22443aabb−+=，由于a，b为单位向量，144cos,13cos,2abab−+==.故a，b的夹角为3.故选：

C.8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在ABC中，π3A=，G为ABC的重心，若6AGABAGAC==，则ABC外接圆的半径为（）A．3B．433C．2D．23【答案】C【分析】先由条件判定ABC为等边三角形

，再求得ABC的边长，以正弦定理去求ABC外接圆的半径即可解决.【详解】由AGABAGAC=，可得()0AGABACAGCB−==，则有AGBC⊥又在ABC中，π3A=，G为ABC的重心，则ABC为等边三角形.则2222111()cos632332AG

ABABACABABABAB=+=+==解之得23AB=uuur，则ABC外接圆的半径为11232223sin32AB==故选：C9．（2022·湖北·高三期末）在ABC中，9,3ABACAB==，点E满足2AEE

C=，则ABBE=（）A．6−B．3−C．3D．6【答案】B【分析】根据题中所给的条件利用相应公式求得结果.【详解】ABC中，2AEEC=，所以23AEAC=，222()()33ACCBBEABAEABABAABA

BAAB=−=−=−229333=−=−，故选：B.10．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，动点M从顶点B出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F，若FDAM的最大值和最

小值分别是m，n，则mn+=（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【分析】连接AC，根据正六边形的特征可得FDAC=，从而可得cos,FDAMACAMACAMACAM==，再根据当M在BC上运动时，AM与cos,ACAM均逐渐增大，当

M从D移动到F时，AM与cos,ACAM均逐渐减小，即可求得m，n，从而得出答案.【详解】解：连接AC，在正六边形ABCDEF中，FDAC=，∴cos,FDAMACAMACAMACAM==，∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴23AC=，因为当M在BC上运动时，A

M与cos,ACAM均逐渐增大，当M从D移动到F时，AM与cos,ACAM均逐渐减小，所以当M在CD上运动时，cos,AMACAM取得最大值，为23，当M移动到点F时，cos,AMACAM取得最小值，为0．∴23

2312m==，2300n==，∴12mn+=．故选：D.【点睛】11．（2022·湖南娄底·高三期末）已知()1,21am=−，()2,2bm=−−，若向量a，b共线，且0m，则实数m的取值为（）．A．1B．52C．3D．32−【答案】B【分析】由向量a，b共线，即可求出

实数m的值.【详解】因为向量a，b共线，所以()()()12212mm=−−−，所以0m=或52m=，因为0m，所以实数m的取值为52．故选：B.12．（2022·湖南郴州·高三期末）在平行四边形ABCD中，()()1,2,3,4ACBD==，则ABA

D=（）A．-5B．-4C．-3D．-2【答案】A【分析】根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】ACABAD=+，BDADAB=−，2222ACABABADAD=++，2222BDADABADAD=−+，()2222

224123420ACBDABAD−==+−+=−，5ABAD=−，故选：A13．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且(22)()=+−RAPABAC，则PAPC的最小值为（）A

．16B．12C．5D．4【答案】C【分析】延长AC到D，使得2ADAC=，可得点P在直线BD上，化简可得2||4PAPCPO=−，求出||PO最小值即可.【详解】如图，延长AC到D，使得2ADAC=

．因为(22)(1)=+−=+−APABACABAD，所以点P在直线BD上．取线段AC的中点O，连接OP，则222()()||||||4=+−=−=−PAPCPOOAPOOAPOOAPO．显然当OPBD⊥时，||PO取得最小值，因为23

,6BOOD==，则43BD=，所以min236||343PO==，所以PAPC的最小值为2345−=．故选：C.14．（2022·广东汕尾·高三期末）对于非零向量,ab，“0ab+=”是“||||ab=”的（）A．充

分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量的概念，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.【详解】对于非零向量,ab，0ab+=，可得ab=−rr，所以||||ab=，充分性成立，但||||ab=，此时,ab的方向不定，不能推出0ab+=，必要性

不成立，故选：A．15．（2022·广东潮州·高三期末）在90A=的等腰直角ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，BCAFCE=+，则=（）A．23−B．32−C．43−D．1−【答案】A【分析】以A为原点建立

直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得的值.【详解】以A为原点建立直角坐标系，设()2,0B，()0,2C，则()1,1F，()1,0E，则()2,2BC=−，()()()1,11,2,2AFCE

