【文档说明】福建省莆田市2023届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.285 MB，由小赞的店铺上传

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莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集2Uxx=N，2,3A=，则UA=ð（）A.{0,1}B.{0,4

}C.{1,4}D.{0,1,4}【答案】D【解析】【分析】根据已知得出全集U，即可根据集合的补集运算得出答案.【详解】2x解得04x，则全集20,1,2,3,4Uxx==N，则0,1,4UA=ð，故选：D.2.设i为虚数单位，i(1)1z−=，则||z=（）A1B.

2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算求得z，再利用复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为i(1)1z−=，所以21i1iiiz−−===−，则1iz=+，所以||112z=+=.故选：B.3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用

外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（）.的A.0.23B.0.47C.

0.53D.0.77【答案】D【解析】【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件123,,AAA分别表示选到医用普通口罩、医

用外科口罩、医用防护口罩，则123AAA=，且123,,AAA两两互斥，所以()()()1230.7,0.2,0.1PAPAPA===，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B为“选到绑带式口罩”，则()()()123|0.9,|0.5,|0.4PBA

PBAPBA===所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为()0.70.90.20.50.10.40.77PB=++=.故选：D.4.已知F为抛物线2:4Cyx=的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则||AF=（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】

【分析】根据AF中点的横坐标求出A点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：()1,0F，准线方程为=1x−，设(),Amn，则AF中点的横坐标为12+m，故122m+=，解得：3m=，由抛物线的焦半径可知：||314AF=+=.故选：B5.若23,26,212abc===

，则（）A.,,abc是等差数列B.,,abc是等比数列C.111,,abc是等差数列D.111,,abc是等比数列【答案】A【解析】【分析】根据已知指数式，求出,,abc，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的定义逐项判断即可得结论.【详解】因为2

3,26,212abc===，所以222222222log3,log6log2log31log3,log12log4log32log3abc===+=+==+=+，则1bacb−=−=，故,,abc是等差数列，故A正

确；因为()2222222211log31log32log3111,1log3log31log31log31log3bcab++++==+===++++，所以bcab，故,,abc不是等比数列，故B不正确；因为()()()222222221111111111,1log3log3

log31log32log31log31log32log3bacb−=−=−−=−=−++++++，所以1111bacb−−，故111,,abc不是等差数列，故C不正确；因为()2222222222112log31log31log3

11log3111,1111log31log31log32log32log32log3abbcbcab+−+−+====−====−++++++，所以1111bcab，故111,,abc不是等比数列，故D不正确.故选：A.6.某校科技社利用3D打印技术

制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.54.7）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.29

6.1g【答案】C【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R，因为332π144πcm3VR==半球，所以6R=，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以()(

)22223113π6π3π6π363πcm33VSSSSh=++=++=下下上上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcmVVV=+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的

质量为207π1.52074.7972.9g=故选：C7.已知函数()sinfxx=，将其图象向左平移π3个单位长度，得到函数()gx的图象．ABC的顶点都是()fx与()gx图象的公共点，则ABC面积的最小

值为（）A.3B.3πC.23D.23π【答案】B【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质得到()gx的解析式，从而作出()(),fxgx的部分图像，联立()(),fxgx的方程求得,,ACB的坐标，再结合图像即可得到ABC的高为3h=，其

底边最短时为2πAB=，从而得解.【详解】因为将()sinfxx=的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()gx，所以()πsin3gxx=+，故()(),fxgx的部分图像如下，，不妨记(

)(),fxgx的图像在x轴正半轴的交点依次为,,ACB，在x轴负半轴的第一个交点为D，由三角函数的性质易得//ABCD，即ABC的高h是一个定值，其值为C到AB的距离，联立sinπsin3yxyx=

=+，得πsinsin3xx+=，即ππsincoscossinsin33xxx+=，则13sincossin22xxx+=，即3cossinxx=，故tan3x=，所以ππ,Z3xkk=+，当π3x=时，π3()sin32fx==，

即π3,32A，当4π3x=时，4π3()sin32fx==−，即4π3,32C−，当7π3x=时，7ππ3()sinsin332fx===，即7π3,32B，所以33322h=−−=，因此要使得ABC面积最小，只需使得

ABC的底边最短即可，显然AB是()fx与()gx图象的公共点中，作为ABC的底边时，长度最小的边长之一，此时7ππ2π33AB=−=，所以()min112π33π22ABCSABh=?创=.故选：B.8.在正方体1111ABCDABCD

−中，点M，N分别是1,ACBD上的动点，当线段MN的长最小时，直线MN与平面11BCCB所成角的正弦值为（）A.66B.306C.33D.63【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，找到MN为1,ACBD的

