【文档说明】（沪教版2020，测试范围：必修第一册第一章_第二章+函数的概念与性质）高一数学期中模拟卷（全解全析）（沪教版2020）.docx，共(12)页，662.155 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。a2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章+函数的概念与性质。5．难度系数：0.75。一、填空题（

本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知全集1,2,3,4U=，若2,4A=，1,4B=，则AB=.【答案】3【解析】因为2,4A=，1,4B=，所以1,2,4A

B=，又1,2,3,4U=，则3AB=.故答案为：3.2．若x、y中至少有一个小于0，则0xy+是命题.（填“真”或“假”）【答案】假【解析】x、y中至少有一个小于0包括x、y都小于0和x、y两个数中一个小于0，一个大于0，故当20x=，10y=−时，满足条件

，但是10xy+=，所以命题：若x、y中至少有一个小于0，则0xy+为假命题.故答案为：假3．函数()3xfxx=−的定义域为．【答案】)()0,33,+【解析】由题意自变量x应满足030xx−，解得0x且3x，所以函数()

3xfxx=−的定义域为)()0,33,+.故答案为：)()0,33,+.4．已知函数()yfx=的表达式为()2,0,0xxfxxx−=，()9fa=，则a=.【答案】9−或3【解析】当0a时，则()9faa=−=，解得9a=−；当0a时

，2()9faa==，解得3a=，(舍负)综上，9a=−或3a=，故答案为：9−或3．5．若两个正数ab､的几何平均值是1，则a与b的算术平均值的最小值是.【答案】1【解析】根据基本不等式可得12abab+=，所以a与b的算数平均数的最小值为1.故答案为：1.6．若关于x的方程

22axax=+−无解，则实数a的值为.【答案】1【解析】关于x的方程22axax=+−无解，即方程()212axa−=−无解，所以10a−=，所以1a=.故答案为：17．已知全集UR=，集合1,1,3,5A=−，集

合2BxRx=，则图中阴影部分表示的集合为.【答案】()3,5/()5,3【解析】解：因为1,1,3,5A=−，2BxRx=，所以1,1AB=−，所以()3,5AAB=ð故答案为：3,58．已知函数()yfx=是定义在R上的偶函数，当0x

时，()32fxxx=−+，则当0x时，()fx=.【答案】32xx+【解析】解：当0x时，0x−，所以()3232()()fxxxxx−=−−+−=+，又因为()yfx=是定义在R上的偶函数，所以当0x时，()()32fxfxxx=−=+.故

答案为：32xx+9．方程1221xxx−++=+的解集为.【答案】(),21,−−+【解析】由绝对值三角不等式可得：121221xxxxx−++−++=+，当且仅当()()120xx−+，即(),21,x−−+时，等号成立，故1221xx

x−++=+的解集为(),21,−−+.故答案为：(),21,−−+.10．某辆汽车以km/hx的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120x≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14400()L5xkx

−+，其中k为常数．若汽车以110km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为km/h．（结果保留整数）【答案】60,92【解析】由14400110135110k−+=，

解得85k=，所以1440085115xx−+，所以4870105x+≤≤，故6092x≤≤．故答案为：60,92.11．已知关于x的不等式组0131xaxaxa−−++的整数解恰好

有两个，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2【解析】由0131xaxaxa−−++可得()()1013xaxaxa−−−−，当0a时，113aaa−−，原不等式组无解，不符合题意舍去；当104a时，01311aaa−−，原不等

式组的解集为131aaxa−−，没有两个整数解，不符合题意舍去；当1142a时，113112aaa−−−，原不等式组的解集为1aaxa−，没有两个整数解，不符合题意舍去；当12a

时，131aaa−−，原不等式组的解集为1aaxa−，因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解，所以这两个整数解为0,1，所以11012aa−−，解得12a，综上所述，实数a的取值范围是(1,2.故答案为：(1,2.12．函数()yfx=的定义域为)(

1,00,1−，其图象上任一点(),Pxy满足1xy+=．命题：①函数()yfx=一定是偶函数；②函数()yfx=可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数()yfx=可以是奇函数；④函数()yfx=是偶函数，则值域是)1,0−或(0,

1；⑤若函数()yfx=值域是()1,1−，则()yfx=一定是奇函数．其中正确命题的序号是．（填上所有正确的序号）【答案】③⑤【解析】由于()fx的定义域是)(1,00,1−，则0x，1,11,1xyyxy+==−，