+=+−=+−，所以222+=−−=，所以23=−.故选：A16．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知ABC中，4AB=，43AC=，8BC=，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度

是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中APAQ的最大值是（）A．72B．4C．492D．23【答案】C【分析】由题意2BQCP=−，,60,30ABACABCACB⊥==，故()()A

CCPAPAQABBQ=++，展开可得关于CP的一元二次函数，配方，即可求得APAQ的最大值.【详解】ABC中，4AB=，43AC=，8BC=，222,,60,30ABACBCABACABCACB+

=⊥==.由题意2BQCP=−，()()ACCPABBQACABACBQCPABCPQABAPQ=++=+++02cos30cos602cos180ACCPCPABCPCP=+−++−2314324222CPC

PCP=+−22749214222CPCPCP=−+=−−+,当72CP=时，APAQ取得最大值，最大值为492.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.17．（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方

形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为2，则AEBF＝（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.【详解】解：由题意可知，()()AEBFADDE

BCCF=++ADBCADCFDEBCDECF=+++2ADCFDEBC=++2CBCFDEDA=−−2222112422=−−−−=，故选：B．18．（2022·江苏宿迁·高三期

末）已知向量()()(),1,2,,1,2axbyc===−，且//ac，bc⊥，则2ab−=（）A．3B．10C．11D．23【答案】B【分析】利用向量共线和向量垂直的坐标表示求出x，y，再求出2ab−

的坐标计算作答.【详解】向量()()(),1,2,,1,2axbyc===−，由//ac得：21x−=，即12x=−，由bc⊥得：220y−=，即1y=，于是得1(,1)2a=−，()2,1b=r，2(3,1)a

b−=−，所以222(3)110ab−=−+=.故选：B19．（2022·江苏无锡·高三期末）已知点P在圆221xy+=上，点A的坐标为(2,1)−−，O为坐标原点，则AOAP的最小值等于（）A．3B．55−C．4D．55+【答案】B

【分析】令(cos,sin)P，则表示AOAP，然后三角函数的性质求解即可【详解】令(cos,sin)P，则(cos2,sin1)AP=++，(2,1)AO=，所以2cos4sin1AOAP=+++2cossin5=++215cossi

n555=++()5sin5=++55−+（其中21sin,cos55=），故选：B.20．（2022·江苏常州·高三期末）已知a，b是平面内两个向量，且0arr．“0b=”是“aab=+”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要的条件的定义即可求解.【详解】若0b=，()22220abaaa+−=−=，故0b=能推出aab=+，若aab=+，则222aaabb=++，则()20bba+=，则b与2ba+垂直

也可以，不能得到0b=，故aab=+不能推出0b=，所以“0b=”是“aab=+”的充分不必要条件，故选：A.二、多选题21．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量()2,1a=，()()cos,sin0b=，则下列命题正确的是（）A．若ab⊥，则

tan2=B．若b在a上的投影为36a−，则向量a与b夹角为23C．与a共线的单位向量只有一个为63,33D．存在，使得abab+=+【答案】BD【分析】对A：由向量垂直的坐标表示即可求解判断；对B：根据投影的定义即可求解判断；对C：与

a共线的单位向量为aa即可判断；对D：根据向量a与b共线同向时，满足abab+=+即可判断.【详解】解：向量()2,1a=，()()cos,sin0b=，对A：因为ab⊥，所以2cossin0+=，所以tan2=−，故选项A错误；对B：因为b在a上的投影向量为3

6a−，即3cos,6baba=−，所以3cos,6abab=−，又()2221cossin1,213ba=+==+=，所以31cos,3612ab=−=−，因为,0,abrr，所以向量a与b夹角为23，故选项B正确；对C：与a共线的单位向量有两个，分别为63,3

3和63,33−−，故选项C错误；对D：当63cos,sin33==时，3ab=，此时向量a与b共线同向，满足abab+=+，所以存在，使得abab+=+，故选项D正确；故选：BD.22．（2022·山东枣庄·高三期末）已知在等腰OAB中，C是底边AB的

中点，则（）．A．()OBBA+在AB方向上的投影向量为ACB．在边AB上存在点D使得2OAODOBOD=C．()()2//3OBOCOAOB−−D．22OAOBOCAC=−【答案】BCD【分析】对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即

可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出2OBOC−和3OAOB−的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可【详解】对于A，因为OBBAOA+=，OA在AB方向上的投影向量为CA，所以A错误，对于B，如图建立坐标系，设(,0),(,0),(0,),(,0)