公垂线，即线段MN的长最小，进而表达出,MN的坐标，从而利用线面角的夹角公式进行求解.【详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，因为正方形ABCD中，AC⊥BD，且1AC

AAA=∩，1,ACAA平面1AAC，所以BD⊥平面1AAC，因为点M，N分别是1,ACBD上动点，当点N为,ACBD交点时，MN⊥BD，过点N作NM⊥1AC于点M，此时MN为1,ACBD的公垂线，即线段MN的长最小，设正方体边长为2，则()1,1,0N，112,22,23AAACAC=

==，因1MCNACA，所以11CNMCMNCAACAA==，故222322MCMN==，解得：233MC=，63MN=，过点M作MOAC⊥于点O，故11MOMCOCAAACAC==，即23322322MOOC==，解得：23MO=，223O

C=，故242,,333M，()11,1,024212,,,,333333MN=−−=−，平面11BCCB的法向量为()0,1,0n=，设MN与平面11BCCB所成角大小为，则()112,,0,1,03336sincos619,14

99MNMNMNnnn−−====++.的为故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆22525:(2)24Cxy−+−=，点(0,

1),(4,4)AB，点M在x轴上，则（）A.B不在圆C上B.y轴被圆C截得的弦长为3C.A，B，C三点共线D.AMB的最大值为π2【答案】BCD【解析】【分析】A选项，代入(4,4)B，验证其是否在圆上；B选项，由垂径定理得到弦长；C选项，根据条件，可知AB为直径，故A，B

，C三点共线；D选项，结合AB为直径，且x轴为()2225224xy−+−=的一条切线，可得AMB的最大值.【详解】A选项，因为22525(42)424−+−=，故(4,4)B在圆C

上，A错误；B选项，22525:(2)24Cxy−+−=的圆心为52,2C，半径为52r=，圆心到y轴的距离为2，由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为22223r−=，B正确；C选项

，因为22525:(02)124C−+−=，故(0,1)A在圆上，又()()2240415AB=−+−=，即AB为半径的2倍，因为(4,4)B在圆C上，故AB为直径，过圆心C，故A，B，C三点共线，C正确；D选项，由C知AB为直径，由于圆心为52,2，半径为52

，故x轴为()2225224xy−+−=的一条切线，故AMB的最大值为π2，D正确.故选：BCD.10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布()

28,N，且(7)0.2P=．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X，则（）A.(79)0.8P=B.()1.8EX=C.()(5)EEXD.(1)0.9PX【答案】B

D【解析】【分析】A选项，由正态分布的对称性可知(79)P，A正确；B选项，由()3,0.6XB得到()1.8EX=；C选项，求出()8E=和()()559EXEX==，得到大小关系；D选项，由二项分布计算出(0)0.064PX==，利用对立事

件概率公式求出(1)0.9PX.【详解】A选项，由正态分布的对称性可知：(7)(9)0.2PP==，故(79)10.220.6P=−=，A错误；B选项，()3,0.6XB，故()30.61.8EX==，B正确；C选项，()8E=，()()5551.89E

XEX===，故()(5)EEX，C错误；D选项，因为()3,0.6XB，所以()()0303(0)C0.60.40.064PX===，故(1)10.0640.9360.9PX=−=，D正确.故选：BD11.已知正四面体−PABC的棱长为6，S是ABC及其内部的点构成的集

合．若2a，集合TQSPQa=，则T表示的区域可以是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】先作出辅助线，得到正四面体的高，及侧面三角形的高，分3222a，3262a及6a三种情况，得到T表示的区域.【详解】取BC的中点E，连接AE，PE，过点P

作PO⊥平面ABC，则O在线段AE上，且2AOOE=，因为正四面体的棱长为6，所以62BEEC==，33222AEPEAC===，所以223AOAE==，22OE=由勾股定理得：222POAPAO=−=，因为TQSPQa=，几何意义为以P为球

心，以a为半径的球面及其内部与ABC及其内部重合的部分，当3222a时，此时由于222240,2OQaOPaOE=−=−，此时T表示的区域为以O为圆心，以24OQa=−为半径的圆，A正确；当3262a时，此时22224,22aOP

a−=−，比OE大，比OA小，T表示的区域为以O为圆心，以24OQa=−为半径的圆，除去圆外部分，故为B选项；当6a时，此时()22242,aOPaOA−=−+，T表示的为以O为圆心，以

