【文档说明】湖南省长沙市师大附中2024-2025学年高一上学期第一次大练习数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，1.105 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期第一次大练习数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合22Mxx=−，集合{

1,0,1,2}N=−，则MN=（）A.{1,0,1}−B.{0,1,2}C.12xx−D.12xx−【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为22Mxx=−，{1,0,1,2}N=−，所以{

1,0,1}MN=−，故A正确.故选：A2.已知命题:pxR，11x+，命题:0qx，3xx=，则（）A.p是真命题，q是假命题B.p是假命题，q是真命题C.p和q都是真命题D.p和q都是假命题【答案】B【解析】【分析】举出反例得到p

为假命题，举出实例得到q为真命题.【详解】对于命题p：当0x=时，11x+=，故p为假命题；对于命题q：当1x=时，31xx==，故q为真命题.故选：B.3.使29x成立的一个充分不必要条件的是（）A.3xB.03xC.33x−

≤≤D.0x【答案】B【解析】【分析】首先解不等式29x得到33x−，根据题意找到33xx−的一个真子集即可.【详解】由29x得33x−，对于A，因为33xx−是3xx的真子集，所以3x是33x−的必要不充分条件，故A错误；

对于B，因为03xx是33xx−的真子集，所以03x是33x−的充分不必要条件，故B正确；对于C，因为33xx−是33xx−的真子集，所以33x−≤≤是33x−的必要

不充分条件，故C错误；对于D，因为33xx−与0xx不是包含关系，所以0x是33x−的既不充分也不必要条件，故D错误.故选：B.4.下列命题为真命题的是（）A.若ab，则22abB.若ab，则22acbc

C.若ab，则11abD.若0ab，则11bbaa++【答案】D【解析】【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.【详解】若ab，取0a=，1b=−，则22ab，故A错误；若ab，当0c=时，则22acbc=，故

B错误；若ab，取1a=，1b=−，则11ab，故C错误；若0ab，则()()()()1110111baabbbabaaaaaa+−++−−==+++，故D正确.故选：D.5.设集合M，N，P均为R的

非空真子集，且MN=R，MNP=，则()MP=Rð（）A.MB.NC.RMðD.RNð【答案】D【解析】【分析】利用文氏图，表示集合的关系，求解()MPRð.【详解】如图，中间的阴影和左边的空白是集合M，中间的

阴影和右边的空白表示集合N，如图，RPð表示两边空白区域，则()RMPð表示集合M的空白区域，即表示为RNð故选：D6.已知集合A满足{1,2}A{1,2,3,4,5}，且3A，则满足条件的集合A有（）A.2个B.4个C.8个D.16个【答案】B【解析】【分析】根据子集和真子集的概念求解即

可.【详解】由题意可知，集合A中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，且A是1,2,3,4,5的真子集，所以1,2A=或1,2,4或1,2,5或1,2,4,5，即满足条件的集合A有4个.故选：B.7.已知正实数,ab满足3abab+=，则4ab+的最小值为（）A.9B.8C

.3D.83【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113ab+=，11114144(4)5523333abababababbaba+=++=+++=

，当且仅当21ab==时取等号.故选：C8.已知集合1,12Sxxmm==+Z，1,312nPxxn==+Z，1,34kQxxk==−Z，则S，P，Q之间的关系是（）A.SPQB.SPQ=

C.SPQ=D.PQS【答案】B【解析】【分析】先将集合结构化为一致，然后根据集合关系即可判断.【详解】1121431,Z,,121212mnSxxmmxxmxxn++==+====

ZZ，141,,31212nnPxxnxxn+==+==ZZ，14341,,,341212kknQxxkxxkxxn−+==−====ZZZ，SPQ=故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，

共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知不等式20axbxc++的解集为13xxx−或，则下列结论正确的是（）A.0aB.0abc++C.420abc−+D.20cxb

xa−+的解集为113xxx−或【答案】BC【解析】分析】根据题意，由条件可得0a，2ba=−，3ca=−，即可判断ABC，将不等式化简可得23210xx−−，求解即可判断D..【【详解】由不等式20axbxc