AaBaObDx−，则(,),(,),(0,),(,)OAabOBabOCbODxb=−−=−=−=−，所以22,OAODaxbOBODaxb=−+=+，由2OAODOBOD=，得222()axbaxb−+=+，得23axb=−，因为0a

，所以23bxa=−，所以在边AB上存在点2,03bDa−使得2OAODOBOD=，所以B正确，对于C，因为2(2,),3(4,2)OBOCabOAOBab−=−−=−，所以()223OBOCOAOB−=−，所以()()2//3OBOCOAOB−−，所以

C正确，对于D，因为22222,,OBOBabOCbACa=−+==，所以22OAOBOCAC=−，所以D正确，故选：BCD23．（2022·山东莱西·高三期末）已知两个向量1e和2e满足12e=，21e=，1e与2e的夹角为3，若向量1227te

e+与向量12ete+的夹角为钝角，则实数t可能的取值为（）A．6−B．142−C．12−D．45−【答案】AD【分析】根据题意，()()1212270teeete++，且不能共线，再求解即可得实数

t的取值范围141417,,222−−−−，进而得答案.【详解】解：因为12e=，21e=，1e与2e的夹角为3，所以1221cos13ee==，因为向量1

227tee+与向量12ete+的夹角为钝角，所以()()1212270teeete++，且不能共线，所以()()()22221212112227227721570teeeteteteetett++=+++=++，

解得172t−−，当向量1227tee+与向量12ete+共线时，有()121227teeete+=+，即27tt==，解得142t=，所以实数t的取值范围141417,,222−

−−−，所以实数t可能的取值为A，D故选：AD24．（2022·山东济南·高三期末）在平面直角坐标系内，已知()1,0A−，()10B,，C是平面内一动点，则下列条件中使得点（）A．ACBC=B．2ACBC=C．0ACBC=D．2ACBC=【答案】ABCD【分析】

利用向量的坐标运算，通过题设条件，求出满足条件的动点C的轨迹方程，如果轨迹方程存在，说明选项条件正确.【详解】设点C的坐标为()xy，则()()1,,1,=+=−ACxyBCxy对于A：()()222211++=−+xyxy0x=故A正确对于B：()(

)()2222141++=−+xyxy22331030+−+=xyx2251639−+=xy故B正确对于C：()()2110+−+=xxy221xy+=故C正确对于D：()()211

2+−+=xxy223xy+=故D正确故选：ABCD25．（2022·山东济南·高三期末）已知平面向量()1,0a=，()1,23b=，则下列说法正确的是（）A．16ab+=B．()2aba+=C．向量ab+与a的夹角为30°D

．向量ab+在a上的投影向量为2a【答案】BD【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；根据向量数量积的坐标表示即可判断B；根据()cos,abaabaaba++=+即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.【详解】解：()2,23ab+=，则4124ab+=+=

，故A错误；()2aba+=，故B正确；()1cos,2abaabaaba++==+，又0,180aba+，所以向量ab+与a的夹角为60°，故C错误；向量ab+在a上的投影向量为()2abaaaa+=，故D正确.故选：BD.26．（202

2·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）下列说法不正确的是（）A．若()1,2a=r，()1,1b=−r，且a与aλb+的夹角为锐角，则的取值范围是(),5−B．若A，B，C不共线，且243OPOAOBOC=−+，则P，A，B、C四

点共面C．对同一平面内给定的三个向量a，b，c，一定存在唯一的一对实数，，使得abc=+.D．ABC中，若0BCAB，则ABC一定是钝角三角形.【答案】ACD【分析】对于A，由a与aλb+的数量

积大于0且不共线计算判断；对于B，变形，由空间共面向量定理判断；对于C，由平面向量基本定理判断；对于D，利用平面向量数量积运算判断作答.【详解】对于A，依题意，(1,2)aλbλλ+=+−，()0aab+且a与aλb+不同向共线

，求得500−，解得：5且0，A错误；对于B，由243OPOAOBOC=−+，则2()4()OPOCOAOCOBOC=−−−−，即24CPCACB=−，于是得,,CPCACB共面，且公共起点

C，而A，B，C不共线，P，A，B，C四点共面，B正确；对于C，同一平面内不共线的非零向量a，b，c，才存在唯一的一对实数，，使得abc=+，否则不成立，C错误；对于D，在ABC中，0BCAB，则||||cos()0