24OQa=−为半径的圆内且在三角形ABC内的部分，即为三角形ABC，D正确，C选项不可能.故选：ABD12.已知函数()fx的定义域为R，且()()()()()223,13,22fxyfxyfxfyffx+−=−=+为

偶函数，则（）A.(0)0f=B.()fx为偶函数C.(3)(3)fxfx+=−−D.20231()3kfk==【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合()fx的奇偶性即可判断；对于D，先推得(

)fx的一个周期为6，再依次求得()()()()()()1,2,3,4,5,6ffffff，从而利用()fx的周期性即可判断.【详解】对于A，因为()()()()22fxyfxyfxfy+−=−，令0xy==，则()()()

()220000ffff=−，故()200f=，则()00f=，故A正确；对于B，因为()fx的定义域为R，关于原点对称，令0x=，则()()()()220fyfyffy−=−，又()fy不恒为0，故()()fyfy−=−，所以()fx为奇函数

，故B错误；对于C，因为322fx+为偶函数，所以332222fxfx−+=+，令322tx−=−+，则322xt=+，故()()3ftft−=+，令322tx=−+，则322xt=−+，故()()

3ftft=−+，又()fx为奇函数，故()()ftft−=−，所以()()33ftft+=−−+，即(3)(3)fxfx+=−−，故C正确；对于D，由选项C可知()()()3ftftft+=−=−，所以()()()63ftftft+=−+=，

故()fx的一个周期为6，因为()13f=，所以()()113ff−=−=−，对于()()3ftft=−+，令2t=，得()()213ff==，则()23f−=−，令3t=，得()()300ff==，则()30f−=，令4t=

，得()()413ff=−=−，令5t=，得()()523ff=−=−，令6t=，得()()630ff=−=，所以()()()()()()1234563303300ffffff+++++=++−−+=，又202333761=+，所以由()fx的周期性可得：20231()(1)(2)(3)(2

023)(1)3ifkfffff==++++==，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得()fx的奇偶性，再结合题设条件推得()fx为周期函数，从而得解.三、填空题：本题共4小

题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b为单位向量，a，b的夹角为π3，则2ab−=_______．【答案】3【解析】【分析】利用向量数量积的运算法则，结合转化法即可求得2ab−.【详解】因为向量a，b为单位向量，a，b的夹角为π3，所以1a=，1b=，π1cos32a

bab==，故()22222244ababaabb−=−=−+2214414432aabb=−+=−+=，所以23ab−=.故答案为：3.14.8(1)(2)xx−+的展开式中8x的系数为_______（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】利用二项

式定理的展开式，即可解出．【详解】因为888(1)(2)(2)(2)xxxxx−+=+−+，其中8(2)x+展开式的通项为88188C2C2rrrrrrrTxx−−+==，0,1,2,,8r=，所以展开式中8x的系数为110088

C2C215−=.故答案为：15.15.直线l经过点3,05，且与曲线2(1)yxx=+相切，写出l的一个方程_______．【答案】0y=（答案不唯一）【解析】【分析】先对()fx求导，再假设直线l与()fx的切点为()00,xy，斜率为k，从而得到关于00,,xy

k的方程组，解之即可求得直线l的方程.【详解】因为()232(1)yfxxxxx==+=+，所以()232fxxx=+，不妨设直线l与()fx的切点为()00,xy，斜率为k，则()2000003200032035kfxxxykxyx

x==+−=−=+，解得00000xyk===或00125xyk===或003518125325xyk=−==−，当000,0,0xyk===时，直线l为0y=；当0

01,2,5xyk===时，直线l为()251yx−=−，即530xy−−=；当003183,,512525xyk=−==−时，直线l为1833125255yx−=−+，即1512590xy+−=；综上：直线l的方程为0y=或530xy−

−=或1512590xy+−=.故答案为：0y=（答案不唯一）.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线AF的对称点为B．若过A，B，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为______

_．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题意得到过A，B，F三点的圆的半径也为a，求出线段AF的垂直平分线的方程及线段AB的垂直平分线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出12ca=，得到离心率.【详解】由题意得：过A

，B，F三点的圆的半径也为a，其中()()0,,,0AbFc，线段AF的中点坐标为,22cb，故直线AF的斜率为bc−，故线段AF的垂直平分线的斜率为cb，故线段AF的垂直平分线的方程为22bc

cyxb−=−，又线段AB的垂直平分线为0y=，联立22bccyxb−=−与0y=得：222cbxc=−，故圆心坐标为2,022cbc−，故半径为222222cbcbccc−+=+，故222cbac=+，其中222bac=−，解得：12c

a=.故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列na满足222124133nnaaa+++=−．（1）求na的通项公式；（2）设nnnba=，记数列nb的前

n项和为nS，证明：4nS．【答案】（1）12nna−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论1n=与2n两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得12nna−=；（2）结合（1）中结论，利用错位相减法求得nS，由此得证.【小问1详解