++的解集为13xxx−或，得0,13,13,abaca−+=−−=所以2ba=−，3ca=−，故A错误；40abca++=−，故B正确；4250abca−+=，故C正确；因为20cxbxa−+，所以232

0axaxa−++，则23210xx−−，解得113−x，故解集为113xx−，故D错误.故选：BC.10.已知0a，0b，且22ab+=，则下列说法正确的是（）A.12abB.1122ab+C.22ab+的最

小值为25D.22ab+【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式222abab+得到()222abab++，代入即可判断D

.【详解】对于A，22212abab+=，即12ab，当且仅当2ab=，即1a=，12b=时等号成立，故A错误；对于B，因为()111111222222222baabababab+=++=++，当且仅当2ab

=，即1a=，12b=时等号成立，故B正确；对于C，因为22ab+=，所以22ab=−，因为0a，0b，所以2200bb−，则01b，所以()2222224422584555abbbbbb=−+=−+=−++，当45b=时，22ab+取最小值45，故C错误；对

于D，由222abab+得()()2222abab++，即()222abab++，所以()()()22222222ababab++=+=，当且仅当2ab=，即1a=，12b=时等号成立，故D正确.

故选：BD.11.对任意A，BR，记,ABxxABxAB=，并称AB为集合A，B的对称差.例如：若1,2,3A=，2,3,4B=，则1,4AB=△.下列命题为真命题的是（）A.若{0}Axx=，{2}Bxx=，则A

B=△{2xx或0x}B.若AR，且1,2,3AA△，则1,2,3AC.若A，BR，则()ABAB=RR△△痧D.若A，B，CR，则()()ABCABC=△△△△【答案】ACD【解析】【分析】A选项，求出,ABAB，根据定义得到A正确；B选项，

举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明.【详解】A选项，AB=R，{02}ABxx=∣，故AB=△{2xx或0x}，A正确；B选项，1,2,3AA，不妨设1,2,3,4A=，则1,2,31,2

,3,4,1,2,31,2,3AA==，故1,2,34AA=，但不满足1,2,3A，B错误；C选项，当AB且A与B不是包含关系时，如图1，①为集合xxA且xAB，②为集合xxB

且xAB，③为集合xxAB，④为集合()RxxABð，BRð表示集合①④的并集，ABRð表示集合①③④的并集，ABRð为集合①，故ABRð为集合③④的并集，AB为集合①②的并集，故()

ABRð为集合③④的并集，故()ABAB=RR痧；当AB=时，如图2，①为集合()RxxABð，BRð表示集合①和集合A的并集，ABRð表示集合①和集合A的并集，ABRð为集合A，故ABRð为集合①，AB为集合,AB的并集，故()ABRð为集合①，故()

ABAB=RR痧；如图3，当AB时，BRð表示集合①，ABRð集合，故ABRð为集合①和集合A的并集，AB为集合,AB的并集去掉,AB的交集，即集合②部分，故()ABRð为集合①和集合A的并集，故()ABAB=RR痧；如图4，当BA时，②为xxA且xAB，①为

()RxxABð，BRð表示集合①和②的并集，RAB=Rð，ABRð表示集合②，故ABRð为集合①和集合B的并集，为AB为集合,AB的并集去掉,AB的交集，即集合②部分，故()ABRð为集合①和集合B的并集，

故()ABAB=RR痧.综上，C正确；D选项，画韦恩图，如下：情况较多，我们就第一个图进行说明，①为xxA且xAB且xAC，②为xxB且xAB且xBC，③为xxAB且xABC，④为()RxxABC

ð，⑤为xxAC且xABC，⑥为xxABC，⑦为xxBC且xABC，⑧为xxC且xAC且xBC，AB表示集合①⑤②⑦的并集，故()ABC表示集合①②⑥⑧的并集，BC表示集合②③⑤⑧的并集，()ABC表示集

合①②⑥⑧的并集，故()()ABCABC=，当,,ABC满足其他关系时，经检验，也满足()()ABCABC=，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维

量.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知集合24,2,4,AmBm=−=，且AB=，则m的值为_________.【答案】0【解析】【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的