BCABABC−，于是得ABC是锐角，不能确定ABC是钝角三角形，D错误.故选：ACD27．（2022·湖北江岸·高三期末）若()1,2,,iAin=是AOB所在的平面内的点，且iOAOBOAOB=

下面给出的四个命题中，其中正确的是（）A．12nOAOAOAOA+++=B．0iAAOB=C．点A､1A､2A…nA一定在一条直线上D．OA､iOA在向量OB方向上的投影一定相等【答案】BCD【分析】根据向量运算得到iA在OAB边OB的高所在的直

线上，B、C、D正确，再判断A错误，得到答案.【详解】iOAOBOAOB=，则()0iOAOAOB−=，即0iAAOB=，故iA在OAB边OB的高所在的直线上，故选项B、C、D正确，12nOAOAOA++

+不一定为OA，A错误.故选：BCD28．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC中，BDBC=，AEAC=，其中0,1，0,1，3B=，4AB=，5BC=，则（）A．当13=时，2133ADABAC=

+uuuruuuruuurB．当45=时，8ABBD=C．当12=时，212BE=D．当49=时，6ABE=【答案】AD【分析】当13=时，AABBDD=+，再把BD用ABAC、表示可判断A；当45=时ABD是

边长为4的等边三角形，由cos120=ABBDABBD可判断B；当12=时，()12=+BEBABCuuuruuuruuur，两边平方化简可判断C；当49=时，4599=+BEBCBAuuuruuuruuur，计算出22459

9=+BEBCBAuuuruuuruuur，()245459999=+=+BEBABCBABABCBABAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，由向

量夹角公式可判断D.【详解】因为3B=，所以AB与BC的夹角为120，当13=时，()11213333=+=+=+−=+ADABBDABBCABACABABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuru

uuruuuruuuruuur，故A正确；当45=时，445===BDBCAB，所以ABD是边长为4的等边三角形，1cos1201682==−=−ABBDABBD，所以B错误；当12=时，()1

2=+BEBABCuuuruuuruuur，所以()()222211244BEBABCBABCBABC=+=++()1611625245cos6044=++=，所以612BE=，故C错误；当49=时，49=AEAC，()44459999=+=+=+−=+BEBAAEB

AACBABCBABCBAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以22224516254099818181=+=++BEBCBABCBABCB

Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur16252516401120045818181281=++=，()2454541540451699999293=+=+=+=BEBABCBAB

ABCBABAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以4033cos220349===BABEABEBABEuuuruuuruuuruuur，因为03ABE，所以6

ABE=，故D正确.故选：AD.29．（2022·广东罗湖·高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（）A．()12AOABAD=+B．0ABBOC．AOBO=D．25ABAD−=【答案】AD【分析】通过向量加法的平行四

边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否.【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知2ABADACAO+==，()12AOABAD=+，选项A正确；cos,0ABBOABBOABBO=，选项B错误；AO与BO方向不同，选项C错误；延长AB到E,使2AEAB=,通

过向量减法的三角形法则可知2ABADED−=,在RtAED△中，()()22415DEAEAD=+=+=，25ABADED−==，选项D正确.故选：AD.30．（2022·广东揭阳·高三期末）已知向量()())cos,sin,cos,sin(,0,2,)

mn==，且()0,1mn+=，则下列说法正确的是（）A．221mn+=B．()1cos2−=−C．()sin0+=D．mn−urr的最大值为2【答案】BC【分析】先根据向量加法，可直接求出5,66==.对选项A，直接求出向量m和n的模

，然后验证即可；对选项B，直接求出余弦值；对选项C，直接求出正弦值；对选项D，直接求出向量mn−的模.【详解】根据向量的加法可得：coscos0sinsin1+=+=根据诱导公式及同角三角函数的关系，且))0,2,0,2,，解得

：5,66==对选项A，221,1mn==，则有：222mn+=，故选项A错误；对选项B，则有：()21coscos32−==−，故选项B正确；对选项C，则有：()()sinsin0+==，故选项C正确；对选项D，3131,,,2222mn

=−=，则有：()3,0mn−=−故有：32mn−=，故选项D错误.故选：BC31．（2022·江苏宿迁·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线()yfx=上的任意点P，都存在曲线()

yfx=上的点Q，使得0OPOQ=成立，则称函数()fx具备“性质”.则下列函数具备“性质”的是（）A．1yx=+B．2cosyx=C．lnxyx=D．e2xy=−【答案】BD【分析】四个选项都可以