所以④错误.当1x=时，1,10,0xyyxy+==−==，当100xy−时，1,1xyyx−+==+，当100xy−时，1,1xyyx−−==−−，当010xy时，1,1xyyx+==−+，当010xy时，1

,1xyyx−==−，所以()fx的图象有如下四种情况：（1）（2）（3）（4）根据图象可知③⑤正确，①②④故答案为：③⑤.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列两组函数中，表示同一函数的是（）（1）2

12xyx−=+和212xyx−=+；（2）12yxx=−−和232yxx=−+.A．仅（1）是B．仅（2）是C．（1）（2）都是D．（1）（2）都不是【答案】A【解析】对于（1），两个函数定义域都为11xx−，

化简后两个函数都为212xyx−=+，所以（1）中两个函数是同一个函数；对于（2），12yxx=−−的定义域是2xx，232yxx=−+的定义域为2xx或1x，定义域不一致，所以不是同一个函数.故选

：A14．下列说法，其中一定正确的是（）A．222(,)ababab+RB．2()(,)2ababab+RC．2(0)ababab+D．2212()2xxx+++R的最小值为2【答案】B【解析】对于A：因为,Rab，所以222abab+，当且仅当ab

=时取等号，故A错误；对于B：因为222abab+，所以2224ababab++，所以2224ababab++，即22abab+，当且仅当ab=时取等号，故B正确；对于C：当1ab==−

时，满足0ab，但是22abab+=−，故C错误；对于D：令222tx=+，因为1ytt=+在)2,+上单调递增，所以1132222ytt=++=，当且仅当2t=，即0x=时取等号，即2

2122xx+++的最小值为322，故D错误；故选：B15．已知：奇函数()yfx=，xR在()0,+严格递减，则下列结论正确的是（）A．()yfx=在(),−+严格递减B．()yfx=在(

,0−上严格递减C．()yfx=在(),10aaa+上严格递减D．()yfx=在2,1aa−上严格递减【答案】D【解析】根据题意可知：奇函数()yfx=在(),0−和()0,+上分别严格递减，但由于不确定()0f的值，故()yfx

=在(),−+上和(,0−上的单调性也不确定，A和B错；对于选项C：当0a=时，()yfx=在0,1上的单调性仍然不确定，C错；对于选项D：易得21aa−，故1a−，∴()2,1,0aa−−，故

()yfx=在2,1aa−上严格递减，D正确.故选：D.16．已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aS，则当且仅当amn=+（其中正整数m、nS且mn）或apq=+（其中正整数p、qS且pq）．现有如下两个命题：①5S；②集合*3,xx

nnS=N．则下列判断正确的是（）A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错【答案】A【解析】因为若aS，则当且仅当(amn=+其中,mnS且)mn，或(apq=+其中*,,,ZpqSpq

且)pq，且集合S是由某些正整数组成的集合，所以1S，2S，因为312=+，满足(apq=+其中*,,,ZpqSpq且)pq，所以3S，因为413=+，且1S，3S，所以4S，因为514=+，1S，4S，所以5S，故①对；下面讨论元素

()31nn与集合S的关系，当1n=时，3S；当2n=时，624=+，2S，4S，所以6S；当3n=时，936=+，3S，6S，所以9S；当4n=时，1239=+，3S，9S，所以12S；依次类推，当3n时，()3

331nn=+−，3S，()31nS−，所以3nS，则*3,xxnnS=N，故②对.故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知集合33Axaxa=−+，0Bxx=或�

�≥4}．(1)当1a=时，求AB；(2)若0a，且“xA”是“xBRð”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】（1）解：当1a=时，24Axx=，{|0Bxx=或4}x，∴4AB=．（6分）（2）解：∵{|0Bxx=或4}x

，∴04Bxx=Rð，∵“xA”是“xBRð”的充分不必要条件，∴A是BRð的真子集，（8分）∵0a，∴A，∴30340aaa−+，∴01a，故实数a的取值范围为()0,1．（14分）18．已知函数()yfx=，其

中()afxxx=+.(1)判断函数()yfx=的奇偶性，并说明理由；(2)若函数在区间)1,+上是严格增函数，求实数a的取值范围.【解析】（1）当0a=时，函数()fxx=的定义域为R，对Rx，()()fxxfx−=−=−，

所以函数()yfx=为奇函数；（2分）当0a时，()afxxx=+的定义域为0xx，对0xxx，()()aafxxxfxxx−=−+=−+=−−，此时()()fxfx−=−，此时，函数()yfx=是奇函数；（6分）（2）设211xx，则()()()12121