互异性，即可得答案.【详解】因为AB=，所以22mm=−，解得0m=或2−，当2m=−时，224mm=−=，而集合的元素具有互异性，故2m−，所以0m=，故答案为：013.若命题：“xR，不等式()2120

4xax+−+成立”为假命题，则实数a的取值范围是______.【答案】{1aa或3a}【解析】【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可.【详解】由题意得：xR，不等式()21204xax+−+成立为真命题，所以0，即

()212404a−−，解得1a或3a.所以实数a的取值范围是{1aa或3a}.故答案为：{1aa或3a}.14.设集合{02}Axx=∣，22Bxxax=−，若ABB=，则实数a的取值范围是______.【答案】022aa∣【解析】【分析】由ABB

=可知AB，因此当02x时，不等式22xax−恒成立，分类讨论并数形结合求解即可.详解】由ABB=知AB，即当02x时，不等式22xax−恒成立，设2yxax=−，①当0a时，2yx

ax=−的大致图象如图1所示，因为02x，所以()2max222ya=−，得0a，矛盾；【②当0a=时，()2202yxx=恒成立，符合要求；③当0a时，2yxax=−的大致图象如图2所示，当22a，即22a时，因为

02x，所以()2max22222yaa=−=−，得22a，矛盾；当22aa，即222a时，因为02x，所以222max22244aaaaya=−=−=，得222a；当2a时，由图有()222,22222,aaaa−

−则02a.综上，a的取值范围是022aa∣.故答案为：022aa∣四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知集合121Pxaxa=++，25Qxx=

−∣，其中实数0a.（1）若3a=，求集合()QPRð；（2）若PQ=，求实数a的取值范围.【答案】（1）(){24}PQxx=−R∣ð（2）{4}aa∣.【解析】【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解

.【小问1详解】当3a=时，集合47Pxx=∣，P=Rð{4xx或7x}，又集合25Qxx=−∣，所以(){24}PQxx=−R∣ð.【小问2详解】因为0a，所以121aa++，则集合P非空，因为PQ=，所以15a+或212a+−，解得4a或32a−，又

0a，所以4a，故实数a的取值范围是{4}aa∣.16.已知集合1,2A=和非空集合220Bxxaxa=−+=，230Cxxmx=−+.（1）若命题:P“xB，都有xA”为真命题，求实数a

的取值；（2）若“xC”是“xA”的必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）1（2）72mm.【解析】【分析】（1）由题意得到BA，分1B=或2或1,2三种情况，得到方程，求出1a=；（2）由题意得到AC，从

而得到不等式，求出m的取值范围.【小问1详解】由命题:P“xB，都有xA，”为真命题知BA，因为集合B非空，所以1B=或2或1,2.当1B=时，()2120,240,aaaa−+=−−=，解得1a=；当2B=时，()2440,240,aaaa

−+=−−=，无解；当1,2B=时，()2120,440,240,aaaaaa−+=−+=−−，无解.综上，实数a的取值是1.【小问2详解】因为“xC”是“xA”的必要条件，所以AC，所以130,4230,mm−+−+

，解得72m.故实数m的取值范围是72mm.17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条

小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.设点A到道路2的距离为a米，点B到道路1的距离为b米.（1）当8a=，求b的值；（2）求AOBV面积的最大值，并求此时a，b的值.【答案】（1）103b=（2）

最大值为3002002−平方米，20102ab==−米.【解析】【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式()20020abab+=+，将8a=代入即可求出b的值；（2）

利用（1）中得到的关系式()20020abab+=+结合基本不等式求出ab的范围即可求出面积的最大值以及此时a，b的值.【小问1详解】设圆C与道路1、道路2、直线AB的切点分为D，E，F，连接CD，CE，CF，由切线长定理可知BEBF=，AFAD=

，则BEADAB+=，由题知ODOE⊥且10ODOE==，OAa=，OBb=，即()()221010abab−+−=+，化简得()20020abab+=+.①把8a=代入①，解得103b=；【小问2详

解】由题有010a，010b，因为2abab+，所以()2002040ababab+=+，令()010tabt=，则220040tt+，解得020102t−，所以06004002ab−，当且仅当ab=时等号成立

