【文档说明】四川省成都市新津中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.427 MB，由小赞的店铺上传

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2024~2025学年度上期高2023级10月月考试题数学考试时间120分钟，满分150分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.中国古代科举制

度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11:7:2的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（）A.150B.110C.70D.20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可.【详解】由于分层

抽样比为11:7:2，则200个人中，中卷录取人数为22002020=.故选：D.2.已知点P是点()1,2,1A−在坐标平面Oxy内的射影，则OP=（）A.3B.5C.2D.6【答案】B【解析】【分析】求出点P的坐标，利用空间向量的模长公式可求得OP的值.【详解】因为点P是点()1

,2,1A−在坐标平面Oxy内的射影，则()1,2,0P，则()1,2,0OP=uuur，因此，2221205OP=++=uuur故选：B.3.三棱锥OABC−中，点P面ABC，且12OPOAkOBOC=+−，则实数k=（）A.12−B.12C.1D.32【答案

】D【解析】【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解..【详解】由题意三棱锥OABC−中，点P面ABC，且12OPOAkOBOC=+−，所以1112k+−=，解得32k=.故选：D.4.已知点()1,1,23M−−，空间内一平面过原点O，且垂直于向量()3

,2,3n=−−r，则点M到平面的距离为（）A.14B.15C.16D.18【答案】A【解析】【分析】根据题意结合点到面的距离公式运算求解.【详解】由题意可得：()1,1,23OM=−−，平面的法向量为()3

,2,3n=−−，所以点M到平面的距离为14OMnn=.故选：A.5.如图，在三棱锥OABC−中，设,,OAaOBbOCc===，若ANNB=，25BMMC=，则MN=（）A.112263abc+−B.112263abc−+C.1352147abc+−D.

1532147abc+−【答案】C【解析】【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解.【详解】连接,OMON，()()()112227MNONOMOAOBOCCMOAOBOCCB=−=+−+=+−−()()1227OAOBOCOBOC=+−−−1352147OAO

BOC=+−1352147abc=+−.故选：C6.如图，已知二面角l−−的大小为60o，A，B，,CDl，,AClBDl⊥⊥且3ACBD==，5CD=，则AB=（）A34B.6C.213D.7【答案】A

【解析】【分析】根据题意得到ABACCDDB=++，利用()22ABACCDDB=++结合向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】因为二面角l−−的大小为60，A，B，,CDl，ACl⊥，BDl⊥，所以AC与DB

的夹角为120，又因为ABACCDDB=++，所以()22222222ABACCDDBACCDBDACCDCDDBDBAC=++=+++++1925900233342=+++++−=，所以34AB=，即34AB=．故选：A．7.给出下列命题，其中不

正确．．．的命题是（）.A.向量1e，2e，3e共面，即它们所在的直线共面B.若123,,eee是空间向量的一个基底，则31212,,eeeee+−也是空间向量的一个基底C.已知向量()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若310

x，则,ab为钝角.D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面所成的角为50°【答案】ACD【解析】【分析】根据共面向量定理的定义可判断A,B正误；举特例可判断C；由线面角的定义可判断D.【详解】对于A，向量量1e，2e，3e可以通

过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确；对于B，假设31212,,eeeee+−不是空间向量的一个基底，所以()()()()3121212+exeeyeexyexye=++−=+−，因为123,,eee是空间向量的一个基底，所以可得100

0xyxy==+=−，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，所以31212,,eeeee+−也是空间的一个基底，故B正确；对于C，当3x=−时，向量()1,1,3a=−，()3,3,9b=−−，()()1

11,1,33,3,933ab=−=−−−=−，此时,ab所成角为180，则,ab不为钝角，故C不正确；对于D，因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130，所以直线l与平面所成的角等于()9018013040−−=，故D不正确.故选：A

CD.8.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1AA上的一个动点，F为棱11BC上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是（）A.20,2B.32,32C.30,3D.50,5

【答案】A【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可．【详解】设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的

平面角为θ，由图可得θ不为钝角.以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,),(,1,1)DABCDEmFn，所以()()0,1,,1

,0,1BEmBFn=−=−，设平面EFB的法向量为(,,)nxyz=，则00nBEnBF==，即0(1)0ymxnxz−+=−+=，令=1x−，则(1),1ymnzn=−=−，故(1,(1),1)

nmnn=−−−，又底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m=，所以()()2221coscos,111nmnnmnmmnn−===+−+−，因为,0,1mn，则()()2221cos111nmnn−=+−+−，当1n=