做出简图，对于选项A和选项C，可在图中选取特殊点验证排除；选项B、选项D可在图中任意选择点P，观察是否存在点Q，使得0OPOQ=成立，即可做出判断.【详解】选项A，如图所示，曲线1yx=+，当点P取得2222（-，）时，要使得点Q满

足0OPOQ=成立，那么点Q落在直线yx=上，而此时1yx=+与yx=两直线是平行的，不存在交点，故此时不满足在1yx=+上存在点Q，使得0OPOQ=成立，故选项A错误；选项B，如图所示，曲线2cosyx=，对于曲线2cosyx=上的任意点P，都存在曲线2cosyx=上的点Q，使得0OPO

Q=成立，故选项B正确；选项C，如图所示，曲线lnxyx=，当点P取得10（，）时，要使得点Q满足0OPOQ=成立，那么点Q落在直线0y=上，而此时lnxyx=与0y=两曲线不存在交点，故此时不满足在lnxyx=上存在点Q，使得0OPOQ=成立，故选项C错误；选项D，如图所示，

曲线e2xy=−，对于曲线e2xy=−上的任意点P，都存在曲线e2xy=−上的点Q，使得0OPOQ=成立，故选项D正确；故选：BD32．（2022·江苏通州·高三期末）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B

，C为该圆上的两点，满足BCOA=，则（）A．直线BC的斜率为34B．∠AOC＝60°C．△ABC的面积为253D．B、C两点在同一象限【答案】ABD【分析】由向量相等得直线平行，线段相等，同时得出BC的

方向，从而由斜率判断A，由四边形OACB的形状判断B，求出三角形ABC面积判断C，确定,OBOC与Ox的夹角的大小判断D．【详解】BCOA=，则,BCOA平行且相等，34BCOAkk==，A正确；而OBOA=，所以OAC

B是菱形，且,AOCBOC△△都是正三角形，即60AOC=，B正确，22435OA=+=，212535sin12024ABCS==!，C错误，设OA的倾斜角为，由3tan4=且(,)64AOx=

，若直线BC在直线OA上方，则(,)32xOCxOA=+，2(,)32xOBxOA=+，,BC均在第二象限，若直线BC在直线OA下方，由于(,)64AOx，3AOC=，因此C点在第四象限，则22(,)3122xOBxOA

=−（取较小角），B在第四象限，综上，,BC在同一象限，D正确．故选：ABD．33．（2022·江苏苏州·高三期末）折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直

角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（）A．//EHFCuuuruuurB．0AHBE=C．EGEHEF=+D．ECEHECED=【答案】BCD【

分析】将讨论的向量分解到,ACBD上，再进行向量的相关算可依次判断.【详解】//EHFG，则EH与FC不平行，A错．设ACBDO=，()()AHBEAOOHBOOE=++uuuruuruuuruuuruuuruuurAOBOAOOEBOOHOHOE=

+++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0AOOEBOOHOAOEOBOH=+=−+=uuuruuuruuuruuuruuruuuruuruuur，B对．EGEHHGEHEF=+=+，C对()0ECEHECEDECEHEDECDH−=−==

ECEHECED=，D对，故选:BCD．三、双空题34．（2022·山东泰安·高三期末）如图，在ABC中，13BDBC=，点E在线段AD上移动（不含端点），若AEABAC=+，则=___________，2−的最小值为___________.【答案】2116

−【分析】先得出2133ADABAC=+uuuruuuruuur，设出(01)AExADx=得出233xxAEABAC=+，则2=,33xx=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC中，13BDBC=，所以1121()3333ADABBDABBCABAC

ABABAC=+=+=+−=+,即2133ADABAC=+uuuruuuruuur.因为点E在线段AD上移动（不含端点），所以设(01)AExADx=.所以233xxAEABAC=+，对比AEABAC

=+可得2=,33xx=.代入2=,33xx=，得2323xx==；代入2=,33xx=可得22224=33(0931)xxxxx−−=−，根据二次函数性质知当1334

829x−=−=时，()22min43131=983816−−=−.故答案为：12;16−35．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD中，ππ1,,32ABA=，点E，F分别是线段,ADCD上的动点（