，即220040aa+=，解得20102ab==−，此时010a，010b，则130020022AOBSab=−△，所以AOBV的面积的最大值为3002002−平方米，此时20102ab==−米.18.已知函数()211ya

xax=−++，aR.（1）若2a=，当1x时，求2101yxzx−+=−的最小值；（2）求关于x的不等式()()21100axaxa−++的解集；（3）当0a时，已知21Axx=−−∣，{0}

Bxya=+，若AB，求a的取值范围.【答案】（1）7（2）答案见解析（3）307aa−.【解析】【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到()()11yaxx=−−，分11a，11a和11a=三

种情况，得到不等式的解集；（3）0ya+化为()2110axaxa−+++，根据AB，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2a=时，()()2221182102511111xxyxxxzxxx−−−+−+−+===−−−()

()882112211711xxxx=−+−−−=−−，当且仅当()8211xx−=−，即3x=时取等号，故当1x时，2111yxzx−+=−的最小值为7.【小问2详解】由题知()()()21111yaxaxaxx=−++=−−，当11a，即01a时，解原不等式得1xa或1x，

当11a，即1a时，解原不等式得1xa或1x，当11a=，即1a=时，解原不等式得1x.综上，当1a时，原不等式解集为1{|<xxa或>1}x；当01a时，原不等式解集为{|1xx或1}xa；当1a=时，

原不等式解集为1xx∣.小问3详解】不等式0ya+可化为()2110axaxa−+++，因为AB，所以不等式()2110axaxa−+++在21x−−时恒成立，又0a，结合二次函数图象

知，()()421101100aaaaaaa++++++++，解得307a−.故a的取值范围是307aa−.19.已知二次函数21yaxbx=++，对xR，都有0y，且当2x=−时，0y=.（1）求a，b的值；（2）存在tR

，对任意xxtxmt+，都有1yxt−+，求正实数m的最大值；（3）若()211,2iiiyaxbxi=++=，是否存在正整数12xx，使得1212yyy−为正整数？【答案】（1）1,41.ab==（2）8（3）不存在，证明过程见解析【解

析】【分析】（1）根据根的判别式和2x=−时，0y=，得到方程组，求出a，b的值；（2）结合二次函数的开口方向，只需10yxt−+−在xt=，xmt=+处都成立即可，从而得到不等式，求出40t−，22ttmtt−−

−−+−，求出2tt−+−最大值为8，从而得到答案；（3）反证法，假设1212ykyy=−为正整数，得到()2kk+也为完全平方数，但()()2221kkkk++，即()2kk+介于两个相邻的

完全平方数之间，得到矛盾，假设不成立，故不存在正整数12xx，使得1212yyy−为正整数？【小问1详解】【由题知4210ab−+=且240ba=−=，解得1,41.ab==【小问2详解】由（1）知2114=++yxx，10yxt−+−在txmt+上恒成立，当t确定时

，2114tyxtx−+−+=表示开口向上的二次函数，当txmt+时，该函数的最大值必在端点处取到，则只需10yxt−+−在xt=，xmt=+处都成立即可.当xt=时，有2140tt+，解得40t−；当xmt=+时，有()2014mtt++，解得22

ttmtt−−−−+−；其中()2211ttt−+−=−+−在40t−上单调递减，故当4t=−时，2tt−+−取得最大值，最大值为8，所以28mtt−+−，所以当8m=，4t=−时满足上述不等式，则m的最大值为8.【小问3详解】不存在，证明过程如下：假设存在，设1212ykyy=

−为正整数，因为()22111244yxxx=++=+，所以()()()2122212222xkxx+=+−+为正整数，则()()()2212222kxkx++=+，即()()()22212222kkx

kx++=+.而()212x+，()2222kx+均为完全平方数，()2kk+为正整数，所以()2kk+也为完全平方数，又()()2221kkkk++，即()2kk+介于两个相邻的完全平方数之间，不为完全平方数，矛盾，所

以当()211,2iiiyaxbxi=++=时，不存在正整数12xx，使得1212yyy−为正整数.