时，cos0=，当1n时，()221cos111mn=++−，当)0,1n，0,1m，则()(210,1n−，20,1m，则())211,1n+−，则当0,0nm==时，分母取到最小值2，此时()max2cos2=，当1n→，0n

时，则()2210111mn→++−，此时2cos0,2，综上2cos0,2，故选：A.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在平行六面体1111ABCDABCD−中，1111,23AEABADAAAFABADAA=++=++，则（）A.E为棱11DC的中点B.F为棱1CC上更靠近C的三等分点C.112

EFCD=D.EF//平面11ABBA【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量的线性运算和线面平行的性质即可逐一得答案.【详解】因为1111111111222AEABADAADCADDDDCAD=++=++=+，所以111112AEADDEDC−==，则E

为棱11DC的中点，A正确.因为111133AFABADAAACCC=++=+，所以113AFACCFCC−==，则F为棱1CC上更靠近C的三等分点，B正确.因为E为棱11DC的中点，F为棱1CC上更靠近C的三等分点，易得112EFCD，C错误.因为平面11ABBA//平面11,

DCCDEF平面11DCCD，所以EF//平面11ABBA，D正确.故选：ABD.10.已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，()1,3,1C−，则下列结论错误的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是2

55,,055C.AB与BC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是()1,2,5−【答案】AC【解析】【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与AB同向的单位向量ABAB；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面ABC的法向量为(),,nxyz=r，则00

nABnAC==，由此能求出结果．【详解】对于A：()()2,1,0,1,2,1ABAC==−，12,21AB−与AC不是共线向量，故A错误；对于B：()2,1,0AB=，则与AB同向的单位向量是()12552,1,0,,0555ABAB==，故B正

确；对于C：()()2,1,0,3,1,1ABBC==−，∴555cos,11511ABBCABBCABBC−===−，故C错误；对于D：()()2,1,0,1,2,1ABAC==−，设平面ABC的法向量为(),,nx

yz=r，则2020nABxynACxyz=+==−++=，取1x=，得()1,2,5n=−，故D正确．故选：AC．11.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动

，则下列结论正确的是（）A.直线1BD⊥平面11ACDB.三棱锥11PACD−的体积为定值C.异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,42D.直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD

【解析】【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断

即可；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB=，且111,BDBB平面11BBD，∴11AC⊥平面11

BBD，1BD平面11BBD，∴111ACBD⊥，同理，11DCBD⊥，∵1111ACDCC=，且111,ACDC平面11ACD，∴直线1BD⊥平面11ACD，故A正确；在选项B中，∵11//AD

BC，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，∴1//BC平面11ACD，∵点P在线段1BC上运动，∴P到平面11ACD的距离为定值，又11ACD的面积是定值，∴三棱锥11PACD−的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵11//ADBC，∴异面直线AP与1AD所成角为直线A

P与直线1BC的夹角.易知1ABC△为等边三角形，当P为1BC的中点时，1APBC⊥；当P与点1B或C重合时，直线AP与直线1BC的夹角为π3.故异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，故

C错误；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则(),1,Paa，()10,1,1C，()1,1,0B，()10,0,1D，所以()1,0,1CPaa=−，()11,

1,1DB=−.由A选项正确：可知()11,1,1DB=−是平面11ACD的一个法向量，∴直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：112221111(1)3113222CPDBCPDBaaa==+−−

+，∴当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63，故D正确.故选：ABD三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）．12.总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产

生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______844217831574556888314772176335063【答案】31【解析】【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解

.【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数，且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：84421731，所以选出来的第5个个体的编号为31.故答案为：31.13.已知向量a

，b满足()1,1,2a=，2b=，且3abab+=−.则ab+在a上的投影向量的坐标为_________.【答案】3332,,222【解析】【分析】对3abab+=−两边平方后得到2ab=

，代入投影向量的公式进行求解即可.【详解】3abab+=−两边平方化简得：222820aabb−+=，①因为()1,1,2a=，所以1122a=++=，又2b=，代入①得：8880ab−+=，解得：2ab=，所以ab+在a上的投影向量坐标为()()()21,1,21,1,2423

332,,2222222abaaaabaa+++===.故答案为：3332,,22214.如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱AB，AC，AD都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为2，3，2，则该正

方体的表面积为______.【答案】54【解析】【分析】取空间的一个基底,,ABACAD，设正方体的棱长为a，n是平面的一个方向向上的单位法向量.由题得,,ABACAD在n方向上的投影向量的长度分别为2，3，2，得(