】因为222124133nnaaa+++=−，当1n=时，211a=，因为0na，所以11a=，当2n时，12221214133nnaaa−−+++=−，两式相减得，()122114141423333nnnnna−−−=−−−==，因为0na，所以1*2

,2,nnann−=N，经检验，上式对于1n=也适合，所以na的通项公式为12nna−=.【小问2详解】由（1）得112nnnnbna−==，所以211111123222nnSn−=+

+++，211111112(1)22222nnnSnn−=+++−+，两式相减得，2111111122222nnnSn−=++++−111122(2)12212

nnnnn−=−=−+−所以14(24)2nnSn=−+，由于*nN，显然1(24)02nn+，所以4nS.18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a=，D为AB的中点，且2CD=．（1）证明：2

cb=；（2）若π4ACB=，求ABC的面积．【答案】（1）证明见解析（2）13−+【解析】【分析】（1）在ACD和BCD△中分别利用余弦定理，然后结合πADCBDC+=即可求解；（2）在ABC中，利用

余弦定理求出26b=−+，然后利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】如图，在ACD中，由余弦定理可知：22222222244cos22222ccbbADCDACADCcADCDc+−+−+−===，在BCD△中，由余弦定理可知：22222222244cos22222ccaaBDCDBC

BDCcBDCDc+−+−+−===，因为πADCBDC+=，所以coscos0ADCBDC+=，则22222244022ccbacc+−+−+=，整理化简可得：222cb=，所以2cb=.【小问2详解】由（1）可知：2cb

=，因为π4ACB=，在ABC中，由余弦定理可知：22222422cos242abcbbACBabb+−+−===，整理可得：22240bb+−=，解得：26b=−，因为0b，所以26b=−+，则2223cb==−+，所以112sin2(26)1

3222ABCSabACB==−+=−+.19.如图，直三棱柱111ABCABC-的侧面11BCCB为正方形，22ABBC==，E，F分别为AC，1CC的中点，11BFAB⊥．（1）证明：BF⊥平面11ABE；（2）求平面11ABE与平面11ACCA夹角

的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）25【解析】【分析】（1）证明出1,,BABCBB两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到11BFAB⊥，1BFAE⊥，从而证明出线面垂直；（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角

的余弦值.【小问1详解】因为三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，所以1BBAB⊥，又因为11BFAB⊥，11//ABAB，所以BFAB⊥，因为1BBBFB=，1,BBBF平面11BCCB，所以AB

⊥平面11BCCB，因为1,BCBB平面11BCCB，所以1,ABBCABBB⊥⊥，因为11BCCB为正方形，所以ABBC⊥，故以B为坐标原点，1,,BABCBB分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()11110,0,0,0,2,1,1,0,2,0,

0,2,,1,0,0,2,0,0,2,2,1,0,02BFABECCA，因为()()110,2,11,0,00BFAB=−=，()110,2,1,1,22202BFAE=−−=−=，所以11B

FAB⊥，1BFAE⊥，因为111,ABAE平面11ABE，1111ABAEA=，所以BF⊥平面11ABE，【小问2详解】由（1）可知：平面11ABE的一个法向量为()0,2,1BF=，设平面11ACCA的法向量为(),,mxyz=，则()()()()1,,1,2,020,,1,

2,2220mACxyzxymACxyzxyz=−=−+==−=−++=，解得：0z=，令1y=，则2x=，所以()2,1,0m=，设平面11ABE与平面11ACCA夹角为，故()()2,1,00,2,15coscos,41421mBFmBFmBF====++，故平

面11ABE与平面11ACCA夹角的余弦值为25.20.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全

市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m=，样本平均数18x=，样本方差2119s=；乙镇的样本容量18n=，样本平均数36y=，样本方差2270s=．（

1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z及其方差2S；（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方

得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求()EX．参考数据：2

222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12=====．【答案】（1）28.8z=，2127.36S=（2）3625【解析】【

分析】（1）利用平均数的计算公式求得z，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；（2）先根据题意得到X的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得X各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.【小问1详解】根据题意，得121821833628.812185xyz+

+===+，因为()()()()()121212222111212iiiiiixxxzxxxxxzxz===−+−=−+−−+−()()()()()12121222221112121212iiiiiixxxzxxxzxxxz====−+−−+−=−+−

