【文档说明】吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.451 MB，由小赞的店铺上传

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数学一、单选题1.点()2,3A−关于直线1yx=−+的对称点为（）A.()3,2−B.()4,1−C.()5,0D.()3,1【答案】B【解析】试题分析：设点()2,3A−关于直线1yx=−+的对称点为(),Pab，则(3)1,2APbka−−==−6,a

b−=①，又线段AP的中点23,22ab+−在直线1yx=−+上，即321,22ba−+=−+整理得：3,ab+=②，联立①②解得4,1ab==−．∴点()2,3A−关于直线1yx=−+的对称点P点的坐标为()4,1−，故选B．考点：1、点关于直线对称；2、中点坐标公

式．【方法点晴】设出点A关于直线1yx=−+的对称点P的坐标，求出AP的中点坐标，代入直线方程，再利用AP与直线垂直，它们的斜率之积为1−，建立方程组进行求解．本题主要考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个

条件，待定系数法求对称点的坐标，考查方程思想与转化运算能力，属于中档题．2.已知关于x的不等式20xaxb−−的解集是(2,3)，则+ab的值是（）A.11−B.11C.1−D.1【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集求出a，b的值

，作和即可．【详解】解：若关于x的不等式20xaxb−−的解集是(2,3)，则2，3是方程20xaxb−−=的根，故5a=，6b=−故1ab+=−，故选C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和一元二次

方程的关系，是一道基础题．3.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有()()1mα，nα，m//β，n//βα//β()2n//m，nαmα⊥⊥()3α//β

，mα，nβm//n()4mα⊥，mnn//α⊥A.0个B.1个C.2个D.3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线

垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．详解：由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α

，故（2）正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；故选B．点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定

理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.4.已知变量x，y满足约束条xy1xy12xy4−+−，则z3xy=+的最大值为()A.2B.6C.8D.11【答案】D【解析】分析

：先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z=3x+y的最大值即可．详解：作出变量x，y满足约束条件1124xyxyxy−+−的可行域如图，由z=3x+y知，y=﹣

3x+z，所以动直线y=﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由124xyxy−=−=得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z=3×3+2=11．故选D．点睛：利用线性规划

求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（axby+型）、斜率型（ybxa++型）和距离型（()()22xayb+++型）．(3)确定最优解

：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.5.正项等比数列na中，3a2=，46aa64=，则5612aaaa++的值是()A.4B.8C.1

6D.64【答案】C【解析】分析：设正项等比数列{an}的公比为q，由a3=2，a4•a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．详解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4•a6=64，∴228112,64,aqaq=

=解得q2=4，则5612aaaa+=+=42=16．故选C．点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有

就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.6.已知直线1:210lxay+−=，与()2:2110laxay−−−=平行，则a的值是（）A.0或1B.1或14C.0

或14D.14【答案】C【解析】试题分析：由题意得：1()(21)20,0aaaa−−−==或14a=，故选C.考点：直线平行的充要条件．7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且222bcabc+=

+若2sinsinsinBCA=，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

b2+c2＝a2+bc．则：2221222bcabccosAbcbc+−===，由于：0＜A＜π，故：A3=．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．【点睛

】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.在坐标平面内，与点()1,2A距离为1，且与点()3,1B距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx

＋b，即kx－y＋b＝0，所以12|2|11kbdk−+==+，22|31|21kbdk−+==+，解之得k＝0或43k=−，所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.9.点A(3，－2,4)关于点

(0,1，－3)的对称点的坐标是()A.(－3,4，－10)B.(－3,2，－4)C.311(,,)222−D.(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,32

4)(3,4,10)−+−−=−−，选A.10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A.[2,3]B.[2,5]C.[2,6]D.[2,7]【答案】C【解析】【分析】

过F作1//FGDD，交AD于点G，交11AD于H，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EFAEAF=+；由,//EFFG平面11BDDB可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G为AD中点，从而得到AF最小值为

,FG重合，最大值为,FH重合，计算可得结果.【详解】过F作1//FGDD，交AD于点G，交11AD于H，则FG⊥底面ABCD2222222221EFEGFGAEAGFGAEAFAF=+=++=+=+//EF平面11BDDB，//FG平面11BDDB，EFFGF=平面//EFG平面11B

DDB，又GEÌ平面EFG//GE平面11BDDB又平面ABCD平面11BDDBBD=，GEÌ平面ABCD//GEBDE为AB中点G为AD中点，则H为11AD中点即F在线段GH上min1AFAG==，max145AF

AH==+=min112EF=+=，max156EF=+=则线段EF长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行

的判定与性质等定理的应用.11.下列命题中，不正确的是（）A.在ABC中，若AB，则sinsinABB.在锐角ABC中，不等式sincosAB恒成立C.在ABC中，若2,60bacB==，则ABC必是等