)21232nABACADa=++，由1n=r，得3a=，即可求得正方体的表面积.【详解】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底,,ABACAD，设n是平面的一个方向向上的单位法向量.由空间向量基本定理，存在唯一的有序

实数组(,,)xyz，使得nxAByACzAD=++.由题意，,,ABACAD在n方向上的投影向量的长度分别为2，3，2.于2nAB=，即()2xAByACzADAB++=，即22xa=，即22xa=.同理，2

3ya=，22za=，从而()21232nABACADa=++，由1n=r，得222212341aaaa++=，其中()2232232ABACADABACAD++++=222234242643ABACADABADACABACAD=+++++222234aaa++=，即2131aa=，解

得3a=，所以正方体的表面积2654Sa==.故答案为：54【点睛】思路点睛：考虑到可以利用空间向量表示条件中的点到平面的距离，所以选择基底，设单位法向量解决问题，得2nAB=，即()2xAByACzADAB++=，求得22xa=，即可得到()21

232nABACADa=++，再根据数量积的运算律计算可得.四、解答题（共5小题，共77分）．15.已知(),1,0ax=，()1,,2by=−，()2,2,1c=−，5b=，ac⊥，（1）若akb+rr

、2ab+共线，求实数k；（2）若向量akb+rr与2ab+所成角为锐角，求实数k的范围．【答案】（1）12k=（2）111,,22−+【解析】【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及0ac=可求出x、y的值，

可得出向量a、b的坐标，根据akb+rr、是2ab+共线，可得出关于实数k的不等式，解之即可；（2）分析可知()()20akbab++以及akb+rr、2ab+不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数k的取值范围.【小问1

详解】解：因为(),1,0ax=，()1,,2by=−，()2,2,1c=−，5b=，ac⊥，则2145by=++=，可得0y=，220acx=−=，解得1x=，所以()1,1,0a=r，()1,0,2b=−，所以()1,1,2akbkk+=−rr

，()21,2,2ab+=，因为()()//2akbab++，所以112122kk−==，解得12k=．【小问2详解】解；由（1）知，()1,1,2akbkk+=−rr，()21,2,2ab+=，因为向量akb+rr与2ab+所成角为锐角，所以()()()21112

22330akbabkkk++=−++=+，解得1k−，又当12k=时，()()//2akbab++，所以实数k的范围为111,,22−+．16.如图所示，平行六面体1111

ABCDABCD−中，111ππ1,2,,23ABADAABADBAADAA======．（1）用向量1,,ABADAA表示向量1BD，并求1BD；（2）求1cos,BDAC．【答案】（1）11BDADAAAB=+−，16BD=（2）33【解析】

【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【小问1详解】111ABDDABADAAAB=−=+−，则2222211111()222BDADAAABADAAABADAAADABABAA=+−=+++−−

111412120221622=+++−−=，所以16BD=.【小问2详解】由空间向量的运算法则，可得ACABAD=+，因为11,2ABADAA===且11ππ,23BADBAADAA===，所以222π2cos2ACABADABABADAD=+=++1012=+

+=，11()()BDACADAAABABAD=+−+2211ADABADAAABAAADABADAB=+++−−22ππππ11cos121cos21cos111cos22332=+

++−−=，则11123cos,362BDACBDACBDAC===.17.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，124AAAB==，点E在线段1CC上，且14CCCE=，点F为BD中点.（1）求点1D到直线EF的距离；（2）求证：1AC⊥面B

DE.【答案】（1）1143（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出1,,ACDBDE的坐标，分别计算得到10ACDB=和10ACDE=，

由线线垂直推出线面垂直.【小问1详解】如图,以D为原点，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，正四棱柱1111ABCDABCD−,1124,4,AAABCCCEF===为BD中点,()()()()()110,0,4,0,2,1,1,1,0,0,2,3,1,1,1DE

FEDEF=−=−−则点1D到直线EF的距离为：2221111141333EDEFdEDEF=−=−=.【小问2详解】由（1）可得()()()10,2,0,2,2,0,2,0,4CBA，则()()()12,2,4,2,2,0,0,2,1ACDBDE=−−=

=，由122220ACDB+=−=可得1ACDB⊥，又由122(4)10ACDE=+−=可得1ACDE⊥，又DBDED=，故1AC⊥面BDE.18.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//,ADBCADAB⊥，侧

面PAB⊥底面1,5,22ABCDPAPBADBC====，且,EF分别为,PCCD的中点．（1）证明：//DE平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为45，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）4333