包括端点），AECF=，则()AECFAC+=___________，EDEB的最小值为___________.【答案】014−【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出0,1AEm=，表达出()22co

s11cos24EDEAAmB−+=−−，利用二次函数的性质求最小值()2cos14A−−，再结合1cos0,2A求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂

直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故()0,0A，()10B,，()cos,sinDAA，()1cos,sinCAA+，设0,1AEm=，则()cos,sinEmAmA，()1cos,sinFmAA−+，则

()cos,sinAEmAmA=，(),0CFm=−，()1cos,sinACAA=+，()()22()cos,sin1cos,sinsinsin0AECFACmAmmAAAmAmA+=−+=−+=；()()222cos11cos1coscos24EDEAAmAmABm−+

=−++=−−因为ππ,32A，所以1cos0,2A，1cos13,0,1224A+，故当1cos2Am+=时，EDEB取得最小值为()2cos14A−−，因为1cos0,2A

，所以当cos0A=，即π2A=时，()2cos14A−−最小，最小值为14−故答案为：0，14−【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.四、填空题36．（2022·河北深州市中学高三期末）若向量a，b满足3a=，且(

)()4abab+−=，则b=______．【答案】5【分析】由222()()94abababb+−=−=−=，计算即可得出答案.【详解】∵222()()94abababb+−=−=−=，∴5b=．故答案为：5.37．（2022·河北唐山·高三期末）AB

C中，D为BC的中点，4BC=，3AD=，则ABAC=______．【答案】5【分析】用AD向量表示,ABAC，再结合DBDC=−，2DBDC==求解即可.【详解】解：因为D为BC的中点，4BC=，所以DBDC=−，2DBDC==,ABAD

DBACADDC=+=+，所以ABAC=()()ADDBADDC=++()()22945ADDCADDCADDC=−+=−=−=故答案为：538．（2022·河北张家口·高三期末）已知向量()12,1am=−，向量()31,2bm=+，若//abrr，则实数m=____

_______.【答案】17【分析】利用共线向量的坐标表示可求得实数m的值.【详解】因为//ab，所以3124mm+=−，所以17m=.故答案为：17.39．（2021·福建·莆田二中高三期末）设平面上的向量a、b、x、y满足关系ayx=−，()2bmxym=−，又设a与b的模均为1

且互相垂直，则x与y的夹角余弦值的取值范围为__________.【答案】2310,210【分析】由已知条件求得()()1111xabmymabm=+−=+−，利用平面向量的数量积计算得出11cos,12xymm

=++，利用对勾函数的单调性可求得结果.【详解】因为()2ayxbmxym=−=−，可得()()1111xabmymabm=+−=+−，因为1ab==rr且0ab=，所以，()(

)()()()()22222111111mxyabmabmabmmm+=++=+=−−−，()21211xabmm=+=−−，()221111mymabmm+=+=−−，所以，()()()()()22222211121cos,2112121mx

ymmmmxymmxymm−++++====+−++21111212mmmm=+=+++，因为函数()1fmmm=+在)2,+上单调递增，当2m时，152mm+，则12015mm+，所以，112310cos,,12210xymm=+

+.故答案为：2310,210.40．（2022·山东青岛·高三期末）已知在边长为4的等边ABC中，13BDDC=，则ADAC=________；【答案】10【分析】将ADAC→→转化为ABBDACABACBDAC→→→→→→→+

=+，进而结合题意及平面向量数量积数量积的运算求得答案.【详解】由题意，14ADACABBDACABACBDACABACBCAC→→→→→→→→→→→→→=+=+=+144cos6044cos60104=

+=.故答案为：10.41．（2022·湖南郴州·高三期末）已知,,abc是平面向量，a与c是单位向量，且,2ac=，若28150bbc−+=，则ab−rr的最小值为_____________．【答案】17

1−【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定ab−rr的最小值.【详解】如下图所示，设35=====OAaOBbOCcODcOEc，，，，28150−+=bbc且1ac==228150−+=bbcc()()350−−=bcbc()()

35−⊥−bcbc35=−=−DBbcEBbc，点B在以F为圆心，DE为直径的圆上又=−BAab当点B为圆F和线段FA的交点的时候，BAab=−最短22411171−=+−=−ab故答案为：171−42．（2022·广东东莞·高三期末）

桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为A，B，C，将卡纸绕顶点C顺时针旋转56，得到A、B的旋转点分别为1A、1B，则11AABB=_________.【答案】423+##【分析】以点C为坐标原点，CA为x轴建立平面直角坐标系，得出点,AB的

坐标，旋转后得出点11,AB的坐标，从而得出向量11,AABBuuruur的坐标，从而得出数量积.【详解】以点C为坐标原点，CA为x轴建立平面直角坐标系.如图,则60AOB=则()()2,0,1,3AB将ABC绕顶点C顺时针旋转56,得到11ABC

，如图.则1150AOA=,即1OA可以看成是角76的终边.点1B在y轴上则112AOOAOB===,111177cos3,sin166AAxAOyAO==−==−110,2BBxy==−所以()13,1,A−−()10,2B−所以()()1132,1,

1,32AABB=−−−=−−−uuuruuur所以()()()11321132423AABB=−−−−−−=+uuruur故答案为：423+43．（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量,ab，且||2||,

()0baaab=+=，则a与b的夹角为______．【答案】34【分析】根据题意结合向量的数量积的运算律求出cos,ab，即可得解.【详解】非零向量,ab，且||2||ba=，2()||||cos,0aabaabab+=+=，22||||cos,0aaaab+=，

所以2cos,2ab=−，又0,ab，所以34,ab=，即a与b的夹角为34.故答案为：34.44．（2022·江苏通州·高三期末）已知单位向量,,abc满足23cab=−，则bc＝__________.【答案】13−【分析

】先将23cab=−两边平方，求得13ab=，再根据向量的数量积的运算法则求得bc的值.【详解】由23cab=−可知：222()13cab=−=，即224444113939aabbab−+=−+=，则13ab=，所

以222121()33333bcbababb=−=−=−=−，故答案为：13−45．（2022·江苏海安·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量(1,2),(2,1)ab==−−，试写一个非零向量c=_________，使得acbc=．【答案】(1,1)−（答案不唯一）【分析】根

据acbc=得到向量c满足的条件即可写出c.【详解】设(,)cxy=，则2acxy=+，2bcxy=−−，所以有22xyxy+=−−，即0xy+=.不妨取(1,1)c=−（答案不唯一）故答案为：(1,1)−（答案不唯一）46．（2022·江苏如皋·高三期末）已

知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝,2OPMN=，则PMPN=_________.【答案】1【分析】利用向量的几何运算将PMPN转化为用,,OMONOP表示，然后代

入数值计算即可.【详解】2MON=，0OMON=，且2MN=()()()2PMPNOMOPONOPOMONOPOMONOP=−−=−++()22112112122OMMMNNON=−+=−−+=故答案为

：147．（2022·江苏无锡·高三期末）已知ABC是边长为1的等边三角形,D在边BC上,且13BDBC=,E为AD的中点,则BE=__________.【答案】136【分析】建立直角坐标系,利用坐标求解【详解】如图,以BC中点为坐标原点建立直角坐标系,则113,0,,0,0,222BCA

−因为13BDBC=,所以1,06D−因为E为AD的中点,所以13,124E−所以2211313||12246BE=−++=

故答案为：136五、解答题48．（2022·河北深州市中学高三期末）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量()3,32mbca=−，()cos,cosnCB=，且mn⊥.（1）求B；（2）若sincos3AC+=，且33

a=，求ABC的周长.【答案】（1）6；（2）633+.【分析】（1）先利用向量数量积的坐标形式可以得到()3cos32cos0bCcaB+−=，利用正弦定理和两角和的正弦公式可以得到3cos2B=，从而得到B的大小.（

2）根据内角和为可得,AC的关系，消元后可求出23A=，再利用正弦定理求出b后结合ABC为等腰三角形可得所求的周长.【详解】解：（1）根据题意mn⊥，可得()3cos32cos0bCcaB+−=，化简整理得()3sincossincos2sincosBCCBAB+=，即3s

in2sincosAAB=.因为sin0A，所以3cos2B=，又()0,B，则6B=.（2）由（1）知56CA=−，则5sincossincos6ACAA+=+−33sincos3sin3226AAA=−=−=.又因为()0,A，所以23

A=，故6C=，因此bc=.因为33a=，所以sin3sinabcBA===，故ABC的周长为633+.【点睛】本题考查向量的数量积、两角和的正弦以及正弦定理，注意根据题设条件选择合适的边角关

系的转化方法，本题为中档题.