边三角形D.在ABC中，若coscosaAbB=，则ABC必是等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据正余弦定理以及有关知识，对各选项逐个判断即可求解．【详解】对A，因为AB，所以ab，又sinsinabAB=，所以sin1sinAaBb=，即sinsinAB，所以

A正确；对B，因为ABC为锐角三角形，所以2AB+，即有022AB−，所以sinsincos2ABB−=，B正确；对C，因为2221cos22acbBac+−==，所以()20ac−=，即ac=，而60B=，所以ABC是等边三角形，C正确

；对D，由coscosaAbB=可得，sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，所以22AB=或22AB+=，亦即AB=或2AB+=，所以ABC是等腰三角形或者直角三角形，D不正确．

故选：D【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．12.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A.34B.32C.17

D.172【答案】A【解析】【分析】由三视图可知被截去的三棱锥是长方体的一个角，三棱锥的外接球即所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，从而可求得外接球的表面积．【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高

为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：222113343422++=，外接球的表面积为：21434

342=故选A．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥外接球表面积的求法，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用22224Rabc=++（a,b,c为三棱的长）；②若SA⊥面ABC（SA=a），则22244Rra=+（r为A

BC外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.二、填空题13.已知0x，0y，且211xy+=，若222xymm++恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】()4,2−【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得2xy+最

小值后可得结论．【详解】因为()2142244228yxxyxyxyxy+=++=+++=，要使222xymm++恒成立，所以228mm+，解得42m−.故答案为：(4,2)−．【点睛

】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．14.已知数列na满足()*111,31nnaaan+==+N，则数列na的前n项和nS=______.【答案】()()1*13234nnn

N+−−【解析】【分析】由131nnaa+=+得131122nnaa+++=，得出数列12na+是以3为公比的等比数列，其中首项11131222a+=+=，根据等比数列的通项公式求

得12na+，从而可得na，再运用分组求和可得nS.【详解】由131nnaa+=+得131122nnaa+++=，所以数列12na+是以3为公比的等比数列，其中首项11131222a+=+=

，所以113133222nnna−+==，所以11322nna=−，所以()()121123111333323224nnnnSaaaann+++++=+++−==−−，故答案为：()()1*13234nnnN+−−.【点睛】本题考查根据数列的递推式构造新数列，使所构

造的新数列是等差数列或等比数列，从而得原数列的通项公式的问题，属于中档题.15.已知直线:1lxy−=与圆22:2210Mxyxy+−+−=相交于,AC两点，点,BD分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为_______________

.【答案】30【解析】【分析】先由圆的方程得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式求出圆心(1,1)M−到直线:1lxy−=的距离，结合圆的性质，即可求出结果.【详解】因为222210xyxy+−+−=可变形为22(1)(1)3xy−++=，所以其圆心为(1,1)M−，半径为3r=；

所以圆心(1,1)M−到直线:1lxy−=的距离为|111|122+−=.由题知，当BD为过圆心M且垂直于AC的直径时，四边形ABCD的面积取最大值，为111||||232330222ACBD=−=.故答案为30.【点睛】本题主要考查直线与圆的应用，熟记点到直线距

离公式，以及圆的性质即可，属于常考题型.16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，

测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则A，B两点的距离为________．【答案】805【解析】【分析】△ACD中求出AC，△ABD中求出BC，△ABC中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠AD

C＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得()80sin150404062sin15624AC===+−，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，CDBCsinCBDsinBDC=，所以BC()80sin1516015406

212CDsinBDCsinsinCBD====−；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝()()()()0811600843160216006224362−++++−16001616004160020=+=解得：AB80

5=，则两目标A，B间的距离为805．故答案为805．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．三、解答题17.在数列na中，14a=，21(1)22nnnanann+−+=+．（1）求证：数列nan

是等差数列；（2）求数列1na的前n项和nS．【答案】(1)证明见解析.(2)nS=2(1)nn+.【解析】【分析】（1）根据数列nan通项公式的特征，我们对21(1)22nnnanann+

−+=+，两边同时除以(1)nn+，得到121nnaann+−=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列nan是等差数列；（2）求出数列1na的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1na的前n项和nS．【详解】（1

）21(1)22nnnanann+−+=+的两边同除以(1)nn+，得121nnaann+−=+，又141a=，所以数列nan是首项为4，公差为2的等差数列．(2)由（1）得12(1)naann=+−，即222,22nnanannn=+=+,故2111112221nann

nn==−++，所以111111111122231212(1)nnsnnnn=−+−++−=−=+++【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n和．已知1nnnabc=，,nnbc都是等差数列，那么数列

na的前n和就可以用裂项相消法来求解．18.在ABC中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，且满足222sin3cos,2cBbCacb=−=．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若ABC的面积为213，求b的值．【答案】（1）3C=;