3【解析】【分析】（1）法一：利用构造平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得证；法二：利用面面平行的判定定理与性质定理即可得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面PAB与平面PCD的法向量，从而利用空间向量法即可得解.【小问1详解】法一：取PB中点M，连接,A

MEM，E为PC的中点，1//,2MEBCMEBC=，又1//,2ADBCADBC=，//MEADMEAD=，，四边形ADEM为平行四边形，//DEAM，DE平面,PABAM平面PAB，//DE平面PAB.法二

：取BC中点N，连接,DNEN，E为PC的中点，//NEPB，NE平面,PABPB平面PAB，//NE平面PAB，又1//,2ADBCADBC=，,BNADBNAD=//，四边形ADNB为平行四边形，//DNAB，DN平面,PABAB平面

PAB，//DN平面PAB又DNINEN=，,DNNE平面DEN，平面//DEN平面PAB，又DE平面DEN，//DE平面PAB.小问2详解】因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,ABCDAB

BC=平面ABCD，BCAB⊥，【BC⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则//,FGBCFG⊥平面PAB，所以GPF是直线PF与平面PAB所成的角，即45GPF=，又()132GFADBC=+=，3PG=，又225,534,8PAPBAGGBAB====−==，

又PAPB=，则PGAB⊥，以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，如图，()()()0,0,3,4,4,0,4,2,0PCD−，()()4,4,3,8,2,0PCDC=−=，设平面PCD的一个法向量，()1,,nxyz=，则114430820nPCx

yznCDxy=+−==+=，取1x=，则()11,4,4n=−−，易得平面PAB一个法向量可取()20,1,0n=，设平面PAB与平面PCD所成的夹角为，12124433cos3333nnn

n===，故平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为43333.19.在RtABC△中，90C=，3BC=，6AC=，,DE分别是,ACAB上的点，满足DEBC∥且DE经过ABCV的重心，将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，使1ACCD

⊥，M是1AD的中点，如图所示.的（1）求证：1AC⊥平面BCDE；（2）求CM与平面1ABE所成角的大小；（3）在线段1AC上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为34？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（

2）π4（3）存在，3或23【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD为x轴，CB为y轴，1CA为z轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM与平面1ABE所成角的大小；（3

）假设存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为34，设1CNCA=，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在RtABC△中，90C=，DEBC∥，且BCCD⊥，所以DECD⊥，DEAD⊥，则折叠后，1

DEAD⊥，又11,,ADCDDADCD=平面1ACD，所以DE⊥平面1ACD，1AC平面1ACD，所以1DEAC⊥，又已知1ACCD⊥，CDDED=且都在面BCDE内，所以1AC⊥平面BCDE；【小问2详解】由（1），以CD为x轴，CB为

y轴，1CA为z轴，建立空间直角坐标系−Cxyz.因为2ADCD=，故223DEBC==，由几何关系可知，2CD=，14AD=，123AC=，故()0,0,0C，()2,0,0D，()2,2,0E，()0,3,0B，()10,0,23A，()1,0,3M，()1,0,3CM=，()1

0,3,23AB=−，()12,2,23AE=−，设平面1ABE的法向量为(),,nxyz=r，则1100nABnAE==，即323022230yzxyz−=+−=，不妨令2y=，则3z=，1x

=，()1,2,3n=.设CM与平面1ABE所成角的大小为，则有42sincos,2222CMnCMnCMn====，设为CM与平面1ABE所成角，故π4=，即CM与平面1ABE所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC上存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为

34.在空间直角坐标系中，(1,3,3)BM=−，(1,0,3)CM=，1(0,0,23)CA=，设1CNCA=，则(0,0,23)CN=，(0,3,0)(0,0,23)(0,3,23)BNBCCN=+=−

+=−，设平面BMN的法向量为()2222,,nxyz=，则有2200nBMnBN==，即222223303230xyzyz−+=−+=，不妨令23z=，则22y=，263x=−，所以()263,2,3n=−，设平面CBM的法向量为()3333,,nx

yz=，则有3300nBMnCM==，即3333333030xyzxz−+=+=，不妨令33z=，则33x=−，30=y，所以()33,0,3n=−，若平面CBM与平面BMN成

角余弦值为34.则满足2323222391833cos,4239(21)43nnnnnn−+===−++，化简得22310−+=，解得1=或12，即1CNCA=或112CNCA=，故在线段1AC

上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为34.此时CN的长度为3或23.