21212aaaafxfxxxxxxxxx−=+−+=−+−，()()()211212121212axxxxxxaxxxxxx−−−=−+=，因为211xx，所以121xx，120xx−，（10分）若()yfx=为)1,+上

的增函数，则()()120fxfx−成立，则120xxa−成立，所以12axx成立，解得1a，所以实数a的取值范围是1a.（14分）19．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上的一点，,(02)EBaa=．F为线段ED

上的一点，FGBC⊥，垂足为G，FHCD⊥，垂足为H．（1）设FGx=，试将矩形FGCH的面积S表示成关于x的函数；（2）求矩形FGCH的面积S的最大值．【解析】（1）作EMCD⊥交CD于点M，交FG于点N因为,EB

aFGx==，所以2DMa=−，2DHx=−因为FHDHEMDM=，即222FHxa−=−，所以422xFHa−=−（2分）所以222(1),224222SFGFHxxxaxaaa−=−==−−+−−（6分）（2）当01a时，222(1)22Sxaa=−−+−−在(

),1a上单调递增在()1,2上单调递减，所以当1x=时max22Sa=−（9分）当12a时，222(1)22Sxaa=−−+−−在(),2a上单调递减当xa=时max2Sa=（13分）综上：当01

a时max2,(1)2Sxa==−．当12a时max2,()Saxa==（14分）20．已知关于x的不等式()()()2245110Rkkxkxk−−+++的解集为M．(1)若1k=，求x的取值范围；(2)若RM=，求实数k的取值范围；(3)是否存在实数k，

满足：“对于任意正整数n，都有nM；对于任意负整数m，都有mM”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【解析】（1）当1k=时，不等式为22810xx−++，即()()41210xx+−，解得1142x−，即x的

取值范围为1142xx−.（4分）（2）当2450kk−−=时，解得5k=，或1k=−，①当1k=−时，不等式化为10，1k=−时，解集为R；（5分）②当5k=时，不等式化为610x+，对任意实数x不等式不成立；（7分）③当()()22245014450kkkkk

−−=+−−−时，可得()()()(),15,,17,kk−−+−−+，则k的取值范围为()(),17,k−−+；（10分）综上所述，实数k的取值范围为((),17,−−+.（3）根据题意，得出解集(,)Mt=+，)1,1t−，

当2450kk−−=时，解得5k=，或1k=−，5k=时，不等式的解集为1,6−+，满足条件，1k=−时，10恒成立，不满足条件，当2450kk−−时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)t+的

形式，不满足条件，当2450kk−−时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)t+的形式，不满足条件，综上，存在满足条件k的值为5．（18分）21．已知函数()yfx=与()ygx=的定义域均为

D，若对任意的()1212xxDxx､都有()()()()1212gxgxfxfx−−成立，则称函数()ygx=是函数()yfx=在D上的“L函数”.(1)若()()31,,fxxgxxD=+==R

，判断函数()ygx=是否是函数()yfx=在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若()())222,,0,fxxgxxaD=+=+=+，函数()ygx=是函数()yfx=在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3

)若(),0,2fxxD==，函数()ygx=是函数()yfx=在D上的“L函数”，且()()02gg=，求证：对任意的()1212xxDxx､都有()()121gxgx−.【解析】（1）对任意的12xxR､，且12xx，

()()()()12121212,3gxgxxxfxfxxx−=−−=−.显然有()()()()1212gxgxfxfx−−，所以函数𝑦=𝑔(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)在D上的“L函数”；（4分）（2）因为函数𝑦=𝑔(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)在D上的“L函数”，所以()()

()()1212||gxgxfxfx−−∣对任意的)()12120,xxxx+､恒成立，即22221212xaxaxx+−+−对任意的)()12120,xxxx+､恒成立，化简得221222122212xxxxxaxa−−+++对任意的)()1

2120,xxxx+､恒成立，即22121xaxa+++对任意的)()12120,xxxx+､恒成立，即21a，解得14a；（10分）（3）对于120,2xx､，不妨设12xx，（i）当1201xx−时，因为函数�

�=𝑔(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)在[0,2]上的“L函数”，所以()()1212|1gxgxxx−−∣.此时()()121gxgx−成立；（ii）当121xx−时，由120,2xx､得1212xx−，因为()()02gg=，函数𝑦=�

�(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)在[0,2]上的“L函数，所以()()()()()()121220gxgxgxgggx−=−+−()()()()1220gxgggx−+−()()12121220221xxxxxx−+−=−

+=−−，此时()()121gxgx−也成立，综上，()()121gxgx−恒成立.（18分）