（2）27b=.【解析】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=3sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=3，即可得解C的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求a2+b2﹣c2=ab，又a2﹣c2=

2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值．详解：(1)由已知及正弦定理可得，sinCsinB3sinBcosC=，sinB0，tanC3=，πC.3=(2)由(1)可得，222abc1cosC

2ab2+−==，222abcab+−=，又222ac2b−=，a3b=，由题意可知，2ABC133SabsinCb21324===，2b28=，可得：b27.=点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余

弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用

正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19.已知()2fxaxxa=+−，aR．()1若a1=，解不等式()fx1；()2若不等式()2fx2x3x12a−−+−对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；()3若a0，解不等式()fx1．【答案】（1）解

集为{x|x2−，或x1}；（2）a的范围为()2,+；（3）见解析.【解析】分析:（1）当a=1，不等式即（x+2）（x﹣1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集;（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a=﹣2时，显然不满足条件，故有()()a20164a2a10+

=−+−，由此求得a的范围;（3）若a＜0，不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即()a1x1x0,a+−+再根据1和﹣a1a+的大小关系，求得此不等式的解集．详解：()1当a1=，不等式()fx1即2xx11+−，即()()x

2x10+−，解得x2−，或x1，故不等式的解集为{x|x2−，或x1}．()2由题意可得()2a2x4xa10+++−恒成立，当a2=−时，显然不满足条件，()()a20164a2a10+=−+−．解得a2，故a的范围为()2,+．()3

若a0，不等式为2axxa10+−−，即()a1x1x0a+−+．a12a11aa++−−=，当1a02−时，a11a+−，不等式的解集为a1{x|1x}a+−；当1a2=−时，a11a+=−，不等式即2(x1)0−，它的

解集为；当1a2−时，a11a+−，不等式的解集为a1{x|x1}a+−．点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．对于含参的二次不等式问题

，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC

，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）5

【解析】【分析】（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E

1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，

结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．【详解】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E为BC的中点得到

AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=2，A

1C=22，E1C1=EC=12BC=2∴E1C=22111ECCC+=6∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C=2862222+−=12所以异面直线AE与A1C所成的角为3．（3）连接AG，设

P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=15，得tan∠PQE=PEP

Q=5所以二面角C-AG-E的平面角正切值是5【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角

的定义，是解答本题的关键．21.已知与曲线22:2210Cxyxy+−−+=相切的直线I，与x轴，y轴交于,AB两点，O为原点，OAa=，OBb=，（2,2ab）.（1）求证:I与C相切的条件是：()()222ab−−=.（2

）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB面积的最小值.【答案】（1）见解析；（2）()()111(1,1)2xyxy−−=；（3）322+．【解析】试题分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直

线的距离等于半径得到曲线C与直线l相切的充要条件；（2）设出线段AB的中点坐标，由中点坐标公式得到a，b与AB中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB中点的轨迹方程．（3）因为a与b都大于2，且三角形AOB为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab的最小值，根据（1）中直线

l与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小时当且经当a与b相等，求出此时的a与b即可求出面积的最小值．试题解析：(1)圆的圆心为()1,1，半径为1.可以看作是RTAOB的内切圆．内切

圆的半径2OAOBAB+−=，即222abab+−+=，()2222abab+=+−即2220abab−−+=，()()222ab−−=．(2)线段AB中点(),xy为,22ab∴()()1112xy−−

=（1,1xy）(3)2220abab−−+=，()224abab+=+ab，解得22ab+，12AOBSab=，3222ab+，AOB最小面积322+．点睛：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆位置关系的判断，点到直线的距

离公式的用法，解题的关键是对等式进行灵活变换，利用基本不等式求函数的最值.22.已知数列{an}满足a1＝1，1114nnaa+=−，其中n∈N*．（1）设221nnba=−，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．（2）设41nnacn=+，数列{cncn+2}

的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得11nmmTcc+对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．【答案】（1）12nnan+=；（2）3【解析】试题分析：(1)结合递推关系可证得bn+1-bn=2，且b1＝2，即数列{bn}是首项为2，公差为2

的等差数列，据此可得数列na的通项公式为12nnan+=．(2)结合通项公式裂项有21122nnccnn，+=−+求和有111213212nTnn=+−−++．据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3．试题解析：（1）证明：

bn+1-bn1222121nnaa+=−−−222112114nnaa=−−−−4222121nnnaaa=−=−−．又由a1＝1，得b1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，所以bn＝2+(n-1)×2＝2n，由221nnba=−，得12nnan+=．

（2）解：2ncn=，()2411222nnccnnnn+==−++所以111213212nTnn=+−−++．依题意，要使11nmmTcc+对于n∈N*恒成立，只需()134mm+，解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．