，同理()()()18182221112iiiiyyyzyyyz==−+−=−+−，所以()()121822211130iiiiSxzyz===−+−()()12182211130iiiixxx

zyyyz===−+−+−+−()()()()12182222111121230iiiixxxzyyyz===−+−+−+−22221211212()1818()30SxzSyz=+−++−()2

2112191210.81870187.230=+++127.36?=，所以总样本平均数为28.8z=，方差2127.36S=.【小问2详解】依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获

胜”为事件iA，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件,?1,2,3iBi=，则()()31,52iiPAPB==，所以()21234(0)1525PXPAA===−=，()()()123123123123313

3316(1)1152555225PXPABAAABPABAPAAB==+=+=−+−=，的15(2)1(0)(1)25PXPXPX==−=−==，所以461536()01225252525EX=++=.21.如图，正六边

形ABCDEF的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线,BECF．（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；（2）过A的直线l与Γ交于M，N两点，(1)AMAN=−，若点P满足MPPN=，证明：P在一条定直线上．【答案】（1）2213yx−=（2）证明

见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到3ba=与24c=，结合222cab=+即可求得1a=，3b=，从而得解；（2）先考虑直线l为x轴的情况，求得此时1,02P−，再考虑直线l不为x轴的情况，联立直线l与双曲线Γ的方程得到1212

,yyyy+，再结合,AMANMPPN==求得032yt=，从而得到012x=−，由此得证.【小问1详解】依题意，以直线AD为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，因为在正六边形

ABCDEF中，EOD△为正三角形，60EOD=，2ODED==，设双曲线Γ的方程为22221(0,0)xyabab−=，由已知得Γ的渐近线方程为3yx=，所以3ba=，又焦距24cAD==，所以2c=，又由2212cbaa=+=，则1a=，从而3b=

，所以双曲线Γ的方程为2213yx−=.【小问2详解】依题意，设()()()112200,,,,,MxyNxyPxy，当直线l为x轴时，不失一般性，则()()1,0,1,0MN−，又由（1）知()2,0A−，故(1,0),(3,0)AMAN==，所以13AMAN=，

从而13=，则13MPPN=，即()()000011,1,3xyxy+=−−，解得1,02P−；当直线l不为x轴时，设l的方程为323xtyt=−，由1−可知0t，联立22213xtyyx

=−−=，消去x，得()22311290tyty−−+=，则()22Δ14443190tt=−−，121222129,3131tyyyytt+==−−，因为AMANMPPN==，所以()120120yyyyyy=−=−，消去，得()()

201120yyyyyy−=−，所以120122183122yyyyytt===+，从而00312222xty=−=−=−，又1,02P−也在直线12x=−上，所以点P在定直线12x=−上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与

圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12

yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数2()e1,xfxaxa=−−R．（1）若()fx的最小值为0，求a；（2）设函数2()()ln2lngxfxxx=−−，若()gx是增函数，求a的取值范

围．【答案】（1）2a=（2）(,4]−【解析】【分析】（1）利用函数最值与极值的关系推得0x=为()fx的一个极值点，从而求得2a=，再代回检验是否满足题意即可得解；（2）先利用同构法得到2ln41e(2ln)12xxaxxx+−−+−

，再构造函数，结合（1）中结论证得2ln1e(2ln)10xxxxx+−+−，从而得到402a−，由此得解.【小问1详解】因为2()e1,xfxaxa=−−R，所以()00f=，又()fx的最小值为0，所以0x=

为()fx的一个极值点，又因为2()2exfxa=−，所以(0)20fa=−=，解得2a=，检验：当2a=时，()22()e21,()2e1xxfxxfx−==−−，当(,0)x−时，()0fx，()fx单调递减，当,()0x+时，()0fx，

()fx单调递增，故min()(0)0fxf==，满足题意，综上，2a=.【小问2详解】因为函数()2()()ln2ln0gxfxxxx=−−是增函数，所以22ln2()2e0xxgxaxx−=−−，即()222l

n4ln111e2e2ln1e(2ln)12xxxxaxxxxxxxxxx+−−−−=−−−=−+−，令()2lnuxxx=+，则1210,(1)20eeuu=−=，所以方程2ln0xx+=有解，

由（1）可知，2e210xx−−，当且仅当0x=时，等号成立，所以2lne(2ln)10xxxx+−+−，当且仅当2ln0xx+=时，等号成立，所以当0x时，2ln1e(2ln)10xxxxx+−+−，当且仅当2

ln0xx+=时，等号成立，所以402a−，解得4a，所以a的取值范围为(,4]−.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明

常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com